2024年山东省临沂市沂水县九年级中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年山东省临沂市沂水县九年级中考一模数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了如图，平分，， 则度数为，化简式子的结果为，小青双休日想帮妈妈做下面的事情，如图，在平行四边形中，， 等内容，欢迎下载使用。
1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第 II卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各组数中，大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．国家级非物质文化遗产之一的胶东大鼓是产生于胶东半岛沿海各县的一种民间曲艺形式，迄今已有260余年的历史．它起源于盲人调，广泛流传于胶东半岛，具有浓厚的地方特色和淳朴的乡土气息，深受当地群众的喜爱．如图是表演情景及乐器之一鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，平分，， 则度数为（ ）
A．B．C．D．
4．化简式子的结果为（ ）
A．B．1C．D．
5．如图， A， B， C为上三点， 若， 则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．对于任意实数m，关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．无实数根
C．有两个相等的实数根D．无法确定
7．小青双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用15分钟；扫地要用5分钟；擦家具要用11分钟；晾衣服要用3分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花（ ）分钟．
A．B．C．D．
8．萌萌是一个书法爱好者，她对楷书四大家的书法都情有独钟，如图，若萌萌从这四本大家的字帖中随机取两本（先随机抽取1本，不放回，再随机抽取1本），则抽取的两本恰好是《皇甫碑》和《胆巴碑》的概率是（ ）

A．B．C．D．
9．已知二次函数 的图象经过第二象限的点则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．如图，在平行四边形中，， ． 动点M从A点出发， 沿折线方向运动，运动到点C停止． 设点M的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图，则的长为（ ）

A．2B．3C．5D．7
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．雪山彩虹谷门票的价格为成人票每张20元，儿童票每张10元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费 元．
12．如图，将腰长为的等腰三角形纸片，沿与底边平行的方向剪去一个小的等腰三角形纸片，剩下一个等腰梯形纸片，如图所示．若剪去纸片面积是剩下的纸片面积的 ，则剪去等腰三角形纸片的腰长为 ．
13．二元一次方程组的解为 ．
14．某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按，，，四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为等的作品份数为 ．
15．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图1 是发动机的实物剖面图，图2 是其示意图，图2中，点A在直线l上往复运动，推动点 B 做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C，D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时， 点B到达D． 若， ， 当与相切时，的长度是 ．
16．如图，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．计算下列各题：
(1)；
(2)
18．某产品有两种生产工艺．为了解两种生产工艺生产所用时间，工厂做了试验，利用两种生产工艺各生产10件产品记录所用时间．数据统计如下：（单位：）
数据统计表
根据以上信息解答下列问题：
(1)填空： ； ； ；
(2)应用你所学的统计知识，帮助工厂从产品生产时间上分析如何选择生产工艺．
19．如图， 在中， 且．
(1)分别作的角平分线和线段的垂直平分线， 分别交， 于点D，E （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：．
20．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于， 两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)点P在线段上（与A，B不重合），过点P作x轴的垂线，垂足为M，交反比例函数的图象于点Q，若面积为 ，求点P的坐标．
21．如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助该数学学习小组求出展板最高点到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）
22．某电商销售衬衣和围巾两种商品，它们的进价和售价如下表．
用19000元可购进某品牌衬衣70件和围巾30件．（利润=售价-进价）
(1)求衬衣进价a的值以及销售完两种商品电商获得的利润．
(2)在实际销售过程中，当衬衣销量达到30件时，为促销并保证销售利润不低于原来利润的，围巾售价不变，余下衬衣降价销售，每件最多降价多少元?
23．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方的P处发球． 已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为．
(1)甲发球后，若羽毛球往前飞行与点O的水平距离为时到达最高处，此时羽毛球离地面 ，如图1．
①求抛物线的解析式；
②通过计算判断此球能否过网；
(2)甲再次发球后，羽毛球飞行路线符合抛物线 到与点O的水平距离为时落地．若羽毛球飞行到与点O的水平距离为的Q处时，乙扣球，羽毛球飞行的路线为直线的一部分，且经过点，如图2．问：乙能扣球过网吗?通过计算加以说明．
24．【问题情境】折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们准备了大小一样的正方形， 如图1， 正方形纸片，边长为4．
【操作发现】老师提出了如下折叠要求：将正方形 ，沿直线折叠使点B落在边上的点 P处（A，D 两点除外）， 点 C的对应点为点 G． 经过思考，讨论， 同学们分享了他们的发现：
（1）如图2， 当点 P 落在 上任意一个位置时，平分． 请判断这个结论是否正确，并说明理由；
（2）如图3，若与相交于点 H， 当点P是的中点时，可以求出的长度． 请写出解答过程；
【拓展运用】小辉同学在（2）的基础上，求出了的长，进而求得了的周长，发现这个周长与正方形的边长存在一定的关系，是一个定值．进一步研究他发现：当点 P在上任意位置时，如图4，的周长是一个定值． 小辉的结论是否正确？若正确， 请给出证明； 若不正确，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了负有理数比较大小，熟练掌握是解题的关键．
【解答】解：∵负有理数绝对值大的反而小，
∴．
故选：A．
2．B
【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题关键．通过观察立体图形即可获得答案．
【解答】解：鼓的立体图形的主视图是：
．
故选：B．
3．C
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，先由平角的定义求出，再由角平分线的定义可得．
【解答】解；∵，
∴，
∵平分，
∴，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把分式同分，再加减即可．
【解答】解：
原式
故选：B．
5．D
【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得到，然后求出，由圆周角定理求出的度数即可．
【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
6．A
【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根，是解决问题的关键．
【解答】解：，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
7．C
【分析】本题主要考查了有理数加减混合计算的实际应用，由于洗衣服和晾衣服是必须要花费时间的，因此要使时间最少，则在洗衣服期间可以扫地和搬家具，据此可得答案．
【解答】解：分钟，
∴她经过合理安排，做完这些事至少要花19分钟，
故选；C．
8．D
【分析】本题考查了不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可．
【解答】解：根据题意，画树状图如下：

一共有12种等可能性，其中，两本字帖恰好是《皇甫碑》和《胆巴碑》的等可能性有2种．
故两本字帖恰好是《皇甫碑》和《胆巴碑》的概率是，
故选：D．
9．A
【分析】本题考查了二次函数、一次函数、解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、直角坐标系的性质，
根据直角坐标系和象限的性质，得；根据二次函数的性质，得，从而得，通过计算即可得到答案．
【解答】二次函数的图象经过第二象限，
，
，
，
当时，，即和y轴交点为,
当时，，即和x轴交点为：，
∵，，
在负半轴，在负半轴，
∴一次函数的图象经过不经过第一象限，
故选：A．
10．C
【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形的面积公式，判断出点M和点D重合时，的面积为是解本题的关键．
先根据函数关系图象得出，再由运动结合的面积的变化，得出点M和点D重合时，的面积最大，其值为，进而建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：由图可知点M的运动路程为，即，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
设，则，
因为当点M运动到点D时，的面积为，
这时，过点D作于点E，

则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，，
故选：C．
11．20m+10n##10n+20m
【分析】本题主要考查了列代数式，根据票价乘以对应票的数量分别求出成人票和儿童票的费用，然后求和即可得到答案．
【解答】解：由题意得，共需花费元，
故答案为：．
12．##4厘米
【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【解答】解：由题可知剪去三角形纸片面积是原三角形面积的，
∴两个三角形的对应边的比为，
∴剪去等腰三角形纸片的腰长为，
故答案为：．
13．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：．
①+②×2得：7x=14，
解得：x=2，
把x=2代入②得：2×2-y=1
解得：y=3，
所以，方程组的解为，
故答案为：．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
14．50份
【分析】先根据等级的条形统计图和扇形统计图信息求出抽取的作品总份数，再减去三个等级的份数即可得．
【解答】解：抽取的作品总份数为（份），
则等级的作品份数为（份），
故答案为：50份．
【点拨】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，熟练掌握统计调查的相关知识点是解题关键．
15．
【分析】本题考查的是圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
先根据线段的和差得到长，然后根据切线的性质和勾股定理求出长即可得到结果．
【解答】解：，
当与相切时，如图，
连接，则，
∴，
∴，
故答案为：．
16．199
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，解一元一次方程，观察可知，左上角的数是从1开始的连续的自然数，右上角的数是从1开始的连续的奇数，左下角的数是从2开始的连续的自然数，且左上角的数与右下角的数的和等于右上角的数与左下角的数的乘积，据此求出a、b的值，然后得到关于x的方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：，
，
，
……
以此类推，可知左上角的数是从1开始的连续的自然数，右上角的数是从1开始的连续的奇数，左下角的数是从2开始的连续的自然数，且左上角的数与右下角的数的和等于右上角的数与左下角的数的乘积，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
17．(1)1
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及负整数指数幂、绝对值、多项式的乘法、完全平方公式等知识，掌握运算顺序、多项式的乘法法则是解题的关键．
（1）先化简绝对值，负整数指数幂，计算乘方，然后算乘法，最后算减法，有小括号先算小括号里面的；
（2）先算完全平方公式，单项式乘多项式，然后合并同类项进行化简．
【解答】（1）解：
=
=
=；
（2）解：
=
=．
18．(1)，，
(2)见解析
【分析】本题考查平均数、众数和中位数的计算和运用统计量作决策，掌握平均数、众数和中位数的就计算方法是解题的关键．
（1）运用公式计算平均数可以得到的值；然后对A 工艺所用时间排列后找到中间的两个数求出，找出B工艺所用时间出现次数最多的数即为；
（2）运用平均数和方差作比较，选择合适的生产工艺即可．
【解答】（1）解：A 工艺所用时间排列为，居于中间的两个数为，
∴中位数；
B工艺所用时间的平均数为，
∴；
B工艺所用时间中出现的次数是次，次数最多，
∴；
故答案为：，，；
（2）A 工艺、B工艺所用时间的平均数相同，而B工艺的方差小于A 工艺的方差，用时稳定性更好，应该选择B工艺．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查基本作图——作角平分线和垂直平分线，等腰三角形的判定和性质，掌握基本作图是解题的关键．
（1）利用基本作图的方法作角平分线和垂直平分线即可解题；
（2）根据垂直平分线的性质得到，进而得到，然后根据角平分线和平行线得到，即可得，可得到结论．
【解答】（1）如图，与即为所作；
（2）证明：连接，
∵ 且，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.
（1）将点坐标代入即可得出反比例函数求得函数的解析式，进而求得的坐标，再将两点坐标分别代入可用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）由题意,设 且 一则求得，根据三角形面积公式得到解得即可.
【解答】（1）∵反比例函数的图象经过点,
，解得
∴反比例函数解析式为，
把代入 得
∴点坐标为
∵一次函数解析式 图象经过
，解得 ，
故一次函数解析式为：；
（2）由题意,设且
，
，
，解得 ，
.
21．
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形，解题的关键是构建直角三角形利用锐角三角函数的定义求边长．
过点作于点，于直线交于点，过点作于点，过点作于点，根据三个角是直角的四边形是矩形，矩形的对边平行且相等可得，，，根据两直线平行，内错角相等可得，求得，根据特殊角的三角函数值求得和的值，即可求解．
【解答】解：过点作于点，于直线交于点，过点作于点，过点作于点，如图：
则四边形，四边形均为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，
故展板最高点到地面的距离为．
22．(1)250，
(2)
【分析】本题考查了一元一次方程及不等式的应用.列出方程不等式是解题的关键．
（1）根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）设出来降价，然后根据题意得到降价后的利润，可列得不等式，求解即可；
【解答】（1）解：用19000元可购进某品牌衬衣70件和围巾30件，
∴，
解得：，
销售完70件衬衣可得利润为：元，
销售完30件围巾可得利润为：元，
∴销售完两种商品电商获得的利润为：元；
（2）解：设降价元，
当衬衣销量达到30件时，此时利润为：，
围巾售价不变，此时利润为：900，
余下衬衣降价销售，此时利润为：，
∵销售利润不低于原来利润的，
∴，
解得：，
∴余下衬衣降价销售，每件最多降价元．
23．(1)① ②此球能过网
(2)乙扣球不过网
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）①运用待定系数法求出二次函数解析式即可；
②把代入抛物线的解析式中求出对应的y的值，再与比较大小即可判断是否过网；（2）将(0,1),(9,0)代入解析式中得到一个关于a、h的二元一次方程组，解方程组即可得出二次函数的解析式，得到点的坐标 ，然后求出乙扣球路线的解析式，代入即可解题．
【解答】（1）解：①设抛物线解析式为 ，
由题意得， ，
解得
∴，
②把代入 得:，
，
∴ 此球能过网；
（2）把代入得:
，解得： ，
，
当时, ，
∴点的坐标 ，
设乙扣球路线的解析式为，则 解得 ，
，
当时, ，
∴乙扣球不过网．
24．（1）都平分这个结论正确，理由见解析；（2）；（3）小辉的结论正确，证明
【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等：
（1）先由正方形的性质求出，再由折叠的性质得到，则由等边对等角和等角的余角相等证明出，则，即平分；
（2）由正方形的性质得到，由折叠的性质可得，设，则，在中，由勾股定理得，解方程得到；证明，利用相似三角形的性质即可求出；
（3）如图所示，过点B作于Q，连接，证明，得到，再证明，得到，则可推出的周长，则的周长等于正方形的边长的2倍，即的周长是一个定值．
【解答】解：（1）平分这个结论正确，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
∵点P为的中点，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（3）小辉的结论正确，证明如下：
如图所示，过点B作于Q，连接，
∴，
由（1）得，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的周长，
∴的周长等于正方形的边长的2倍，
∴的周长是一个定值．
产品序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A 工艺所用时间
15
32
15
16
34
18
21
14
35
20
B工艺所用时间
20
24
18
20
22
21
26
23
26
20

平均数
中位数
众数
方差
A 工艺所用时间
22
a
15
63.2
B工艺所用时间
b
21.5
c
6.6
种类
衬衣
围巾
进价（元/件）
a
50
售价（元/件）
400
80