内蒙古包头市2022-2023学年高二上学期期末文科数学试题

这是一份内蒙古包头市2022-2023学年高二上学期期末文科数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”的否定是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.
【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“，”的否定是“，”.
故选：A
2. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线的标准方程即可求解.
【详解】由抛物线的标准方程可知：
抛物线的开口向左，焦点在轴负半轴上，
且，所以，，
所以焦点坐标为.
故选：C
3. 已知a，，则“”是方程“表示圆”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】由可化为，
当时，，表示圆，
当表示圆时，，推不出，
所以“”是方程“表示圆”充分不必要条件，
故选：A
4. 在空间直角坐标系中，点A、B坐标分别为，．则A、B两点的距离为（ ）
A. B. C. 10D. 50
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间两点之间距离公式求解即可.
【详解】.
故选：B
5. 下列双曲线中，离心率为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求得各选项的离心率即可得解.
【详解】对于A，中，则，所以A错误；
对于B，中，则，所以B错误；
对于C，中，则，所以C正确；
对于D，中，则，所以D错误；
故选：C.
6. P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，O是坐标原点，已知点M是线段PF的中点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形中位线定理，先求出，然后再根据椭圆的定义，即可算出.
【详解】设为椭圆的右焦点，连接，
因为M是线段PF的中点，为的中点，所以，
因为，所以，
因为椭圆标准方程为，所以，
又由椭圆的定义，有，所以.
故选：C
7. 已知圆O：与圆交于A、B两点，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】把两个圆的方程相减可得所在直线方程，通过半弦长，半径，弦心距的关系，即可得到公共弦长.
【详解】圆与圆的方程相减可得所在的直线方程为，
由于圆的圆心到直线的距离为1，且圆的半径为2，
故，
故选：A
8. 若实数m满足，则曲线与曲线的（ ）
A. 离心率相等B. 焦距相等C. 实轴长相等D. 虛轴长相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的性质逐一分析判断即可.
【详解】因为，所以，
所以曲线与曲线都是焦点在轴上双曲线，
，
所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B正确；
因为，所以离心率不相等，故A错误；
因为，所以实轴长不相等，故C错误；
因为，所以虛轴长不相等，故D错误.
故选：B.
9. M是椭圆：上一点，，是椭圆的两个焦点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆定义及焦点三角形为直角三角形求解即可.
【详解】，
，
又，
，即，
，由，可得.
故选：D
10. 已知命题p：椭圆的离心率e，若．则；命题q：双曲线的两条渐近线的夹角为，若，则．下列命题正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的离心率判断命题的真假，即可得的真假，根据双曲线的渐近线方程判断命题的真假，即可判断的真假，从而可得出答案.
【详解】对于命题，
若，则椭圆的焦点在轴上，
则，
因为，所以，所以，
即，所以命题为假命题，则为真命题，
对于命题，
若，双曲线的渐近线方程为，
所以两渐近线的倾斜角分别为和，
所以两条渐近线的夹角，
所以命题为真命题，则为假命题，
所以，，为假命题，为真命题.
故选：C.
11. 、是双曲线上关于原点对称的两点，、是左、右焦点．若，则四边形的面积是（ ）
A. B. 3C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】判断四边形为矩形，设，，可得，结合双曲线定义可得，化简得，即可求得四边形的面积．
【详解】解：由可知，，所以，
因为，是上关于原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，
设，，由双曲线的定义可得，
所以，
又因为，所以，所以，
所以四边形的面积．
故选：D．
12. 在平面直角坐标系中，，．以下各曲线：①；②；③；④中，存在两个不同的点M、N，使得且的曲线是（ ）
A. ①②B. ③④C. ②④D. ①③
【答案】D
【解析】
【分析】求出的中垂线方程，逐项分析所给曲线是否与所求直线有两个交点即可得解.
【详解】因为且，
所以是的中垂线，又，，
所以中点为，，
故所在直线为，即，
根据题意，直线与所给曲线有两个交点则存在满足题意.
因为过原点，而原点在椭圆内部，故直线与椭圆必有两个交点，符合题意；
因为的圆心为，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，只有一个交点，不符合题意；
把代入，可得，显然方程有两非负解，符合题意；
因为双曲线的渐近线方程为，所以直线与双曲线无交点，故不符合题意.
综上，②④错误，①③正确.
故选：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 以双曲线的焦点为顶点,以双曲线的顶点为焦点的椭圆方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意双曲线的焦距和实轴长分别为椭圆的长轴长和焦距,依据双曲线方程求解即可得到椭圆的方程.
【详解】设椭圆方程为,焦距为,
因为双曲线方程为,
所以焦距为,即,
所以,
又,即,
所以,
所以椭圆方程为.
故答案为:.
14. 抛物线上一点M到x轴的距离为6，则点M到抛物线焦点的距离为______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据抛物线的概念求解即可.
【详解】因为抛物线上一点M到x轴的距离为6，
所以，则，
所以点M到抛物线焦点的距离为.
故答案为：
15. 在平面直角坐标系中，过作圆O：的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据切线的性质可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程，两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程.
【详解】由切线的性质可知，，
故四点共圆，且为直径，
由中点为，,
所以在圆上，
即，
两圆方程相减可得，公共弦的方程为.
故答案为：
16. 设、为椭圆：的两个焦点，P为上一点且在第二象限．若，则点P的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆方程求出，设出点的坐标，列出方程求解即可.
【详解】椭圆,可得.
，
设.
.
联立解得，.
故答案为：.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17. 已知圆C过，，且圆心C在直线l：上．经过点的直线m交圆C于P、Q两点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若，求直线m的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由圆心在直线的垂直平分线与直线l：上求得，从而求得圆的半径，进而得解；
（2）根据题意求得圆心C到直线m的距离为，分类讨论直线m的斜率存在与否两种情况，结合点线距离公式求解即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，线段中点的坐标为，
所以直线AB的垂直平分线的斜率为，其方程为，即，
联立，解得，则，
又圆C半径，
所以圆C的标准方程为．
【小问2详解】
因为，，
所以在中，，则圆心C到直线m的距离为，
当直线m的斜率不存在时，直线m方程为，此时C到直线m距离为2，满足题意；
当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，即，
所以，解得，
所以直线m的方程为，即，
综上可得，直线m方程为或．
18. 抛物线的准线被圆截得的弦长为．
（1）求p的值；
（2）过点的直线交抛物线于点A、B，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据圆的弦长求出弦心距可得准线方程，据此可求出抛物线方程；
（2）设直线AB方程为，，，联立方程，消元后由根与系数的关系，向量数量积的坐标运算即可证明垂直.
【小问1详解】
圆的圆心，半径为2；
所以C到准线距离1，所以准线方程为
所以．
【小问2详解】
由（1）得，抛物线标准方程为．
设直线AB方程为，，
与联立得
，由韦达定理，
所以，即．
19. 已知椭圆的对称中心为原点O，焦点在y轴上，长轴长是短轴长的倍．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的一个焦点为，过F且斜率为1的直线l交椭圆于两点A、B．求椭圆的标准方程并求的面积．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据长轴与短轴的关系直接求解即可；
（2）联立直线与椭圆方程，求出的横坐标，利用求解.
【小问1详解】
设椭圆标准方程为
则有，因为
所以椭圆离心率．
【小问2详解】
椭圆标准方程为，直线l的方程为
设，，直线l方程代入椭圆方程得．
解得
所以的面积．
20. 在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为2．
（1）求M的轨迹方程；
（2）记M的轨迹为曲线，过点能否作一条直线l，与曲线交于两点D、E，使得点P是线段DE的中点？
【答案】（1）
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设，根据所给条件，列出方程化简即可得出轨迹方程；
（2）利用“点差法”求出直线方程，再联立椭圆方程，利用判别式检验即可.
【小问1详解】
设，则，
由得
整理得
所以，点M得轨迹方程为．
【小问2详解】
设，，可得
两式相减得
由题意，，，所以
直线AB方程为
代入得，．
∵，
∴不存在这样的直线l．
21. 已知椭圆：左右焦点分别为、，离心率为，斜率为k直线l交椭圆于两点A、B，当直线l过时，的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）设OA、OB斜率分别为、，若，求证：，并求当面积为时，直线l的方程．
【答案】（1）
（2）证明见解析；或
【解析】
【分析】（1）根据焦点三角形周长求出，再由离心率求出，即可得解；
（2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，消元后由根与系数的关系及斜率公式可得，再由三角形面积求出即可得解.
【小问1详解】
由题意，，，解得，，b=1，
椭圆的方程为．
【小问2详解】
设直线l的方程为，，，
与椭圆方程联立得，
，
可得
所以
O到直线AB的距离，三角形OAB的面积
解得，或
所以直线l方程为或．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错误、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为．
（1）当时，求曲线C与x轴交点的直角坐标；
（2）直线l与曲线C有唯一公共点，求实数m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，令即可得解；
（2）化极坐标方程为直角坐标方程，联立直线与曲线普通方程，利用判别式求解.
【小问1详解】
，得
所以曲线C与x轴交点得坐标为；
【小问2详解】
，
得，即为直线l的方程，
曲线C的普通方程为，
方程与联立得，
得．
【选修4-5：不等式选讲】
23. 已知x、y、z均为正实数，且．
（1）求的最大值；
（2）若，证明：．
【答案】（1）3 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）因为，利用柯西不等式即可求得最大值；
（2）由（1）结合已知条件可得，则有，再利用基本不等式即可求证.
【小问1详解】
因为，所以，
又x、y、z均为正实数，
由柯西不等式有，
所以，当且仅当且，
即时，等号成立，所以的最大值为3.
【小问2详解】
因为，，，，
由（1）得，
即，所以，
当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
因为，所以，即．