辽宁省大连市2024届高三下学期一模考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省大连市2024届高三下学期一模考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，集合，，则( )
A.B.C.D.
2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
A.，，…，的平均数B.，，…，的标准差
C.，，…，的最大值D.，，…，的中位数
3．方程表示椭圆，则实数m的取值范围( )
A.B.C.D.且
4．已知直线a，b，c是三条不同直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，且，则
D.若，且，则
5．将六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中A，B分配到同一所学校，则不同的分配方法共有( )
A.12种B.18种C.36种D.54种
6．若，且，则( )
A.B.C.D.1
7．设函数则满足的x的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.2D.
二、多项选择题
9．已知i是虚数单位，下列说法正确的是( )
A.已知，若，，则
B.复数，满足，则
C.复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线
D.复数z满足，则
10．已知函数，若，且，都有，则( )
A.在单调递减
B.的图象关于对称
C.直线是一条切线
D.的图象向右平移个单位长度后得到函数是偶函数
11．已知函数是定义域为R的可导函数，若，且，则( )
A.是奇函数B.是减函数C.D.是的极小值点
三、填空题
12．“函数是奇函数”的充要条件是实数______．
13．已知实数，，且，则的最小值为_________
四、双空题
14．在边长为4的正方形ABCD中，如左图所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把，和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如右图所示，则三棱锥外接球的表面积是_________；过点M的平面截三棱锥外接球所得截面的面积的取值范围是_________．
五、解答题
15．如图多面体ABCDEF中，面面，为等边三角形，四边形ABCD为正方形，，且，H，G分别为CE，CD的中点．
（1）证明：；
（2）求平面BCEF与平面FGH所成角的余弦值；
（3）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AD交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．
16．已知函数．
（1）若恒成立，求a的取值范围；
（2）当时，证明：．
17．一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．
（1）求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；
（2）停止取球时，记总的抽取次数为X，求X的分布列与数学期望：
（3）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中2个白球，1个黑球：乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球．采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y，求Y的数学期望，并从实际意义解释X与Y的数学期望的大小关系．
18．在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，已知两点，点M满足，记点M的轨迹为G．
（1）求曲线G的方程：
（2）若P，C，D为曲线G上的三个动点，的平分线交x轴于点，点Q到直线PC的距离为1．
(i)若点Q为重心，用a表示点P的坐标；
(ii)若，求a的取值范围．
19．对于数列，定义“T变换”：T将数列A变换成数列，其中，且．这种“T变换”记作，继续对数列B进行“T变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
（1）写出数列A：3，6，5经过5次“T变换”后得到的数列：
（2）若不全相等，判断数列不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；
（3）设数列A：2020，2，2024经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．
参考答案
1．答案：C
解析：集合，集合，
则，有.
故选：C
2．答案：B
解析：评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.
3．答案：D
解析：方程表示椭圆，
若焦点在x轴上，；
若焦点在y轴上，.
综上：实数m的取值范围是且
故选：D
4．答案：D
解析：若，则a，b可以是平行，也可以是相交或异面，故A错误；
若，则或，故B错误；
若且，当时，不能证明，C选项错误；
若，且，在a上取一点P，作，
由面面垂直的性质定理可得且，既a与重合，可得，故D正确.
故选：D
5．答案：B
解析：将余下四人分成两组，每组两人，有种分法，
故不同的分配方法共有种，
故选：B.
6．答案：A
解析：由得，
即，
因为，所以，
所以，结合，且，，
得，，
所以.
故选：A.
7．答案：C
解析：因为，
所以
，
设，显然定义域为R，，
又，
所以为R上的奇函数，
又，
所以在R上单调递增，
又，则，
所以，即，
所以，解得，
则满足的x的取值范围是．
故选：C．
8．答案：A
解析：设，由对称性不妨设A在第一象限，此时M也在第一象限，
因，所以，
所以，又，
解得，
所以，
所以，解得，所以，代入双曲线方程得：，
解得，，所以.
故选：A
9．答案：BCD
解析：对A，虚数不能比较大小，可知A错误；
对B，根据共轭复数的定义知，当时，，
则，故B正确；
对C，因为复数z满足，
则复数在复平面上对应的点到，两点间的距离相等，
则复数z在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线，
即z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C正确；
因为，
则，
又，
故D正确，
故选：BCD.
10．答案：BC
解析：对A，因为，所以，
又，且，都有，
所以，所以，解得，
即，
又，
所以，，解得，，
又，所以，所以，
当时，又在上不单调，
所以在上不单调，故A错误；
对B，因为，
所以的图象关于对称，故B正确；
对C，因为，设切点为，
则，
所以，
所以或，，
解得，或，，
又，
因为，即，解得，
所以，
即直线是函数在处的切线，故C正确；
对D，将的图象向右平移个单位长度后得到，
显然是非奇非偶函数，故D错误.
故选：BC
11．答案：ACD
解析：令，得，令，得，所以是奇函数，A正确；
，
令，
又，，
，，，，，
令，，，或，，，
在和上为增函数，在上为减函数，
是的极小值，故CD正确，B错误.
故选：ACD.
12．答案：0
解析：若函数是奇函数，
则当且仅当，
也就是恒成立，从而只能.
故答案为：0.
13．答案：
解析：，
设，其中，则，
当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故，此时，
故的最小值为.
故答案为：.
14．答案：①.②.
解析：由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4长方体，如图所示：
三棱锥外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径，，
所以三棱锥外接球的表面积为，
过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O的大圆，此时截面圆的面积为，
最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆，此时截面圆半径（其中MN长度为长方体前后面对角线长度），
故截面圆的面积为，
所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为．
故答案为：；
15．答案：（1）证明见解析
（2）
（3），作图见解析
解析：（1）在正方形中，，
∵平面平面，平面平面平面，
平面，又平面，
；
（2）为等边三角形，设中点为O，∴，
又平面平面，面面，面，则面，
以O为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，则，则，，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为
则，取得，，所以，
设平面的一个法向量为
则，取得，，所以，
所以，
所以平面与与平面成角的余弦值为；
（3）如图所示：在上取一点P，使得，连接，
因为，，所以，即，
所以为平行四边形，故，
因为H，G分别为CE，CD的中点，所以，
故，即G，H，P，F共面，
故.
16．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由已知得，在上恒成立，
设，，
，解得，，解得，
在上为减函数，在上为增函数，
，即，
；
（2）法一：由（1）知时，恒成立，
取，得成立，时取等号．
所以当时，，
设，，故时，，
在上为增函数，
，
．
所以时，，即．
由此可证，当时，，结论得证．
法二：当时，若证成立．即证，
设，，，
设，
当时，，在上为增函数．
，，
在上为增函数，，
由此可证，当时，成立．
17．答案：（1）；
（2）分布列见解析，
（3），在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．
解析：（1）设“停止取球时盒中恰好剩3个白球”为事件A，
则；
（2）X的可能取值为3，4，5，6，
，，，，
所以X的分布列为
X的数学期望；
（3）Y的可能取值为3，4，5，6，设甲盒、乙盒抽取次数分别为、，
因为乙盒中两种小球个数相同，所以无论甲盒剩余小球什么颜色，乙盒只需取完一种颜色即可，
，
，
，
，
Y的数学期望，
在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．
18．答案：（1）
（2）(i)；(ii)
解析：（1）设点，，，
，，，，，
即，，
，
，
，，
化简得曲线G的方程：；
（2）(i)解法1：设，，，为的角平分线．
Q为重心为的中线，S三线合一可得
，，
Q为重心
①
设直线方程为：，直线方程为：，
是的平分线，点Q到直线的距离为点到直线的距离为1，
，
可得
同理，
即m，n是方程的两根，，
联立可得：，
，，同理，，
点Q为重心，，即，
又，，
故点的坐标为②
联立①②可得即
解法2：
是的平分线，点Q到直线的距离为1，点到直线的距离为1，
直线与圆Q：相切，
设直线与圆的切点分别为，，
设直线上任意一点坐标为，则，可得，整理得，
结合，进一步可得直线方程为：，
同理直线方程为，
因为点在两条直线上，
所以可知直线的方程为，
代入圆方程可得：
即：
设直线的斜率，直线的斜率为，
即，
联立直线与抛物线方程，，
可得：，
，同理可得，
点为重心，，即，
又，，
故点P的坐标为②
其余过程同解法1．
(ii)由(i)知，
，
，，
，，
，等价于时满足题意．
19．答案：（1）0，1，1
（2）不会，理由见解析
（3）507
解析：（1）由题知，5次变换得到的数列依次为
3，1，2；2，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；
所以数列A：3，6，5经过5次“T变换”后得到的数列为0，1，1.
（2）数列A经过不断的“T变换”不会结束，
设数列，，
且，，
由题可知：，，，
，
即非零常数列才能经过“T变换”结束；
设（e为非零常数列），
则为变换得到数列E的前两项，数列D只有四种可能：
；；；，
而以上四种情况，数列E的第三项只能是0或，
即不存在数列D，使得其经过“T变换”变成非零常数列，
故数列A经过不断的“T变换”不会结束；
（3）数列A经过一次“T变换”后得到数列，
其结构为a，，4，（a远大于4）
数列B经过6次“T变换”后得到的数列依次为：
4，a，；，4，；；，4；4，，；
，4，；，，4；
所以，经过6次“T变换”后得到数列也是形如“a，，4”的数列，
变化的是，除了4之外的两项均减小24，
则数列B经过次“T变换”后得到的数列为：2，6，4，
接下来经过“T变换”后得到的数列依次为：
4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；
至此，数列各项和的最小值为4，以后数列循环出现，
数列各项之和不会变得更小，
所以最快经过次“T变换”得到的数列各项之和最小，
即k的最小值为507．
X
3
4
5
6
P