四川省乐山市2024届高中第三次调查研究考试理科数学试题

这是一份四川省乐山市2024届高中第三次调查研究考试理科数学试题，共11页。试卷主要包含了设，则，若，则a，b，c的大小关系是等内容，欢迎下载使用。

理科数学
（本试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．9B．8C．6D．5
2．已知是虚数单位，若和互为共轭复数，则复数的模为（ ）
A．2B．C．10D．
3．已知，且为第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
4．设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．设，则（ ）
A．1B．C．2024D．
6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
A．20B．24C．28D．32
7．已知，若存在常数，使得为奇函数，则的可能值为（ ）
A．B．C．D．
8．在区间上任取一个实数，则使函数存在两个极值点的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．在中，点是边上靠近点的三等分点，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
10．若，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
11．在三棱柱中，点在棱上，满足，点在棱上，且，点在直线上，若平面，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
12．已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，是夹角为的单位向量，若，则实数的值是______．
14．若关于，的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形，则的值为______．
15．函数在区间[0，m]上有且仅有3个零点，则的取值范围是______．
16．峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名．其中“九十九道拐”景点约有2000级台阶，某游客一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，给出下列四个结论：
①；②；③；④．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17．（本小题满分12分）
已知是等差数列的前项和．
（1）证明：是等差数列；
（2）设为数列的前项和，若，求．
18．（本小题满分12分）
某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男、女生各50人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛学生至少得60分），并将成绩分成4组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．
（1）现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人”．把随机抽取的参赛学生数据统计如下，将下列列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关．
（2）将频率视为概率，从所有参赛学生中随机抽取3人进行访谈，记这3人中是“科技知识达人”的人数为，求的分布列与数学期望．
附：（其中）．
19．（本小题满分12分）
如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且，与平面所成的角为与交于．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，、分别是椭圆的上下顶点，、分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上的动点（不与，，，重合），是在点处的切线，直线交于点，直线交于点，求证：直线的斜率为定值．
21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）令，若存在，使得成立，求整数的最小值．
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）
在直角坐标系中，曲线的方程为的方程为是一条经过原点且斜率为正的直线．
（1）以坐标原点为极点，轴正方向为极轴建立极坐标系，求、的极坐标方程；
（2）若与、分别相交于异于原点的、两点，当时，求的直角坐标方程．
23．（本小题满分10分）
设不等式的解集为，，．
（1）证明：；
（2）比较与的大小．
乐山市高中2024届第三次调查研究考试
理科数学参考答案及评分意见
2024．5
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
CBABCBADCDDB
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14．或0；15．16．①②④．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．（1）证明：，．
．是等差数列．
（2），
数列的首项为2，第四项为．公差．
．
18．解：（1）
故有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关．
（2）从所有参赛学生中任取一人是“科技知识达人”的概率（或者）
由题意可知：的可能取值为0，1，2，3
，（或者）
，（或者）
，（或者）
，（或者）
的分布列为：
（或者）．
19．（1）证明：连结，
底面是边长为2的菱形，．
，
．
点为线段中点，．
为菱形，平面，
又平面，平面平面，
在平面上的射影为，
为直线与平面所成的角，即．
在中，，
．
则．
又平面平面，
平面．
（2）由（1）知平面，建立如图所示的空间直角坐标系
则，
则
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则即取，则．
即取则．
设二面角大小为，
则．
，
二面角的正弦值为．
20．解：（1）．
点在椭圆上，
，解得或（舍）
．椭圆的方程为．
（2）易知直线斜率不为0，设直线方程为
直线方程为：，
联立，得．
由，得，
．
直线的斜率为：．
直线方程为：．
令，得．
．
21．解：（1）由题意定义域为．
当时，在上单调递增．
当时，由，得
当时，，所以单调递增．
当时，，所以单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）由题知，化简得：
问题等价于：存在，使成立．
设，则
设，
在上单调递增．
又，
在上存在唯一零点．
设零点，则，即．
在单调递减，在单调递增，
．
，且的最小值为5．
22．解：（1）的直角坐标方程，
的极坐标方程为．
的直角坐标方程化简得：，
的极坐标方程为．
（2）由曲线是经过原点且斜率为正的直线．故其极坐标方程可设为，
由题可得，得．
由，得．
．
故的直角坐标方程为．
23．（1）证明：记
则
，解得，即．
则．
（2）由（1）知．
则，
．
科技知识达人
非科技知识达人
合计
男生
15
女生
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
科技知识达人
非科技知识达人
合计
男生
15
35
50
女生
5
45
50
合计
20
80
100
0
1
2
3