四川省德阳外国语学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.
2.请将答案正确填写在答题卡上.
第I卷（选择题共60分）
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 过和两点的直线的斜率是（ ）
A. 1B. C. D.
3. 的展开式中的系数为
A. 10B. 20C. 40D. 80
4. 已知等差数列中，，则（ ）
A. 24B. 36C. 48D. 96
5. 已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A. 6B. 12C. D.
6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种
7. 已知，则的最小值是（ ）
A. 6B. 4C. D.
8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的四个选项中，有多个项是符合要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 已知空间中的两条直线 和两个平面，则（ ）
A. 若 ，则 没有公共点
B. 若 ， 则m,n 没有公共点
C. 若 ， 则 可能互相平行
D. 若 ， 则m,n 可能互相平行
10. 已知函数，则（ ）
A. 处取得极小值B. 有3个零点
C. 在区间上的值域为D. 曲线的对称中心为
11. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）
A. 若任意选择三门课程，选法总数为
B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为
C. 若物理和历史不能同时选，选法总数－
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为
12. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题共90分）
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案直接填在答题卡上）
13. 已知，，则的值为______．
14. 函数单调递增区间是______．
15. 除以的余数为______.
16. 已知抛物线为上一点，，当最小时，点到坐标原点的距离为______.
四、解答题（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
17. 已知函数在点处的切线与直线垂直．
（1）求；
（2）求的单调区间和极值．
18. 2021年底某市城市公园主体建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），根据所得数据，按，，，，进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值，并估计该市市民评分的分位数；
（2）为进一步完善公园建设，按分层随机抽样的方法从评分在中抽取7人，再随机抽取其中2人进行座谈，求这2人的评分在同一组的概率.
19. 设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求公比；
（2）若，求数列的前项和．
20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为等边三角形．
（1）求证：；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
21. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的取值集合.
22. 椭圆的离心率，且椭圆的短轴长为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线过点，且与椭圆相交于两点，又点是椭圆下顶点，当面积最大时，求直线的方程．