2024台州山海协作体高一下学期4月期中考试数学含答案

这是一份2024台州山海协作体高一下学期4月期中考试数学含答案，共8页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，向量在向量上的投影向量为，已知复数满足，则等内容，欢迎下载使用。
高一年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数的虚部是（ ）
A．5B．C．D．
2．已知向量，则实数的值为（ ）
A．B．2C．D．8
3．在中，已知，则（ ）
A．3B．4C．3或5D．4或5
4．下列说法错误的是（ ）
A．经过同一直线上的3个点的平面有无数个
B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C．若是两条直线，是两个平面，且，则是异面直线
D．若直线不平行于平面，且，则内不存在与平行的直线
5．向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
8．小明去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
10．关于同一平面内的任意三个向量，下列四种说法错误的有（ ）
A．若，且，则B．
C．若，则或D．
11在中，下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若为锐角三角形，则
C．若，则一定是等腰三角形
D．若为针角三角形，且，则的面积为或
非选择题部分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知的面积为4，右图是的直观图，已知，轴，过作轴于，则的长为______．
13．已知是针角三角形，角的对边依次是，且，，则边的取值范围是______．
14．已知向量夹角为，若对任意，恒有，则函数的最小值为______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知向量．
（1）求的坐标与；
（2）求向量与的夹角的余弦值．
16．（15分）在中，角的对边分别是，若．
（1）证明：是正三角形．
（2）若的三顶点都在球表面，且球的表面积为，求三棱锥的体积．
17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点．
（1）证明：面
（2）在上是否存在一点，使得面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
18．（17分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南方向的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．
绝密★考试结束前
2023学年第二学期台州市山海协作体期中联考
高一年级数学学科参考答案
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【详解】（1）
，
（2）
．
16．【详解】（1），由正弦定理得，，
即，
又，得到，
又是正三角形．
（也可使用射影定理或者将角化边，酌情给分）
（2）设球的半径为，因为球的表面积为，所以，得到，
由（1）知是正三角形，且边长为，
设外接圆半径为，由正弦定理得，所以，
设球心到所在平面距离为，则由球的截面圆性质知，，
得到，
又
三棱锥的体积为．
17．【详解】（1）证明：连交于为中点，是中位线，．
又面面．所以面．
（2）上存在点，且，使得面．
证明：上取点，且，为上的点，且，
在中，，
面面面，
又在中，，
面面面，
因为面，所以面面，
因为面，所以面．
（也可使用线线平行证得线面平行，酌情给分）
18．【详解】设在后，台风中心为，此时台风侵袭的圆形区域半径为，若在时，城市受到台风侵袭，则．
由余弦定理得．，
由于．
故．
，即，解得．
故12小时后，该城市开始受到台风的侵袭．
19．【详解】（1）由已知得，由正弦定理可得，故直角三角形，即．
（2）由（1），所以三角形的三个角都小于，则由费马点定义可知：
，设，由得：
，整理得，
则．
（3）点为的费马点，则，
设，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
C
A
B
A
B
题号
9
10
11
答案
BC
ACD
ABD