江西省九江市第十一中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：2024的相反数是,
故选：B．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项的方法可以判断选项A；根据单项式的除法可以判断选项B；根据完全平方公式可以判断选项C；根据积的乘方可以判断选项D．
【详解】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B正确，符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3. 从，，，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了立方根，无理数，简单的概率计算．熟练掌握立方根，无理数，简单的概率计算是解题的关键．
先确定无理数，然后利用概率公式计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，是无理数，，是有理数，
∴随机抽取一个数，此数是无理数的概率是，
故选：B．
4. 反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（ ）
A. B. 函数图象分布第二、四象限
C. 函数图像关于原点中心对称D. 当时，随的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点，
故选项不符合题意；
B、
∴此函数图象的两个分支位于二四象限，故选项不符合题意；
C、∵反比例函数的图象关于原点对称，故选项不符合题意；
D、∵反比例函数图象的两个分支位于二四象限，
∴当时，随着增大而增大，故选项符合题意．
故选：D．
5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，依据平行线的性质求解即可，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
6. 如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①，，；②（为常数）；③若，，在该函数图象上，则；④．其中不正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根据二次函数的图象判断二次函数系数的符号，以及式子的符号．①根据开口方向，对称轴，以及与y轴的交点位置，判断出a，b，c的符号；②求出二次函数的最值，进行判断即可；③根据抛物线的对称性，进行判断即可；④综合对称轴和c的值，以及当时，，结合，进行判断即可．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∵图象过，
∴．故①错误；
②由图象可知，当时，函数取得最大值为，
，
（m为常数）．故②正确；
③∵抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵
，故③正确；
④由图可知：当时，，
， ，
，
，
， ，
，
，
，故④正确．
综上，错误的是①，共1个．
故选：A
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
7. 因式分解： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了综合提公因式法与公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式法与公式法进行因式分解是解题的关键．
先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
8. 已知，是一元二次方程的两根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次函数根与系数的关系，根据根与系数的关系得，，再整体代入即可求解，熟练掌握：，是一元二次方程的两根时，是解题关键．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
故答案为：．
9. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据题意，可列方程组为________．
【答案】
【解析】
【分析】设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据题意得：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确列出方程组是解题的关键．
10. 如图，将绕着点逆时针旋转得到，使得点的对应点落在边的延长线上，若，，则线段的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质，根据旋转的性质可得，则，即可求解，解题关键在于熟练掌握旋转的性质：1、对应点到旋转中心的距离相等；2、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3、旋转前、后的图形全等．
【详解】解：∵将绕着点逆时针旋转得到，，，
∴，
∴，
故答案为：．
11. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为_____度．
【答案】55．
【解析】
【分析】连接BC，根据圆周角定理及直角三角形的性质即可求得∠ADC的度数．
【详解】解：连接BC
∵AB是⊙O的直径.
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝35°，
∴∠CBA＝55°，
∵∠ADC＝∠CBA，
∴∠ADC＝55°．
故答案为55．
【点睛】此题考查圆周角的性质，直径所对的圆周角为直角，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
12. 已知四边形为菱形，其边长为，，点在菱形的边、及对角线上运动，当时，则的长为______．
【答案】或4或
【解析】
【分析】由题意知分，点在边、及对角线上运动时，三种情况求解；①当点在边上，如图1，作的延长线于，设，则，，，，由勾股定理得，，即，计算求出满足要求的解即可；②点在边上，由，，计算求解即可；③当点在边上，如图2，由，可得，则，计算求解即可．
【详解】解：由题意知分，点在边、及对角线上运动时，三种情况求解；
①当点在边上，如图1，作的延长线于，

设，则，
∵菱形，，
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去）；
∴；
②当点在边上，
∵，，
∴；
③当点在边上，如图2，

∵菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，；
综上，的长为或4或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，正弦，余弦，正切．分类讨论是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）先化简，再求值：，其中，．
（2）如图，点E、F分别是矩形的边、上的一点，且．求证：．

【答案】（1），；（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了整式混合运算-化简求值，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）利用平方差公式，完全平方公式计算括号里， 再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答；
（2）根据矩形的性质得到，再证明，即可求证．
【详解】（1）解：
，
当，时，
原式；
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
14. 如图，正六边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1的正六边形内部作一点，连接，使得．
（2）在图2的正六边形内部作一点，连接，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查正六边形的性质、锐角三角函数等知识，掌握正六边形的性质是解答的关键．
（1）连接、，设交点为M，根据正六边形的性质可得，可得点M即为所求；
（2）连接，，设交点为N，可得，，，则，由可得结论．
小问1详解】
解：如图1，点M为所求作；
【小问2详解】
解：如图2，点N即为所求作：
15. 先化简再求值，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
【答案】，5
【解析】
【分析】先因式分解，通分，去括号化简，再选值计算即可．
【详解】
，
当，时，分母为0，分式无意义，故不能取；
当时，
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分，通分是解题的关键．
16. 从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用例举法例举所有的等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可；
（2）先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，
∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是
【小问2详解】
列表如下：
所有所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，
所以一定有乙的概率为：
【点睛】本题考查的是利用例举法，列表的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用，掌握“例举法与列表法求解概率”是解本题的关键．
17. 春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品1件共需120元；购进甲商品3件和乙商品2件共需280元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件50元出售，乙商品以每件100元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．
【答案】（1）甲、乙两种商品每件的进价分别是元、元；
（2）获利最大的进货方案是购买甲种商品件，乙种商品件，最大利润是元．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的
关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和不等式的性质解答问题．
（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到利润与甲种商品的关系，由甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，可以得到甲种商品的取值范围，从而可以求得获利最大的进货方案，以及最大利润．
【小问1详解】
解：设甲、乙两种商品每件的进价分别是元、元，
解得
即甲、乙两种商品每件的进价分别是元、元．
【小问2详解】
解：设购买甲种商品件，获利为元，
，

解得
∴当时，取得最大值，此时，
即获利最大的进货方案是购买甲种商品件，乙种商品件，最大利润是元．
三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分．）
18. 为落实国家“双减”政策，某校开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A乒乓球，B武术，C篮球，D足球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如图尚不完整的统计图表．

（1）本次调查的样本容量是 ，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“B武术”对应的圆心角的度数是 ；
（3）若该校共有1000名学生，请你估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数．
【答案】（1），图见解析；
（2）；
（3）估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数为．
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，从两个统计图中获取数量之间的关系，和样本估计总体是解决问题的关键．
（1）首先根据C项目的人数和百分比求出总人数，然后计算出B项目的人数，进而补全条形统计图；
（2）用乘“B武术”所占比例可得答案；
（3）用全校人数乘样本中喜欢“A乒乓球”的百分比得出人数．
【小问1详解】
解：本次调查的样本容量是，
B项目的人数为：
补全条形统计图如下：

故答案为：．
【小问2详解】
解：在扇形统计图中，“B武术”对应的圆心角的度数是：
，
故答案为：．
【小问3详解】
解：(名)，
∴估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数大约名．
19. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图像交于、两点，点的坐标是，点的坐标是．

（1）求出两个函数解析式；
（2）求出的面积；
（3）直接写出满足的的取值范围．
【答案】（1），；
（2）的面积为；
（3）或．
【解析】
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，坐标中不规则面积的求法和一次函数与反比例函数的交点问题等知识点的应用，解题的关键是数形结合思想．
（1）把A、B两点坐标代入反比例函数解析式，即可求出，得到B点坐标和反比例函数的解析式，然后再把A、B点的坐标代入一次函数的解析式，利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）把分成两部分计算即可．
（3）根据图象，分别在第二、四象限求出一次函数的值小于反比例函数的值时的取值范围．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象过点，，
∴，，
∴，
∴，
反比例函数的解析式为：，
把点，代入中得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：．
【小问2详解】
解：∵一次函数的解析式为：，其图象与轴交于点，
令，则，
∴点的坐标为，
∴，
∴的面积为．
【小问3详解】
解：∵点，，
∴由图象可知，的的取值范围为：
或．
20. 随着数字转型世界大会的召开，引领时尚，无人机走进人们生活．周末小华利用无人机来测量汶河上，两点之间的距离（，位于同一水平地面上），如图所示，小华站在处遥控空中处的无人机，此时他的仰角为，无人机的飞行高度为，并且无人机测得河岸边处的俯角为，若小华的身高，（点，，，在同一平面内）．
（1）求小华的仰角的正切值；
（2）求、两点之间的距离．
【答案】（1）小华的仰角的正切值为；
（2）两点之间的距离．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，勾股定理，三角函数等知识，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
（1）作于，于，首先根据题意得到四边形是矩形， 然后求出，利用勾股定理得到，然后即可求解；
（2）首先根据矩形的性质得到然后在中利用角的正切值求出，进而求解即可．
【小问1详解】
解：作于，于，如图：
∵无人机的飞行高度为，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴在中，
∴，
．
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵无人机测得河岸边处的俯角为，
∴，
即
解得，
∴，
∴两点之间的距离．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分．）
21. 如图，已知是的角平分线，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的经过点，与相交于点．

（1）判定与的位置关系，为什么？
（2）若，．①求的半径的长；②求的长．
【答案】（1）相切，理由见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）连接，如图所示，由角平分线性质、圆的性质及等腰三角形性质，利用平行线的判定与性质即可得到，从而判断与的位置关系是相切；
（2）①连接，如图所示，由勾股定理求出，由直径所对的圆周角是直角，利用相似三角形的判定得到，再由相似性质得比例代值求解即可得到答案；②由三角形相似的判定得到，再由相似性质得比例代值求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：相切，
理由如下：
连接，如图所示：

是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，即，
与的位置关系是相切；
【小问2详解】
解：①连接，如图所示：

在中，，，，则由勾股定理可得，
是的直径，
，
由（1）知，
，
，即，
，解得，则的半径的长为；
②如图所示：

由（1）知，
，，
，即，
，解得．
【点睛】本题考查圆综合，涉及角平分线定义、圆的性质、等腰三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的性质，灵活运用三角形相似的判定与性质求线段长是解决问题的关键．
22. 【教材呈现】北师大版九年级上册数学教材想页《矩形的性质与判定》给出直角三角形的斜边中线定理．
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．上述定理的部分推理过程如下：
已知：如图1，在中，，为斜边上的中线．
求证：．
证明：如图2，延长至点，使，连接，．

（1）【定理探索】请结合图2将证明过程补完整；
（2）【问题解决】如图3，在中，是高，是中线，点是的中点，，点为垂足，若，求出的度数；
（3）【应用探究】如图4，和均为直角三角形，，，连接交于点，已知，，请自接写出的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）证明四边形是矩形，则，进而可得；
（2）如图3，连接，则，，，由是高，是中线，可知，则，由，，可得，计算求解即可；
（3）如图4，将绕点顺时针旋转到，连接，取的中点，连接，过作于，由旋转的性质可得，，，，，由和均为直角三角形，，，可得，，则，，由勾股定理得，，则，由，可求，由勾股定理得，，由，，可得，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵为的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图3，连接，

∵，点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是高，是中线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，，
∴的度数为；
【小问3详解】
解：如图4，将绕点顺时针旋转到，连接，取的中点，连接，过作于，

∵，，
∴，
由旋转的性质可得，，，，，
∵和均为直角三角形，，，
∴，，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
∴，即，
解得，，
由勾股定理得，，
∵，，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，旋转的性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，旋转的性质，勾股定理是解题的关键．
六、解答题（本大题共1小题，共12分．）
23. 如图，已知抛物线上轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．．
（1）直接写出B、C两点的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点（异于点，且在直线的右侧），使、两点到直线的距离相等，求出满足条件的点坐标；
（3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）， ；
（2）不存在，理由见解析；
（3）存在，点或．
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等，正方形的判定及性质等知识，掌握相关知识是解题关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）由题知，过点作的平行线与抛物线没有交点，即可判断；
（3）分点在左侧和点在右侧两种情况，利用正方形得判定及性质以及二次函数得图象及性质，进而求解．
【小问1详解】
解：把点代入中得，
解得，
∴抛物线的解析式为：，
当时，，
解得，
∴点，
当时，，
∴点．
【小问2详解】
解：要使 、两点到直线的距离相等，则过点作的平行线，如图：
∵点在右侧，
∴过点的平行线与抛物线没有交点，
∴不存在点，使、两点到直线的距离相等．
【小问3详解】
解：抛物线上存在点，使得，理由如下：
由得
①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点，
在和中，
，
设直线的解析式为
将代入， 得：
解得：，
∴设直线的解析式为
由得：或
②当点在右侧时， 如上图，作关于的对称交二次函数 于点则
∴四边形是正方形，
令中，则
解得或
，
在和中，
，
∴在点抛物线上，即点满足条件
，
故存在满足条件的点有两个，分别是．甲
乙
丙
丁
甲
甲、乙
甲、丙
甲、丁
乙
乙、甲
乙、丙
乙、丁
丙
丙、甲
丙、乙
丙、丁
丁
丁、甲
丁、乙
丁、丙