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2025年高考数学一轮复习专题6.2 数量积及最值(范围)问题-(原卷版+解析版)
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题型一求数量积
例1．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量，，（），则（ ）
A．5B．C．D．
【答案】B
【分析】求出向量的坐标，根据数量积坐标表示，即可求得答案.
【详解】由题意向量，，可得，
故，
故选：B
例2．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知单位向量，满足，则_______．
【答案】/
【分析】根据向量的运算法则和数量积的运算公式，准确运算，即可求解.
【详解】因为，所以．
故答案为：.
练习1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知向量，则 ______ ．
【答案】
【分析】利用数量积的坐标运算法则计算可得.
【详解】因为，，所以．
故答案为：．
练习2．（2023·全国·高三专题练习）矩形中．，．若点，满足，，则（ ）
A．20B．15C．9D．6
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量数量积公式求出答案.
【详解】四边形为矩形，建立如图所示，平面直角坐标系，
，，，
，，
．
故选：C．
练习3．（2023春·山西大同·高二校考阶段练习）已知是的外心，，，则（ ）
A．10B．9C．8D．6
【答案】A
【分析】根据三角形外心的性质，结合数量积的几何意义以及数量积运算律，即可求得答案.
【详解】如图，O为的外心，设为的中点，
则,
故
,
故选：A
练习4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形中，，则__________.
【答案】
【分析】根据菱形对角线互相垂直，结合平面向量数量积公式求出答案.
【详解】设与交于，则且是线段的中点，
，由平面向量数量积的几何意义知，
.
故答案为：
练习5．（2023·广东汕头·统考三模）在中，，，，，求_________.
【答案】/0.75
【分析】根据已知条件得出,,化简应用数量积公式计算求解即得.
【详解】，，，
,
,
.
故答案为：
题型二求两个向量的夹角
例3．（2023春·广东深圳·高一深圳市建文外国语学校校考期中）已知平面向量且
(1)求向量与向量的坐标；
(2)若向量，求向量与向量的夹角
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据已知条件，结合向量平行和垂直的性质，求解，可求解；
（2）根据已知条件，结合向量的夹角公式，即可求解．
【详解】（1），
，解得，
，
，解得，
，；
（2）由（1）可得，,,,，,,,，
设向量，的夹角为，则，
,，，
故向量，的夹角为．
例4．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，得，从而可求得，再根据即可得解.
【详解】由，得，
即，所以，
则，
，
则，
又，所以，
即向量与的夹角为.
故选：D.
练习6．（2023春·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考期中）已知向量，，.
(1)若与垂直， 求实数的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定，再根据向量垂直解得答案.
（2）直接根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1），且与垂直，
故，解得.
（2）.
练习7．（2023·山东烟台·统考二模）已知向量，则与夹角的大小为_____________．
【答案】
【分析】根据题意可得，结合平面向量数量积的定义计算即可求解.
【详解】由，得，
由，得，
即，得，
所以，又，
所以，即与的夹角为.
故答案为：.
练习8．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知，，与的夹角为，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围___________ .
【答案】
【分析】 两向量夹角为锐角，则其数量积大于零，且这两个向量不共线，由此计算即可.
【详解】∵向量与的夹角是锐角，
∴且向量与向量不共线，
由得，
∴，
∴，即，解得或，
若向量与向量共线，则，无解，
∴向量与向量不共线，
∴实数的取值范围是.
故答案为：.
练习9．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知单位向量，满足，则，夹角的余弦值为__________.
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示，结合数量积运算律求出，即可求出夹角的余弦值.
【详解】单位向量，满足，则，
因此，所以，夹角的余弦值为.
故答案为：
练习10．（2023春·浙江温州·高三乐清市知临中学校考期中）设，.
(1)求；
(2)若，且，与的夹角为，求x，y的值.
【答案】(1)
(2)，或，
【分析】（1）根据向量夹角得坐标表示计算即可；
（2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解.
【详解】（1）由，，得，，，
则，
又，所以；
（2）因为，，
所以，
又，
所以，
又，
即，
由，解得或，
∴，或，.
题型三求投影向量
例5．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知，则向量在向量上的投影向量为___________.
【答案】/
【分析】设之间的夹角为，利用题意得到，，然后用投影向量公式进行求解即可
【详解】设之间的夹角为，
，又，又，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
例6．（2023春·江苏泰州·高一江苏省口岸中学校考阶段练习）已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】C
【分析】求出在上的投影向量的坐标，从而求出投影向量的模．
【详解】∵，，∴，，
∴在上的投影向量为，
则在上的投影向量的模为．
故选：C．
练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则在上的投影向量______.
【答案】
【分析】根据在上的投影向量即可求解.
【详解】设与的夹角为，在上的投影向量.
故答案为：.
练习12．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量在向量上的投影向量.
【详解】设向量与的夹角为，
则，
则在上的投影向量为．
故选：B．
练习13．（2023·云南保山·统考二模）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据投影向量定义可得答案.
【详解】由己知条件得：，
又在方向上的投影向量为.
故选：D.
练习14．（2023春·全国·高三专题练习）已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的运算律求在上的投影向量.
【详解】在上的投影向量为，
，
所以，在上的投影向量为.
故选：B
练习15．（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（ ）
A．3B．6C．7D．9
【答案】C
【分析】先根据投影向量的公式结合题干条件得到，然后利用向量的运算将用表示，然后用向量的数量积进行运算.
【详解】
根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为，
由题意，，于是，即.
又，
∴．
故选：C
题型四垂直关系的判断及应用
例7．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知向量，满足，，且，则_____．
【答案】/0.5
【分析】根据求出，再根据夹角公式可求出结果.
【详解】因为，所以，所以，
所以，所以.
故答案为：.
例8．（2023·全国·高三专题练习）非零向量，，若，则______.
【答案】/-0.5
【分析】由得，从而求得的值.
【详解】因为，所以，
由题易知，，
所以.
故答案为：
练习16．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）平面向量，若，且，则（ ）
A．2B．-2C．4D．-4
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标表示可得m，然后结合可得.
【详解】∵，，
∴，
解得或，
又∵，∴.
故选：D.
练习17．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，其中，为单位向量，且，若______，则.
注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据向量垂直时数量积的表示方法，运用坐标运算求解.
【详解】因为是相互垂直的单位向量，不妨设
，即 ，
，即 ，即向量的端点在圆心为，半径为 的圆周上，
故可以取 ，即；
故答案为：1.
练习18．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）点，点，点在坐标轴上，且为直角，这样的点有______个．
【答案】4
【分析】分情况讨论，设出轴上点坐标，利用向量的数量积为0建立方程，由判别式确定解得个数即可.
【详解】若P在x轴上，可设，
则，
由为直角可得，
即，，故有两解；
当P在y轴上，可设，
则，
由为直角可得，
即，，故两解.
综上，四个解且无重合点，可知符合条件的点有4个，
故答案为：4
练习19．（2023春·湖北武汉·高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）在中，若非零向量与满足，，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形B．等腰直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形D．等边三角形
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量减法及数量积的运算律，结合导出，再判断三角形形状作答.
【详解】由，得，
于是，则，
所以是等腰直角三角形，B正确，ACD错误.
故选：B
练习20．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考期中）已知向量，．
(1)求；
(2)已知，且，求向量与向量的夹角．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答.
（2）由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再求出夹角作答.
【详解】（1）向量，，则，
所以.
（2）由，，得，解得，
由，得，于是，
而，则有，
所以向量与向量的夹角.
题型五向量的模
例9．（江西省2023届高三高考适应性大练兵联考数学（理）试题）已知单位向量，满足，则__________．
【答案】/
【分析】将两边平方，根据数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，为单位向量且满足，
所以，即，
即，解得.
故答案为：
例10．（2023·重庆·统考模拟预测）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．D．5
【答案】D
【分析】根据模长的坐标运算可得，分析可得同向，进而可求结果.
【详解】因为，即，
则同向，所以.
故选：D.
练习21．（2023春·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期中）若非零向量满足，则夹角的余弦值为________．
【答案】/
【分析】利用给定等式，结合数量积的运算律求出的表达式，再利用向量夹角公式计算作答.
【详解】由，，得，则，
因此，
所以夹角的余弦值为.
故答案为：
练习22．（2023·湖北·统考模拟预测）已知向量，若，则__________.
【答案】
【分析】由得，根据向量数量积的坐标运算求得的值，进而求得.
【详解】根据题意，因为，所以，
所以，所以，
所以，
此时，则.
故答案为:.
练习23．（2023·北京·人大附中校考三模）已知向量，与共线，则=（ ）
A．6B．20C．D．5
【答案】C
【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.
【详解】由题意知，
又，所以，所以，
所以，所以，
所以.
故选：C
练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知向量是非零向量，λ、，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据得，两边平方化简即可得即或，由此即可判断．
【详解】若，则，
两边平方可得，
即，即，
即或，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
练习25．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知向量，，，__________；在上的投影向量的坐标为__________．
【答案】 /； .
【分析】由条件结合向量的模的坐标表示求，根据向量的模与数量积的关系由条件求，再由投影向量的定义求在上的投影向量的坐标.
【详解】因为，所以，
由可得，
所以，即
所以，
所以在上的投影向量为．
故在上的投影向量的坐标为.
故答案为：；.
题型六数量积的最值、范围问题（基底法）
例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，，，，为的中点，在平面中，将线段绕点旋转得到线段．设为线段上的点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据题意，，，利用向量的数量积运算即可求解.
【详解】连接MD，则，，
所以，
由于为等腰直角三角形，为线段上的点，
所以
因此，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
例12．（2023春·辽宁朝阳·高三朝阳市第一高级中学校考期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）．
(1)求的值；
(2)若点满足，求的最小值，并求此时的．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将化为和表示，利用和的长度和夹角计算可得结果；
（2）用、表示，求出关于的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果.
【详解】（1）因为为的三等分点（靠近点），所以，
所以，
所以
.
（2）因为，所以，
因为，
所以
，
所以当时，取得最小值.
练习26．（2023春·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则__________，的最小值为___________.
【答案】
【分析】由平行四边形的面积为，可得，由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值.
【详解】因为平行四边形的面积为，
所以，得，
如图，连接，则,
所以，
因为三点共线，所以，得，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：，.
练习27．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______.
【答案】
【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解.
【详解】是BC中点，
，
M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
，
同理可得，
.
故答案为：.
练习28．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，求出的范围，再利用向量线性运算及数量积运算律求解作答.
【详解】连接，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，
因为，即是正三角形，于是，而M为AB的中点，且，
所以.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及定长的线段两端点为向量端点的向量数量积，取线段的中点，借助向量数量积的计算公式求解是关键.
练习29．（2023春·全国·高三专题练习）已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】法一：设（），把与表示为与的线性关系，把表示成关于的解析式，求解出取值范围；法二：建立坐标系，写出各点的坐标，进而求出的范围
【详解】法一：因为在上，不妨设，
则（其中）
所以
，
因为，所以
法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则，，，，其中∠ABC=45°，设点，
其中，，
∴
∵
∴
故选：D.
练习30．（2023·全国·高一专题练习）在直角三角形中，在线段上，，则的最小值为___________.
【答案】/
【分析】由题可知，，，设，则，将模长和数量积代入由二次函数的性质求出最小值.
【详解】由题可知，，，设，
则则所以
，
当时，的最小值为.
故答案为：.
题型七数量积的最值、范围问题（坐标法）
例13．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知中，，，，点为边上的动点，则的最小值为_________.
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算求解即可.
【详解】
过作，垂足为，以为原点，直线，分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图，
在中，，，
∴，，，
由题意，设，，则，，
∴，
∴当时，的最小值为.
故答案为：.
例14．（2023·天津滨海新·统考三模）在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________．
【答案】
【分析】作出向量在向量上的投影向量，在直角三角形中求出；以点为坐标原点，为轴建立直角坐标系，利用坐标法求出的最小值.
【详解】过点作垂直于点，则向量为向量在向量上的投影向量，
由题意知点为线段的中点，所以，
所以，又为锐角，故.
以点为坐标原点，为轴建系如图，则，，.
因为，所以.
因为点为线段上的动点，所以设，故点.
，.
当时，取到最小值.
故答案为：；.
练习31．（2023·上海·高三专题练习）如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为____________．
【答案】4
【分析】建立平面直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案.
【详解】由在直角梯形中．，
则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系，
设，设，则，
故，
所以，故，
当且仅当即时取得等号，
即的最小值为4，
故答案为：4
练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】C
【分析】构建直角坐标系，令，，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.
【详解】构建如下直角坐标系：，令，，
由可得：，
则且，
所以当时，的最大值为.
故选：C
练习33．（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用坐标法，设，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
则，
∴，
设，，
∴，
又，
∴，
解得，
∴，
即的最小值为.
故选：B.
练习34．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________.
【答案】6
【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），写出各点坐标，结合向量加法以及模的坐标运算，运用二次函数的知识即可求出最小值.
【详解】如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），
因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以当，即时，的最小值为6.
故答案为：6
练习35．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示求得的表达式，配方后即可求得答案.
【详解】如图，以正六边形的中心为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
则,设点，
则,
故
，
故当，即P点坐标为时，
取到最小值为，
故答案为：
【点睛】方法点睛：建立恰当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，求得的表达式即可求解最值.
八、未命
题型八数量积的最值、范围问题（数形结合法）
例15．（2023春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期中）已知平面向量，，满足，，，且，则的最大值为________．
【答案】/
【分析】设，由题意分析知，所求为的最大值，设，的中点，由可得，即点的轨迹方程为以为圆心，半径为的圆，求解即可.
【详解】设，因为，
所以，所求为的最大值，当在同一平面时，
有最大值，如图建系，
不妨设，的中点，
由条件可知，，，，
由可知，，
消参可得：，即点的轨迹方程为以为圆心，半径为的圆，
所以的最大值为，故的最大值为.
故答案为：.
例16．（2023·上海·高三专题练习）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为______．
【答案】
【分析】由向量平行的坐标表示可得，在坐标系中，，将按向量平移至，根据轨迹为直线，将问题化为最小，数形结合法求原点到直线距离即可得结果.
【详解】由，又向量与互相平行，
所以，故，
令，，则，
所以，将按向量平移至，
所以是直线上的动点，如下图示，
所以，故，
由图知：要使最小，只需三点共线且到直线距离最短，
故最小值为原点到直线的距离，最小值为，此时题设中的x=2，y=1.
故答案为：
练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】C
【分析】构建直角坐标系，令，，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.
【详解】构建如下直角坐标系：，令，，
由可得：，
则且，
所以当时，的最大值为.
故选：C
练习33．（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用坐标法，设，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
则，
∴，
设，，
∴，
又，
∴，
解得，
∴，
即的最小值为.
故选：B.
练习34．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________.
【答案】6
【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），写出各点坐标，结合向量加法以及模的坐标运算，运用二次函数的知识即可求出最小值.
【详解】如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），
因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以当，即时，的最小值为6.
故答案为：6
练习35．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示求得的表达式，配方后即可求得答案.
【详解】如图，以正六边形的中心为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
则,设点，
则,
故
，
故当，即P点坐标为时，
取到最小值为，
故答案为：
【点睛】方法点睛：建立恰当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，求得的表达式即可求解最值.
八、未命名题型
练习36．（2022秋·湖北荆门·高二荆门市龙泉中学校考阶段练习）已知平面向量，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，得到的几何意义为以原点为起点的情况下，的终点到的终点的距离为1，由此可求解的取值范围.
【详解】如图所示，由，可得，
根据向量减法及模的几何意义，则再以原点为起点的情况下，的终点到的终点的距离为1，
所以的取值范围是.
故选：B.
练习37．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考阶段练习）已知是平面向量，其中是单位向量．若非零向量与的夹角是，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
【详解】以向量的起点为原点，以为的正方向，建立平面直角坐标系，则，
设，
则由得，
所以
由得，
所以点在直线上，点在圆，
又，
所以等于点到点的距离，
圆的圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，
因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，即
故选：A.
练习38．（2022秋·江西吉安·高三吉安一中校考期中）已知平面向量，，，，满足，，，若，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据已知得到与终点的轨迹，设出利用圆的相关知识即可求得的范围.
【详解】由已知，，，设
不妨设，，
可得
又因为，故
所以，即
所以，易知，终点在以为圆心，为半径的圆上.
终点在以为圆心，为半径的圆上.
的取值范围为与终点距离的取值范围
故
故答案为：
练习39．（2023春·北京·高三北京市第一六六中学校考阶段练习）已知向量满足，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】把平移到共起点以的起点为原点，所在的直线为轴，的方向为轴的正方向，求出的坐标，则根据得的终点得轨迹，根据 的意义求解最大值.
【详解】把平移到共起点，以的起点为原点，所在的直线为轴，的方向为轴的正方向，见下图，设，则
又则点的轨迹为以为直径的圆，又因为所以故以为直径的圆为，所以的最大值就是以为直径的圆上的点到原点距离的最大值，所以最大值为
故选：C
练习40．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，且，则的最大值是_______；最小值是________．
【答案】 /0.5 1
【分析】利用向量的坐标形式，代入化简等式，可得到向量、终点轨迹，即可得到最值
【详解】设，
由得：，而，
所以，
故向量：以原点为始点，终点是圆心为，半径为的圆上的点，
当时，；
设，代入整理得，，
故为以原点为始点，终点在射线上的点，
故为始点在圆上，终点在上的向量，
则.
故答案为：；1．
题型一
求数量积
题型二
求两个向量的夹角
题型三
求投影向量
题型四
垂直关系的判断及应用
题型五
向量的模
题型六
数量积的最值、范围问题（基底法）
题型七
数量积的最值、范围问题（坐标法）
题型八
数量积的最值、范围问题（数形结合法）
题型一求数量积
例1．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量，，（），则（ ）
A．5B．C．D．
【答案】B
【分析】求出向量的坐标，根据数量积坐标表示，即可求得答案.
【详解】由题意向量，，可得，
故，
故选：B
例2．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知单位向量，满足，则_______．
【答案】/
【分析】根据向量的运算法则和数量积的运算公式，准确运算，即可求解.
【详解】因为，所以．
故答案为：.
练习1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知向量，则 ______ ．
【答案】
【分析】利用数量积的坐标运算法则计算可得.
【详解】因为，，所以．
故答案为：．
练习2．（2023·全国·高三专题练习）矩形中．，．若点，满足，，则（ ）
A．20B．15C．9D．6
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量数量积公式求出答案.
【详解】四边形为矩形，建立如图所示，平面直角坐标系，
，，，
，，
．
故选：C．
练习3．（2023春·山西大同·高二校考阶段练习）已知是的外心，，，则（ ）
A．10B．9C．8D．6
【答案】A
【分析】根据三角形外心的性质，结合数量积的几何意义以及数量积运算律，即可求得答案.
【详解】如图，O为的外心，设为的中点，
则,
故
,
故选：A
练习4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形中，，则__________.
【答案】
【分析】根据菱形对角线互相垂直，结合平面向量数量积公式求出答案.
【详解】设与交于，则且是线段的中点，
，由平面向量数量积的几何意义知，
.
故答案为：
练习5．（2023·广东汕头·统考三模）在中，，，，，求_________.
【答案】/0.75
【分析】根据已知条件得出,,化简应用数量积公式计算求解即得.
【详解】，，，
,
,
.
故答案为：
题型二求两个向量的夹角
例3．（2023春·广东深圳·高一深圳市建文外国语学校校考期中）已知平面向量且
(1)求向量与向量的坐标；
(2)若向量，求向量与向量的夹角
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据已知条件，结合向量平行和垂直的性质，求解，可求解；
（2）根据已知条件，结合向量的夹角公式，即可求解．
【详解】（1），
，解得，
，
，解得，
，；
（2）由（1）可得，,,,，,,,，
设向量，的夹角为，则，
,，，
故向量，的夹角为．
例4．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，得，从而可求得，再根据即可得解.
【详解】由，得，
即，所以，
则，
，
则，
又，所以，
即向量与的夹角为.
故选：D.
练习6．（2023春·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考期中）已知向量，，.
(1)若与垂直， 求实数的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定，再根据向量垂直解得答案.
（2）直接根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1），且与垂直，
故，解得.
（2）.
练习7．（2023·山东烟台·统考二模）已知向量，则与夹角的大小为_____________．
【答案】
【分析】根据题意可得，结合平面向量数量积的定义计算即可求解.
【详解】由，得，
由，得，
即，得，
所以，又，
所以，即与的夹角为.
故答案为：.
练习8．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知，，与的夹角为，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围___________ .
【答案】
【分析】 两向量夹角为锐角，则其数量积大于零，且这两个向量不共线，由此计算即可.
【详解】∵向量与的夹角是锐角，
∴且向量与向量不共线，
由得，
∴，
∴，即，解得或，
若向量与向量共线，则，无解，
∴向量与向量不共线，
∴实数的取值范围是.
故答案为：.
练习9．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知单位向量，满足，则，夹角的余弦值为__________.
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示，结合数量积运算律求出，即可求出夹角的余弦值.
【详解】单位向量，满足，则，
因此，所以，夹角的余弦值为.
故答案为：
练习10．（2023春·浙江温州·高三乐清市知临中学校考期中）设，.
(1)求；
(2)若，且，与的夹角为，求x，y的值.
【答案】(1)
(2)，或，
【分析】（1）根据向量夹角得坐标表示计算即可；
（2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解.
【详解】（1）由，，得，，，
则，
又，所以；
（2）因为，，
所以，
又，
所以，
又，
即，
由，解得或，
∴，或，.
题型三求投影向量
例5．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知，则向量在向量上的投影向量为___________.
【答案】/
【分析】设之间的夹角为，利用题意得到，，然后用投影向量公式进行求解即可
【详解】设之间的夹角为，
，又，又，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
例6．（2023春·江苏泰州·高一江苏省口岸中学校考阶段练习）已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】C
【分析】求出在上的投影向量的坐标，从而求出投影向量的模．
【详解】∵，，∴，，
∴在上的投影向量为，
则在上的投影向量的模为．
故选：C．
练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则在上的投影向量______.
【答案】
【分析】根据在上的投影向量即可求解.
【详解】设与的夹角为，在上的投影向量.
故答案为：.
练习12．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量在向量上的投影向量.
【详解】设向量与的夹角为，
则，
则在上的投影向量为．
故选：B．
练习13．（2023·云南保山·统考二模）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据投影向量定义可得答案.
【详解】由己知条件得：，
又在方向上的投影向量为.
故选：D.
练习14．（2023春·全国·高三专题练习）已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的运算律求在上的投影向量.
【详解】在上的投影向量为，
，
所以，在上的投影向量为.
故选：B
练习15．（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（ ）
A．3B．6C．7D．9
【答案】C
【分析】先根据投影向量的公式结合题干条件得到，然后利用向量的运算将用表示，然后用向量的数量积进行运算.
【详解】
根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为，
由题意，，于是，即.
又，
∴．
故选：C
题型四垂直关系的判断及应用
例7．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知向量，满足，，且，则_____．
【答案】/0.5
【分析】根据求出，再根据夹角公式可求出结果.
【详解】因为，所以，所以，
所以，所以.
故答案为：.
例8．（2023·全国·高三专题练习）非零向量，，若，则______.
【答案】/-0.5
【分析】由得，从而求得的值.
【详解】因为，所以，
由题易知，，
所以.
故答案为：
练习16．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）平面向量，若，且，则（ ）
A．2B．-2C．4D．-4
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标表示可得m，然后结合可得.
【详解】∵，，
∴，
解得或，
又∵，∴.
故选：D.
练习17．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，其中，为单位向量，且，若______，则.
注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据向量垂直时数量积的表示方法，运用坐标运算求解.
【详解】因为是相互垂直的单位向量，不妨设
，即 ，
，即 ，即向量的端点在圆心为，半径为 的圆周上，
故可以取 ，即；
故答案为：1.
练习18．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）点，点，点在坐标轴上，且为直角，这样的点有______个．
【答案】4
【分析】分情况讨论，设出轴上点坐标，利用向量的数量积为0建立方程，由判别式确定解得个数即可.
【详解】若P在x轴上，可设，
则，
由为直角可得，
即，，故有两解；
当P在y轴上，可设，
则，
由为直角可得，
即，，故两解.
综上，四个解且无重合点，可知符合条件的点有4个，
故答案为：4
练习19．（2023春·湖北武汉·高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）在中，若非零向量与满足，，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形B．等腰直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形D．等边三角形
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量减法及数量积的运算律，结合导出，再判断三角形形状作答.
【详解】由，得，
于是，则，
所以是等腰直角三角形，B正确，ACD错误.
故选：B
练习20．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考期中）已知向量，．
(1)求；
(2)已知，且，求向量与向量的夹角．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答.
（2）由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再求出夹角作答.
【详解】（1）向量，，则，
所以.
（2）由，，得，解得，
由，得，于是，
而，则有，
所以向量与向量的夹角.
题型五向量的模
例9．（江西省2023届高三高考适应性大练兵联考数学（理）试题）已知单位向量，满足，则__________．
【答案】/
【分析】将两边平方，根据数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，为单位向量且满足，
所以，即，
即，解得.
故答案为：
例10．（2023·重庆·统考模拟预测）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．D．5
【答案】D
【分析】根据模长的坐标运算可得，分析可得同向，进而可求结果.
【详解】因为，即，
则同向，所以.
故选：D.
练习21．（2023春·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期中）若非零向量满足，则夹角的余弦值为________．
【答案】/
【分析】利用给定等式，结合数量积的运算律求出的表达式，再利用向量夹角公式计算作答.
【详解】由，，得，则，
因此，
所以夹角的余弦值为.
故答案为：
练习22．（2023·湖北·统考模拟预测）已知向量，若，则__________.
【答案】
【分析】由得，根据向量数量积的坐标运算求得的值，进而求得.
【详解】根据题意，因为，所以，
所以，所以，
所以，
此时，则.
故答案为:.
练习23．（2023·北京·人大附中校考三模）已知向量，与共线，则=（ ）
A．6B．20C．D．5
【答案】C
【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.
【详解】由题意知，
又，所以，所以，
所以，所以，
所以.
故选：C
练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知向量是非零向量，λ、，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据得，两边平方化简即可得即或，由此即可判断．
【详解】若，则，
两边平方可得，
即，即，
即或，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
练习25．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知向量，，，__________；在上的投影向量的坐标为__________．
【答案】 /； .
【分析】由条件结合向量的模的坐标表示求，根据向量的模与数量积的关系由条件求，再由投影向量的定义求在上的投影向量的坐标.
【详解】因为，所以，
由可得，
所以，即
所以，
所以在上的投影向量为．
故在上的投影向量的坐标为.
故答案为：；.
题型六数量积的最值、范围问题（基底法）
例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，，，，为的中点，在平面中，将线段绕点旋转得到线段．设为线段上的点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据题意，，，利用向量的数量积运算即可求解.
【详解】连接MD，则，，
所以，
由于为等腰直角三角形，为线段上的点，
所以
因此，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
例12．（2023春·辽宁朝阳·高三朝阳市第一高级中学校考期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）．
(1)求的值；
(2)若点满足，求的最小值，并求此时的．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将化为和表示，利用和的长度和夹角计算可得结果；
（2）用、表示，求出关于的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果.
【详解】（1）因为为的三等分点（靠近点），所以，
所以，
所以
.
（2）因为，所以，
因为，
所以
，
所以当时，取得最小值.
练习26．（2023春·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则__________，的最小值为___________.
【答案】
【分析】由平行四边形的面积为，可得，由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值.
【详解】因为平行四边形的面积为，
所以，得，
如图，连接，则,
所以，
因为三点共线，所以，得，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：，.
练习27．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______.
【答案】
【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解.
【详解】是BC中点，
，
M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
，
同理可得，
.
故答案为：.
练习28．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，求出的范围，再利用向量线性运算及数量积运算律求解作答.
【详解】连接，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，
因为，即是正三角形，于是，而M为AB的中点，且，
所以.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及定长的线段两端点为向量端点的向量数量积，取线段的中点，借助向量数量积的计算公式求解是关键.
练习29．（2023春·全国·高三专题练习）已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】法一：设（），把与表示为与的线性关系，把表示成关于的解析式，求解出取值范围；法二：建立坐标系，写出各点的坐标，进而求出的范围
【详解】法一：因为在上，不妨设，
则（其中）
所以
，
因为，所以
法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则，，，，其中∠ABC=45°，设点，
其中，，
∴
∵
∴
故选：D.
练习30．（2023·全国·高一专题练习）在直角三角形中，在线段上，，则的最小值为___________.
【答案】/
【分析】由题可知，，，设，则，将模长和数量积代入由二次函数的性质求出最小值.
【详解】由题可知，，，设，
则则所以
，
当时，的最小值为.
故答案为：.
题型七数量积的最值、范围问题（坐标法）
例13．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知中，，，，点为边上的动点，则的最小值为_________.
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算求解即可.
【详解】
过作，垂足为，以为原点，直线，分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图，
在中，，，
∴，，，
由题意，设，，则，，
∴，
∴当时，的最小值为.
故答案为：.
例14．（2023·天津滨海新·统考三模）在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________．
【答案】
【分析】作出向量在向量上的投影向量，在直角三角形中求出；以点为坐标原点，为轴建立直角坐标系，利用坐标法求出的最小值.
【详解】过点作垂直于点，则向量为向量在向量上的投影向量，
由题意知点为线段的中点，所以，
所以，又为锐角，故.
以点为坐标原点，为轴建系如图，则，，.
因为，所以.
因为点为线段上的动点，所以设，故点.
，.
当时，取到最小值.
故答案为：；.
练习31．（2023·上海·高三专题练习）如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为____________．
【答案】4
【分析】建立平面直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案.
【详解】由在直角梯形中．，
则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系，
设，设，则，
故，
所以，故，
当且仅当即时取得等号，
即的最小值为4，
故答案为：4
练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】C
【分析】构建直角坐标系，令，，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.
【详解】构建如下直角坐标系：，令，，
由可得：，
则且，
所以当时，的最大值为.
故选：C
练习33．（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用坐标法，设，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
则，
∴，
设，，
∴，
又，
∴，
解得，
∴，
即的最小值为.
故选：B.
练习34．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________.
【答案】6
【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），写出各点坐标，结合向量加法以及模的坐标运算，运用二次函数的知识即可求出最小值.
【详解】如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），
因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以当，即时，的最小值为6.
故答案为：6
练习35．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示求得的表达式，配方后即可求得答案.
【详解】如图，以正六边形的中心为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
则,设点，
则,
故
，
故当，即P点坐标为时，
取到最小值为，
故答案为：
【点睛】方法点睛：建立恰当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，求得的表达式即可求解最值.
八、未命
题型八数量积的最值、范围问题（数形结合法）
例15．（2023春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期中）已知平面向量，，满足，，，且，则的最大值为________．
【答案】/
【分析】设，由题意分析知，所求为的最大值，设，的中点，由可得，即点的轨迹方程为以为圆心，半径为的圆，求解即可.
【详解】设，因为，
所以，所求为的最大值，当在同一平面时，
有最大值，如图建系，
不妨设，的中点，
由条件可知，，，，
由可知，，
消参可得：，即点的轨迹方程为以为圆心，半径为的圆，
所以的最大值为，故的最大值为.
故答案为：.
例16．（2023·上海·高三专题练习）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为______．
【答案】
【分析】由向量平行的坐标表示可得，在坐标系中，，将按向量平移至，根据轨迹为直线，将问题化为最小，数形结合法求原点到直线距离即可得结果.
【详解】由，又向量与互相平行，
所以，故，
令，，则，
所以，将按向量平移至，
所以是直线上的动点，如下图示，
所以，故，
由图知：要使最小，只需三点共线且到直线距离最短，
故最小值为原点到直线的距离，最小值为，此时题设中的x=2，y=1.
故答案为：
练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】C
【分析】构建直角坐标系，令，，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.
【详解】构建如下直角坐标系：，令，，
由可得：，
则且，
所以当时，的最大值为.
故选：C
练习33．（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用坐标法，设，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
则，
∴，
设，，
∴，
又，
∴，
解得，
∴，
即的最小值为.
故选：B.
练习34．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________.
【答案】6
【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），写出各点坐标，结合向量加法以及模的坐标运算，运用二次函数的知识即可求出最小值.
【详解】如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），
因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以当，即时，的最小值为6.
故答案为：6
练习35．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示求得的表达式，配方后即可求得答案.
【详解】如图，以正六边形的中心为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
则,设点，
则,
故
，
故当，即P点坐标为时，
取到最小值为，
故答案为：
【点睛】方法点睛：建立恰当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，求得的表达式即可求解最值.
八、未命名题型
练习36．（2022秋·湖北荆门·高二荆门市龙泉中学校考阶段练习）已知平面向量，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，得到的几何意义为以原点为起点的情况下，的终点到的终点的距离为1，由此可求解的取值范围.
【详解】如图所示，由，可得，
根据向量减法及模的几何意义，则再以原点为起点的情况下，的终点到的终点的距离为1，
所以的取值范围是.
故选：B.
练习37．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考阶段练习）已知是平面向量，其中是单位向量．若非零向量与的夹角是，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
【详解】以向量的起点为原点，以为的正方向，建立平面直角坐标系，则，
设，
则由得，
所以
由得，
所以点在直线上，点在圆，
又，
所以等于点到点的距离，
圆的圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，
因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，即
故选：A.
练习38．（2022秋·江西吉安·高三吉安一中校考期中）已知平面向量，，，，满足，，，若，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据已知得到与终点的轨迹，设出利用圆的相关知识即可求得的范围.
【详解】由已知，，，设
不妨设，，
可得
又因为，故
所以，即
所以，易知，终点在以为圆心，为半径的圆上.
终点在以为圆心，为半径的圆上.
的取值范围为与终点距离的取值范围
故
故答案为：
练习39．（2023春·北京·高三北京市第一六六中学校考阶段练习）已知向量满足，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】把平移到共起点以的起点为原点，所在的直线为轴，的方向为轴的正方向，求出的坐标，则根据得的终点得轨迹，根据 的意义求解最大值.
【详解】把平移到共起点，以的起点为原点，所在的直线为轴，的方向为轴的正方向，见下图，设，则
又则点的轨迹为以为直径的圆，又因为所以故以为直径的圆为，所以的最大值就是以为直径的圆上的点到原点距离的最大值，所以最大值为
故选：C
练习40．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，且，则的最大值是_______；最小值是________．
【答案】 /0.5 1
【分析】利用向量的坐标形式，代入化简等式，可得到向量、终点轨迹，即可得到最值
【详解】设，
由得：，而，
所以，
故向量：以原点为始点，终点是圆心为，半径为的圆上的点，
当时，；
设，代入整理得，，
故为以原点为始点，终点在射线上的点，
故为始点在圆上，终点在上的向量，
则.
故答案为：；1．
题型一
求数量积
题型二
求两个向量的夹角
题型三
求投影向量
题型四
垂直关系的判断及应用
题型五
向量的模
题型六
数量积的最值、范围问题（基底法）
题型七
数量积的最值、范围问题（坐标法）
题型八
数量积的最值、范围问题（数形结合法）
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