河南省商丘市部分学校联考2024届高三下学期5月适应性考试数学试题（原卷版+解析版）

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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题先解不等式得到集合A，再求交集即可.
【详解】解：由题可知：，
又，故，
故选：D.
2. 已知等差数列的前项和为，且满足成等差数列，，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的性质与前项和，列方程组即可得的值.
【详解】设等差数列的公差为，因为成等差数列，
则，又，则，解得.
故选：C.
3. “”是“为第一象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可.
详解】易知，所以
为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上角，
显然不满足充分性，满足必要性.
故选：B
4. 已知复数和满足，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设，利用复数模长结合已知组成方程组，解出即可.
【详解】设
因为，所以，即，①
又，所以，即，②
又，所以，即，③
②③可得，④
把①代入④可得，
所以，故A正确；
故选：A.
5. 若动直线始终与椭圆（且）有公共点，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线方程得出直线过定点，再由直线与椭圆有公共点列出不等式，结合椭圆离心率公式计算即可．
【详解】由直线得，直线过定点，
由题意得，点在椭圆上或椭圆内部，
所以，则，所以椭圆焦点在轴上，
所以，
故选：C．
6. 已知，且，则在空间直角坐标系中，对应的点的个数为（ ）
A. 48B. 24C. 12D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据坐标特点确定元素取值情况，再根据排列组合计数即可得结论.
【详解】已知，且，
则在或里取一个值，或里取一个值，必取值，
故符合的取法对应的点的个数为.
故选：B.
7. 在正四棱柱中，已知，为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取中点，连接，过点作于点，连接，证明出平面，求出即可求解．
【详解】如图所示，取中点，连接，
则，点四点共面，，，
过点作于点，连接，则，
在中，，解得，
，则，
由正四棱柱得，平面，则平面，
又平面，所以，，
所以，
因为，，平面，且平面，
所以平面，所以线段在平面上的射影为线段，
故选：D．

8. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用组合数公式可得，再求和并结合二项式系数的性质求出，然后赋值即得.
【详解】依题意，
，
则
，
所以.
故选：C
【点睛】关键点点睛：正确掌握并运用组合数公式及阶乘的运算性质是解决本题的关键.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 演讲比赛中，12位评委对小李的演讲打出了如下的分数：
若去掉两个最高分，两个最低分，则剩下8个分数的（ ）
A. 极差为0.3B. 众数为9.0和9.1
C. 平均数为9.025D. 第70百分位数为9.05
【答案】AC
【解析】
【分析】利用极差、众数、平均数、百分位数的求法一一判定选项即可.
【详解】易知去掉最高分和最低分后剩下的8个分数分别为，
显然极差为，众数为9.0，平均数为，
，则第70百分位数为数据中的第6个数即9.1.
显然A、C正确，B、D错误.
故选：AC
10. 已知函数的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点，则（ ）
A.
B.
C. 在上单调递减
D. 方程在内恰有4个互不相等的实根
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据正弦型三角函数的图象性质确定的值，从而可判断A，B；得的解析式后根据其单调性与图象可判断C，D.
【详解】由题意可得，将代入可得，所以，
又，所以或，
根据图象可知点在其递减区间上，故，故A不正确；
将代入可得，结合图象可得，所以，
且，故，则，故，故B正确；
则，当时， ，则在上单调递减，故C正确；
当时，则，从而可得在上的图象如下：
由图可得方程在内恰有4个互不相等的实根，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】法一、利用赋值法结合抽象函数的奇偶性、对称性、周期性可判定A、B、C选项，利用C的结论可判定D项；法二、构造函数，利用正、余弦函数的性质一一判定选项即可.
【详解】法一、由题意可知为上奇函数，即，
令
或0（舍去），故A错误；
令，
故B正确；
由条件可知，，
则有，
所以，则，故C正确；
由C：，即的一个周期为，
所以，故D错误.
法二、由题意可设，则，显然符合条件，
对于A项，，故A错误；
对于B项，，故B正确；
对于C项，，故C正确；
对于D项，，所以，
故D错误.
故选：BC
【点睛】思路点睛：抽象函数性质综合问题一般使用赋值法，通过令及构造并判定其是否相等可分别判定A、B、C选项，另外结合函数的奇偶性与其导函数奇偶性的关系可得出最终结果；还可以通过观察条件构造合适的基础函数能更快捷的得出结果.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若正数满足，则的最小值是______．
【答案】4
【解析】
【分析】由基本不等式求解即可．
【详解】因为为正数，，
所以，即，当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：4．
13. 在中，角的对边分别为，为线段延长线上一点，平分，且直线与直线相交于点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理计算及，的值，在中使用两角差的正弦公式计算即可.
【详解】如图所示，因为，所以，
在中，由余弦定理得，
即，故，
由余弦定理得，
所以
又因为直线平分，所以，
所以，
所以，
化简得.
故答案为：.
14. 已知过点的直线分别与圆交于两点（点在的上方）和两点（点在的上方），且四边形为等腰梯形，若，则梯形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由四边形为等腰梯形及得出直线的方程，结合圆的方程求出点的坐标，即可计算出面积．
【详解】不妨设点在第一象限，设与轴交点为，如图所示，
由圆得，，圆心，半径为，
因为，所以，
因为四边形为等腰梯形，
所以，点与点关于轴对称，轴，
则，解得，
所以，
设直线的倾斜角为，则直线的斜率为，
设直线的方程为，，
由得，，
解得，，，
则，，
所以梯形的面积为，
故答案为：．
【点睛】关键点睛：解题关键是由对称性，及二倍角公式求出直线的斜率．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下：
利润率，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变．
（1）比较两家旅游公司过去6个月平均每月利润率的大小；
（2）用频率估计概率，且假设两家旅游公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个月两家旅游公司至少有一家盈利的概率．
【答案】（1）A公司过去6个月平均每月的利润率大于B公司过去6个月平均每月的利润率
（2）
【解析】
【分析】（1）由加权平均数的计算公式直接计算结果比较即可；
（2）由独立乘法公式以及对立事件概率的求法即可得解.
【小问1详解】
A公司过去6个月平均每日的利润率为，
B公司过去6个月平均每月的利润率为，
因为，
所以A公司过去6个月平均每月的利润率大于B公司过去6个月平均每月的利润率．
【小问2详解】
A公司过去6个月盈利的频率为，
B公司过去6个月盈利的频率为，
用频率代替概率，可知两公司未来某个月盈利的概率分别为．
设两家旅游公司盈利分别为事件，由题知与相互独立，
所以所求概率为．
16. 如图，在三棱柱中，为底面的重心，点分别在棱上，且
（1）求证：平面；
（2）若底面，且三棱柱的各棱长均相等，求平面与平面DOG的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用平行线比例关系，构造辅助线，即可证明；
（2）根据底面特点，建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，根据向量公式求二面角的余弦值.
【小问1详解】
如图，连接并延长，交于，延长线段，交于，连接．
因为为底面的重心，所以，
又，
所以，所以，
所以．
因为，所以，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
取的中点为，连接．
因为底面，且三棱柱的各棱长均相等，
所以直线两两互相垂直．
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设三棱柱的棱长为6，则，
所以．
设平面的法向量为，
则，即，可取
易知平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
17. 已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近线的斜率为．
（1）求的方程．
（2）若动直线与交于两点，且，证明：为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由渐近线的斜率设，再将代入求解即可；
（2）分两种情况证明，当直线的斜率存在，设，与双曲线联立，根据韦达定理及得出，设点到直线的距离为，则由等面积法即可证明；当直线的斜率不存在，设直线的斜率为1，分别求出，即可证明．
【小问1详解】
由题可设双曲线的方程为．
因为经过点，
所以，解得，
故的方程为．
【小问2详解】
若直线的斜率存在，设，
由，消去得，
则，即，
设，则，
因为，所以，即，
所以，整理得，
设点到直线的距离为，则由等面积法得，所以，
又，所以；
若直线的斜率不存在，则直线的斜率为，
不妨设直线的斜率为1，则，
将点的坐标代入方程，得，
所以，
所以．
综上，为定值．
18. 已知函数的定义域为，其导函数．
（1）求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点；
（2）若，满足，且，求的取值范围．
【答案】（1），经过一个定点
（2）
【解析】
【分析】（1）利用求导法则得，根据条件及导数的几何意义、直线的点斜式计算即可；
（2）利用导函数有两个零点得出的关系及范围，消元化简得，构造函数，利用导数研究其单调性及最值即可.
【小问1详解】
因为，
所以（c为常数）．
因为，所以，
所以．
又，
所以曲线在点处的切线的方程为，
即，
所以经过定点．
【小问2详解】
令，可得．
因为，满足，且，
所以关于的方程有两个不相等的正实数根，
则，
所以
，
令函数，
则，
令，得，
因为当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又当时，，
所以的取值范围为，
即的取值范围为．
19. 当，且时，我们把叫做数列的子数列．已知为正项等比数列，且其公比为．
（1）直接给出与的大小关系．
（2）是否存在这样的满足：成等比数列，且子数列也成等比数列？若存在，请写出一组的值；否则，请说明理由．
（3）若，证明：当，时，有．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接通过下标的性质即可比较大小；
（2）先假设存在这样的，然后利用题设推出矛盾；
（3）利用及的定义即可得到，然后利用作差法、放缩法结合等比数列求和公式，即可证明.
【小问1详解】
由题可知，
.
故，显然不等号取等当且仅当.
【小问2详解】
不存在.
设.
假设存在这样的，则，从而，即.
而，故，即.
但成等比数列，设，则由知.
而，故，则.
这导致矛盾，所以不存在这样的.
【小问3详解】
设，则由可知.
注意到，且为正项等比数列，其首项、公比分别满足，，
此时我们有
，
也就是说，
综上所述，当，时，有．
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，在第2小问中先假设存在满足条件的，再导出矛盾，从而说明这样的不存在.
9.3
8.8
8.9
9.0
89
9.0
9.1
8.7
9.2
9.0
9.1
9.2
利润率
月数
公司
-5%
A公司
3
2
1
B公司
2
2
2