陕西省西安中学2024届高三模拟考试（九）数学（理科）试题

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一.选择题（本大题共12小题，共60分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分)
13.1012 14. 3 15. 16.
三、解答题：(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17【解】（1）设等差数列的公差为，
又，则，，
因为成等比数列，所以，
即，
得，
又因为是公差不为零的等差数列，所以，
即分
（2）由（1）知
，
分
18.【详解】（1）令，
，
则，-----3分
，所以，----5分
所以； ----6分
（2）设甲公司获得“优胜公司”为事件，
则，----11分
所以甲公司获得“优胜公司”的概率为．----12分
19.
【解析】（1）如图1，连接BD，
因为四边形ABCD是平行四边形，且，，，
所以，，，
所以，
所以，------2分
所以，所以，
又因为，，BD，PD平面PBD，
所以平面PBD，------5分
因为PB平面PBD，所以，
因为，所以．------6分
（2）如图2，设平面PAB和平面PCD的交线为直线l，
因为，CD平面PAB，AB平面PAB，所以平面PAB，
因为CD平面PCD，平面PAD平面，
所以，
因为平面PBD，所以平面PBD，
因为PB，PD平面PBD，所以∠BPD是平面PAB与平面PCD的二面角，
因为平面平面PCD，所以，即
在Rt△ABP中，因为，，所以
在Rt△BPD中，因为，则，所以△BPD为等腰直角三角形，----8分
方法一：由（1）得CD⊥平面PBD，如图3，以点D为坐标原点，DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，
设平面PDC的法向量为，
则，取，则，得，----------------9分
设平面PDA的法向量为，
则，取，则，得，----------10分
记二面角A—PD—C的平面角为，由图观察可得为钝角，
所以------------------------------------------------------12分
方法二：在△PAD中，因为，，，则
，所以，又因为，
记二面角A—PD—C的平面角为，由二面角的定义可知，的大小为直线PA与DC夹角或补角，
等价于直线PA与AB的夹角，在Rt△ABP中，因为，，，由图观察可得为钝角，所以-------------------------12
20.解：依题意有解得--------3分
所以椭圆C的标准方程为-------4分
设，，，PQ的中点为，
①证明：由，可设直线PQ的方程为，则PQ的斜率
由，
所以，--------6分
于是，从而，
即，则直线ON的斜率，
又由知，直线TF的斜率，得
从而，即，
所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．------8分
②由两点间距离公式得，
由弦长公式得，
所以，-------10分
令，则当且仅当时，取“=”号，
所以当最小时，由，得或，
此时点T的坐标为或 -----12分
21.【详解】（1）由题设，则， 1分
若，则，，可得，递增；
若，则，，可得，递减；---------4分
又，
综上，，值域为.-----------5分
（2）由，，则，----------6分
令，，则，且，
当，，（舍）； ------------7分
当，则，故，
令，则
，
又，对于，有，即递增，
所以，故恒成立，
所以，即在上递增，又，则，
所以在上递增，又，即，，符合题意；---9分
当，令，则，，-------10分
所以（舍）；11分
综上，正整数a的取值集合----12分
22【解】（1）由，得，
两式平方相加得：；
所以曲线的普通方程为------3分
由，得 ，
，即；
所以曲线的直角坐标方程为；--------5分
（2）若，则，
故，
此时曲线的方程为（，），-------7分
其图像为半圆弧，如下图所示：
当曲线：经过点和时，；
当曲线：与曲线相切时，
有，是，由图可知，
故当曲线与曲线有两个公共点时，的取值范围为，---------9分
综上，的取值范围为.-----10分
23【解析】（1）由，
当且仅当时取等号；-----2分
因为的最小值为，所以，又，所以．
所以即，
即或或，------3分
解得，故不等式的解集为．------5分
（2）由，------7分
作出函数的图象及直线，如图所示，其中．
---------8分
因为方程有实数根，
所以的图象与直线有公共点．
因为过定点，所以当直线经过点时，斜率，
即时，直线与的图像有公共点，也就是方程有实数根；
由图像知，直线的斜率小于直线的斜率时，得，
此时直线与的图像也有公共点，也就是方程有实数根.
即实数的取值范围是-------10分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
A
C
A
A
B
B
D
B
D
B