2024年高考冲刺押题预测卷-数学(全国卷文科)-(考试版A4+参考答案+全解全析)

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
所以，
而，所以，故选B.
2．已知复数，则复数的模为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】．故选B.
3．已知向量，，若，则（ ）
A．0B．
C．1D．2
【答案】C
【解析】由题意可得：，
若，则，解得，故选C.
4．点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解析】抛物线开口向右，准线方程为，
点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6，
点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4．故选A．
5．如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】D
【解析】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，即.
所以，，，，故选D．
6．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】因为，所以，
故为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度，故选B.
7．已知数列是等差数列，且，，则数列的公差是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】数列是等差数列，且，，
，解得，，
则数列的公差是，故选B．
8．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
所以，
所以
故选:B.
9．执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知循环四次，分别是：
；；；；
这时，故输出．故选C.
10．已知直线，则“是直线与相交”的（ ）
A．充分必要条件B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件D．即不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当直线与相交时，则，即，
当时满足，即“是直线与相交”的充分条件，
当直线与相交时，不一定有，如时也满足，
所以“是直线与相交”的充分而不必要条件，
故选：C.
11．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为坐标原点，若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】是中点，设是双曲线的右焦点，如图，
则，．所以，
由双曲线定义知，所以，从而，
因为是圆切线，所以，
所以，所以．
故选：B．
12．已知为定义在上的偶函数，已知，当时，有，则使成立的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，其中，因为函数为定义在上的偶函数，
则，所以，，
所以，函数为偶函数，
当时，，
所以，函数在上为减函数，且，
由可得，则，
所以，，解得或，
因此，使成立的的取值范围为.
故选：D.
第Ⅱ卷
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知函数是偶函数，则实数 .
【答案】2
【解析】因为函数的定义域为，
函数是偶函数，所以，
则，
，所以，
解得：，经检验满足题意.
14．已知实数满足约束条件，则的最小值为 .
【答案】
【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图所示，

将化为，则由图可得当直线经过点时，
取得最小值，
所以联立，解得，所以.
15．已知数列的前项和为，，，则 .
【答案】
【解析】根据题意，可得，，…，，
所以
.
16．在三棱锥中，是边长为2的正三角形，分别是的中点，且，则三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】取的中点，连接，
因为是边长为2的正三角形，，
所以，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以⊥，
因为分别是的中点，所以是的中位线，
故，
因为，所以，
因为平面，，
所以⊥平面，
因为平面，
所以⊥，⊥，
因为，，
由勾股定理得，
因为，所以，
由勾股定理逆定理可得⊥，
所以两两垂直，
故棱锥外接球即为以为长，宽，高的长方体的外接球，
设外接球半径为，
则，解得，
则三棱锥外接球的表面积为.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.、
（一）必考题：共60分.
17．（本小题满分12分）在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
（1）B的大小；
（2）的面积．
条件①：；条件②：．
【解】选择条件①：，
（1）由，得，
所以；
又，
所以；
（2）由正弦定理知，
所以；
所以，
所以的面积为．
选择条件②：．
（1）由正弦定理得，
所以；
又，
所以，
所以；
又，
所以；
（2）由正弦定理知，
所以；
所以，
所以的面积为．
18．（本小题满分12分）为了营造浓厚的读书氛围，激发学生的阅读兴趣，净化学生的精神世界，赤峰市教育局组织了书香校园知识大赛，全市共有名学生参加知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，组委会将初赛成绩分成组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这名学生初赛成绩的平均数及中位数（同一组的数据以该组区间的中间值作为代表）；（中位数精确到0.01）
(2)组委会在成绩为的学生中用分层抽样的方法随机抽取人，然后再从抽取的人中任选取人进行调查，求选取的人中恰有人成绩在内的概率.
【解】（1），
设中位数为，因为前组的频率之和为，
而前2组的频率之和为，所以，
由，
解得：，
故可估计这500名学生初赛成绩的中位数约为；
（2）根据分层抽样，由频率分布直方图知成绩在和内的人数比例为，
所以抽取的5人中，成绩在内的有人，记为，；
成绩在内的有人，记为，，，
从5人中任意选取2人，有，，，，，，，，，，共10种可能；
其中选取的2人中恰有1人成绩在区间内的有，，，，，，共6种可能；
故所求的概率为．
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，，，，，
(1)求证：平面平面；
(2)若点为的中点，求三棱锥的体积.
【解】（1）因为，取中点连接，所以，
因为，所以，
连接，，，底面四边形为矩形，
所以，，
在中，，，，
所以，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）因为为的中点，
所以到面的距离为到面的距离的一半，
.
20．（本小题满分12分）已知函数
(1)求的单调区间及最值
(2)令，若在区间上存在极值点，求实数的取值范围.
【解】（1）的定义域为，
，
令，解得，即的单调递增区间为；
令，解得，即的单调递减区间为．
故，无最小值；
（2）因为，
所以，
令，则，
令，得；令，得；又，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，，．
若在上存在极值点，则或，
解得或，
所以实数a的取值范围为．
21．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交于、两点（不同于左、右顶点），的周长为，且在上．
(1)求的方程；
(2)若，求直线的方程．
【解】（1）解：由椭圆的定义可得的周长为，
所以，，
将点的坐标代入椭圆的方程可得，
所以，，故椭圆的方程为.
（2）解：在椭圆中，，则、，
设点、，则，，
由题意，设直线的方程为，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
，
同理可得，
所以，
，解得，
所以，直线的方程为或，即或.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线的一般方程；
(2)设直线与曲线C交于A，B两点，求面积的最大值．
【解】（1）∵曲线C的极坐标方程为，
∴曲线C的直角坐标方程为，即，
又∵直线的参数方程为（为参数），
∴直线的一般方程为．
（2）将直线的参数方程（为参数）带入中，
得到，
化简可以得到：，
则，，
圆心C到直线的距离，
则，
当且仅当，即时取等号．
所以的面积的最大值为2．
23．（本小题满分10分）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若函数的最小值为，且正数满足，求证：．
【解】（1）当时，，
解得，所以；
当时，，
解得，所以；
当时，，
解得，所以．
综上，不等式的解集为．
（2）由（1）函数，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，所以．
因为，所以
，
当且仅当时，等号成立，所以．