山东省青岛市2024届高三下学期第二次适应性检测数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）
A. 1B. 2C. 8D. 16
3. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. 0B. C. D.
4. 对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用表达，其中为正实数，是极角，是极径．若每增加个单位，则变为原来的（ ）
A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍
5. 己知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知复数，若同时满足和，则为（ ）
A. 1B. C. 2D.
8. 在中，，为内一点，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知两个变量y与x对应关系如下表：
若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ）
A. y与x正相关B.
C. 样本数据y的第60百分位数为8D. 各组数据的残差和为0
10. 若函数，则（ ）
A. 图象关于对称B. 在上单调递增
C. 的极小值点为D. 有两个零点
11. 已知正方体的棱长为2，点M，N分别为棱的中点，点P为四边形（含边界）内一动点，且，则（ ）
A. 平面B. 点P轨迹长度为
C. 存在点P，使得平面D. 点P到平面距离的最大值为
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 写出函数图象的一条对称轴方程_________．
13. 某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为_________．
14. 设为平面上两点，定义、已知点P为抛物线上一动点，点的最小值为2，则_________；若斜率为的直线l过点Q，点M是直线l上一动点，则的最小值为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，四棱台的底面为菱形，，点为中点，．

（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角余弦值．
16. 已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆E的离心率为，椭圆E上的点到右焦点的最小距离为1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过右焦点的直线l与椭圆E交于B，C两点，E的右顶点记为A，，求直线l的方程．
17. 在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为．
（1）若有放回摸球，摸到红球时停止．在第次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率；
（2）某同学不知道比例，为估计的值，设计了如下两种方案：
方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球次停止．
方案二：从袋中进行有放回摸球次．
分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计的值更合理．
18. 已知函数，为导数
（1）讨论的单调性；
（2）若是的极大值点，求的取值范围；
（3）若，证明：．
19. 若数列的各项均为正数，对任意，有，则称数列为“对数凹性”数列．
（1）已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们否为“对数凹性”数列，并说明理由；
（2）若函数有三个零点，其中．
证明：数列为“对数凹性”数列；
（3）若数列的各项均为正数，，记的前n项和为，，对任意三个不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得．
证明：数列为“对数凹性”数列．x
1
2
3
4
5
y
5
m
8
9
10.5