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福建省厦门市厦门大学附属科技中学2023-2024学年高二思明班下学期期中考试数学试卷(无答案)
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这是一份福建省厦门市厦门大学附属科技中学2023-2024学年高二思明班下学期期中考试数学试卷(无答案)，共4页。试卷主要包含了已知随机变量的分布列如下，已知，则等内容，欢迎下载使用。
考试时间120分钟 满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.
1.如果质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（ ）
A.B.C.D.
2.的展开式中的常数项为（ ）
A.120B.C.60D.
3.已知随机变量的分布列如下：
则的值为（ ）
A.20B.18C.8D.6
4.6本不同的书摆放在书架的同一层上，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种
A.24B.36C.48D.60
5.现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，则在已知抽到两名同学性别相同的条件下，抽到两名女同学的概率为（ ）
A.B.C.D.
6.已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
7.当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：
...
若在的展开式中，的系数为75，则实数的值为（ ）
A.1B.C.2D.
8.关于的不等式只有唯一实数解，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，则（ ）
A.B.此二项展开式系数最大的项为第4项
C.此二项展开式的二项式系数和为64D.
10.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹*布劳威尔.简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ）
A.函数只有一个不动点
B.若定义在R上的奇函数，图象上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
C.函数只有一个不动点
D.若函数在上存在两个不动点，则实数满足
11.现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）
A.在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是
B.第二次取到1号球的概率
C.如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大
D.如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知随机变量，且，则__________.
13.有10名演员，其中8人会唱歌，5人会跳舞，现要表演一个2人唱歌2人伴舞的节目，则不同的选派方法共有__________种.
14.已知函数，若直线与函数，的图象均相切，则的值为__________；若总存在直线与函数，图象均相切，则的取值范围是__________.
四、解答题：本大题共6小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）当数列的公差不为0时，记数列的前项和为，求证：
16.（15分）
如图，多面体中，四边形为菱形，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.
17.（15分）
已知椭圆的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.
18.（17分）
基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2024年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，的近似值为5.5，以样本估计总体.
（1）假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？
（2）若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望.
（3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，，，.设这4名学生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：若，则，，.
19.（17分）
已知函数.
（1）讨论的单调性.
（2）证明：当时，
（3）证明：.2
3
6
考试时间120分钟 满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.
1.如果质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（ ）
A.B.C.D.
2.的展开式中的常数项为（ ）
A.120B.C.60D.
3.已知随机变量的分布列如下：
则的值为（ ）
A.20B.18C.8D.6
4.6本不同的书摆放在书架的同一层上，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种
A.24B.36C.48D.60
5.现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，则在已知抽到两名同学性别相同的条件下，抽到两名女同学的概率为（ ）
A.B.C.D.
6.已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
7.当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：
...
若在的展开式中，的系数为75，则实数的值为（ ）
A.1B.C.2D.
8.关于的不等式只有唯一实数解，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，则（ ）
A.B.此二项展开式系数最大的项为第4项
C.此二项展开式的二项式系数和为64D.
10.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹*布劳威尔.简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ）
A.函数只有一个不动点
B.若定义在R上的奇函数，图象上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
C.函数只有一个不动点
D.若函数在上存在两个不动点，则实数满足
11.现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）
A.在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是
B.第二次取到1号球的概率
C.如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大
D.如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知随机变量，且，则__________.
13.有10名演员，其中8人会唱歌，5人会跳舞，现要表演一个2人唱歌2人伴舞的节目，则不同的选派方法共有__________种.
14.已知函数，若直线与函数，的图象均相切，则的值为__________；若总存在直线与函数，图象均相切，则的取值范围是__________.
四、解答题：本大题共6小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）当数列的公差不为0时，记数列的前项和为，求证：
16.（15分）
如图，多面体中，四边形为菱形，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.
17.（15分）
已知椭圆的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.
18.（17分）
基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2024年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，的近似值为5.5，以样本估计总体.
（1）假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？
（2）若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望.
（3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，，，.设这4名学生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：若，则，，.
19.（17分）
已知函数.
（1）讨论的单调性.
（2）证明：当时，
（3）证明：.2
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