广东省顺德区北滘中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

这是一份广东省顺德区北滘中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，则被8除的余数为，若过点可以作曲线的两条切线，则，已知，函数的大致图象可能是等内容，欢迎下载使用。

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册至选择性必修第三册第六章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某学校开设了5门不同的科技类课程，5门不同的运动类课程和5门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）．
A．5种B．15种C．25种D．125种
2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s（m）与时间t（s）之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）．
A．B．
C．D．
3．已知数列满足，，则（ ）．
A．2B．C．5D．
4．对于函数，下列说法错误的是（ ）．
A．有最小值但没有最大值
B．对于任意的，恒有
C．仅有一个零点
D．有两个极值点
5．已知等差数列的前n项和为，点，均在数列的图象上，则的最小值是（ ）．
A．B．C．D．0
6．将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填法共有（ ）．
A．6种B．12种C．24种D．48种
7．已知，则被8除的余数为（ ）．
A．3B．2C．1D．0
8．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）．
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选错的得0分．
9．若展开式中各奇数项的二项式系数的和为128．则（ ）．
A．
B．展开式中各项的系数和为1
C．展开式中的常数项为1120
D．展开式中x的系数为
10．已知，函数的大致图象可能是（ ）．
A．B．C．D．
11．已知数列的前n项和为，且，数列满足，，记数列，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．
C．恒成立
D．若，关于n的不等式，恰有两个解，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12．若函数的导函数为，，则__________．
13．已知正项等比数列的前n项和为，若，，则的最小值为__________．
14．现有佛山某中学研究性学习课题小组，他们在研究某一圆柱形饮料罐的容积、表面积（用料）时遇到了一些困难，请你一起思考并帮助他们解决如下问题：当圆柱形饮料罐的容积V一定时，要使得饮料罐的表面积S最小，圆柱形饮料罐的高h和底面半径r需满足的关系式为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球个数少的取法有多少种？
（2）将4个不同的红球，分给甲、乙两人，每人至少分得1个球，则共有多少种不同的分配方法？
16．（15分）
设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
17．（15分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有3个零点，求a的取值范围．
18．（17分）
已知数列满足，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式．
（2）令，求数列的前n项和．
（3）令，是否存在互不相等的正整数m，s，n，使得m，s，n成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
19．（17分）
已知函数，．
（1）若，求曲线在点处的切线方程．
（2）若，证明：在上单调递增．
（3）当时，恒成立，求a的取值范围．
高二数学参考答案
1．B 根据分类加法计数原理，不同的选法共有种．
2．A ，所以时，此木块在水平方向的瞬时速度为．
3．D 由，，可得，，，所以数列是以2为周期的周期数列，故．
4．D ，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且当时，，，
画出函数的大致图象（图略）可知选项D错误．
5．B 依题意可知，，则，解得，
故，当或5时，的最小值为，
6．B 填好第一行和第一列，其他的行和列就确定，所以不同的填法共有种．
7．D 令，得，令，得，则．因为，
其中被8整除，所以被8除的余数为1，从而被8整除．
8．B 在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以曲线在点P处的切线方程为．
由题意可知，点在直线上，可得，
令函数，，则．
当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以．
由题意可知，直线与的图象有两个交点，则．
9．ABD 由题可得，解得．令，可得展开式中各项的系数和为1．
展开式的通项，所以展开式中不存在常数项，x的系数为．故选ABD．
10．ABC 当，时，是定义在R上的奇函数，当时，，，则在上单调递增，在上单调递减，故A符合题意；
当，时是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，故B符合题意；当，时，是定义在上的偶函数，
当时，，，则在上单调递减，故C符合题意；对于D选项，当x趋近于时，的值趋近于0，故D不符合题意．
11．ACD 当时，，即，所以．
当时，，所以，即，则．
因为，所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以．
由，得，则，所以数列为常数列，所以，即，故．
当时，，令，可得，令，可得，所以，则当或时，取得最大值．
，，因为关于n的不等式，恰有两个解，所以的取值范围为．故选ACD．
12． 由题意得，令，，得，则，所以．
13． 设等比数列的公比为q，由题意知且，则，解得，则，所以．易知当时，，当时，，故的最小值为．
14． 由，得，则，
所以．
令，解得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，此时．
另解：由，可得，代入中可得．
15．解：（1）由题意得不同的取法如下：红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个．
红球4个，取法有1种，
红球3个和白球1个，取法有种，
红球2个和白球2个，取法有种，
所以红球的个数不比白球个数少的取法有种．
（2）共有两种可能：
①每人分得2球，共种分配方法，
②一人分得1球，另一人分得3球，共种分配方法．
所以不同的分配方法共有种．
16．解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且．
依题意得，解得，所以或．
又因为，所以，所以，故，．
（2）．
．
17．解：（1），
当时，恒成立，所以在R上单调递增．
当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减．
当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）可知，又有3个零点，所以，
，．
由，可得或，即a的取值范围为．
18．解：（1）由已知得，且，则，
所以，所以，解得．
（2）由（1）知，所以．
．
（3）由题意可知．
假设存在，则，，
即，，
化简得．
因为，当且仅当时，等号成立．
又因为m，n，s互不相等，所以不存在．
19．（1）解：因为，所以，则．
又，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）证明：因为，所以，则．
令，，则，．
当时，，单调递增，故．
当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，
从而在上恒成立，
则在上单调递增．
（3）解：在上恒成立等价于在上恒成立，
若，则，则显然恒成立．
若，则在上恒成立，令，由（1）可知在上恒成立，故由，得，则，即．
令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，则．
综上所述，a的取值范围为．
1
2
3
3
1
2
2
3
1