中考数学二轮专题复习——圆相关最值专题

这是一份中考数学二轮专题复习——圆相关最值专题，共92页。试卷主要包含了应用垂线段最短的性质求最值;，应用轴对称的性质求最值;，应用二次函数求最值;，如图3等内容，欢迎下载使用。
圆相关最值
目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc66875542" 两点之间线段最短 PAGEREF _Tc66875542 \h 3
\l "_Tc66875543" 双动点 PAGEREF _Tc66875543 \h 21
\l "_Tc66875544" 四点共圆 PAGEREF _Tc66875544 \h 30
\l "_Tc66875545" 单动点线段和最值 PAGEREF _Tc66875545 \h 33
\l "_Tc66875546" 垂线段最短 PAGEREF _Tc66875546 \h 34
\l "_Tc66875547" 位似旋转问题（主从联动） PAGEREF _Tc66875547 \h 35
\l "_Tc66875548" 主从联动---练习与巩固 PAGEREF _Tc66875548 \h 38
\l "_Tc66875549" 方法点睛 PAGEREF _Tc66875549 \h 43
\l "_Tc66875550" 阿氏圆模型“” PAGEREF _Tc66875550 \h 45
\l "_Tc66875551" 阿氏圆模型“”练习 PAGEREF _Tc66875551 \h 46
\l "_Tc66875552" 利用代数方法求线段最值 PAGEREF _Tc66875552 \h 52
\l "_Tc66875553" 综合提升 PAGEREF _Tc66875553 \h 59
\l "_Tc66875554" 其他 PAGEREF _Tc66875554 \h 69
圆相关最值专题
方法点睛
求圆中最值问题常用的方法有
1.应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值;
2.应用垂线段最短的性质求最值;
3.应用轴对称的性质求最值;（将军饮马）
4.应用二次函数求最值;
5.应用极端原理求最值（从极端、临界点等特殊位置入手)
6.借助辅助圆，运用圆的有关性质求最值
两点之间线段最短
12．（2020·泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC﹦1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A． EQ \R(,2) ＋1B． EQ \R(,2) ＋ EQ \f(1,2) C．2 EQ \R(,2) ＋1D．2 EQ \R(,2) — EQ \f(1,2)
（第12题）

{答案} B
{解析}本题考查了圆的概念、勾股定理、三角形中位线的性质以及动点运动最值问题，因为点C为坐标平面内一点，BC﹦1，所以点C在以点B为圆心、1长为半径的圆上，在x轴上取OA′=OA=2，当A′、B、C三点共线时，A′C最大，则A′C=2 EQ \R(,2) ＋1，所以OM的最大值为 EQ \R(,2) ＋ EQ \f(1,2) ，因此本题选B．
1．如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE．
（1）求证：AC2=AE•AB；
（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；
（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．
【解析】（1）如图1，连接BC，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，∴∠A=∠ABC，
∵EC=AE，∴∠A=∠ACE，∴∠ABC=∠ACE，
∵∠A=∠A，∴△AEC∽△ACB，∴，∴AC2=AE•AB；
（2）PB=PE，理由是：如图2，连接OB，
∵PB为⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP=90°，∴∠PBN+∠OBN=90°，
∵∠OBN+∠COB=90°，∴∠PBN=∠COB，
∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，∠COB=2∠A，
∴∠PEB=∠COB，∴∠PEB=∠PBN，∴PB=PE；
（3）如图3，∵N为OC的中点，∴ON=OC=OB，
Rt△OBN中，∠OBN=30°，∴∠COB=60°，
∵OC=OB，∴△OCB为等边三角形，
∵Q为⊙O任意一点，连接PQ、OQ，
因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，
当P、Q、O三点共线时，PQ最小，
∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，∠A=∠COB=30°，∴∠PEB=2∠A=60°，∠ABP=90°﹣30°=60°，∴△PBE是等边三角形，
Rt△OBN中，BN==，∴AB=2BN=，
设AE=x，则CE=x，EN=﹣x，Rt△CNE中，，x=，
∴BE=PB==，
Rt△OPB中，OP===，
∴PQ=﹣4=．则线段PQ的最小值是．
2．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB' F，连接B' D，则B' D的最小值是_____．
【解析】如图所示点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，
当D、B'、E共线时，B'D的值最小，
根据折叠的性质，△EBF≌△EB'F，
∴∠B=∠EB'F，EB'=EB．
∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB'=2．
∵AD=6，∴DE2，
∴B'D=22．
3．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为________.
【解析】∵∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°
∴点P在以AB为直径的弧上（P在△ABC内）
设以AB为直径的圆心为点O，如图
接OC，交☉O于点P，此时的PC最短
∵AB=6，∴OB=3
∵BC=4
∴
∴PC=5-3=2
4．如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解析】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为，
∵，，∴
∵，∴
∵点O是AB的三等分点，
∴，，∴，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴，∴，
∴，∴，
∴MN最小值为，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值，,
∴MN长的最大值与最小值的和是6．选B．
借助线段差
5．如下图所示，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是
A．B．3C．D．
【解析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，
当点在线段CE上时，的长取最小值，如图所示，
根据折叠可知：．
在中，，，，
，
的最小值．
选D．
1. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是__________．
【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可，答案为．
变式．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．
【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．答案为1.2.
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝23 ，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为( )
A．1B．3C．32D．2
【解析】连接AD，因为∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°，
因为CB＝CD，所以△CBD是等边三角形，
所以BD＝DC.
因为DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°，
所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC，
因为∠FDC＋∠BDF＝60°，
所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°，
所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，
直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝23，所以AB＝2，AC＝4，所以AP＝2.
当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值，
CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2，
选D.
6．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O、A、C的坐标分别为O（0，0），A（﹣x，0），C（0，y），且x、y满足．
（1）矩形的顶点B的坐标是 ．
（2）若D是AB中点，沿DO折叠矩形OABC，使A点落在点E处，折痕为DO，连BE并延长BE交y轴于Q点．
①求证：四边形DBOQ是平行四边形．
②求△OEQ面积．
（3）如图2，在（2）的条件下，若R在线段AB上，AR＝4，P是AB左侧一动点，且∠RPA＝135°，求QP的最大值是多少？
【解析】（1）∵x﹣4≥0，4﹣x≥0
∴x＝4，∴y＝6
∴点A（﹣4，0），点C（0，6），点B（﹣4，6）
（2）①∵D是AB中点，
∴AD＝BD
∵折叠
∴AD＝DE，∠ADO＝∠ODE
∴∠DBE＝∠DEB
∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB
∴∠ADO+∠ODE＝∠DBE+∠DEB
∴∠ADO＝∠DBE
∴OD∥BQ，且AB∥OC
∴四边形BDOQ是平行四边形，
②如图，过点D作DF⊥BQ于点F，
∵AD＝3，AO＝4
∴DO＝＝5
∵四边形BDOQ是平行四边形，
∴BD＝OQ＝3，BQ＝DO＝5，
∴CQ＝CO﹣OQ＝3
∵AB∥CO
∴∠ABQ＝∠BQC，且∠BFD＝∠BCQ＝90°
∴△BFD∽△QCB
∴

∵DE＝BD，DF⊥BQ
，
∴S▱BDOQ＝12，∴S△EOQ＝S▱BDOQ﹣S△DEO﹣S△BDE＝
（3）如图，连接RO，以RO为直径作圆H，作HF⊥OQ于点F，
∵RA＝4＝AO，∴∠AOR＝∠ARO＝45°，RO＝
∵∠APR+∠AOR＝135°+45°＝180°
∴点A，点P，点R，点O四点共圆
∴点P在以点H为圆心，RO为直径的圆上，
∴点P，点H，点Q三点共线时，PQ值最大，
∵∠HOF＝45°，HF⊥OQ，
∴∠FHO＝∠HOF＝45°，且OH＝
∴HF＝OF＝2，
∴QF＝OQ﹣OF＝3﹣2＝1
∴HQ＝
∴PQ的最大值为.
7．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点，分别是，的中点，则的最大值是_______．
【解析】∵点分别是的中点，
∴，
∴当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，
连接并延长交于点，连接，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
8．已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接.
（1）求证：直线是的切线；
（2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接：
①当时，求所有点的坐标 （直接写出）；②求的最大值.
【解析】（1）证明：连接，则：
∵为直径
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
即：
∵轴
∴
∴
∴直线为的切线.
（2）①如图1，当位于上时：
∵
∴
∴设，则
∴
∴，解得：
∴
即
如图2，当位于的延长线上时：
∵
∴设，则
∴
∴，解得：
∴
即
②如图，作于点，
∵是直径
∴
∴
∴
∵半径
∴
∴的最大值为.
9．如图3.4所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，点D是边AB上一动点，连接CD，以AD为直径的圆交CD于点E，则线段BE长度的最小值为 ．
解：连接AE，取AC得中点F，连接EF，如图4．8所示
∵AD是圆的直径
∴∠AED＝90°
∴∠AEC＝90°
∴EF＝AC＝2
∴点E的轨迹为以点F为圆心的圆弧（圆的定义）
∴BE≥BF－EF
当且仅当B、E、F三点共线时等号成立，如图4．9所示
在Rt△ABF中，AF＝2，AB＝4
∴BF＝＝＝2，
∴＝BF－EF＝2－2
思路点拨
阅读题目时要找到三条关键信息：点E为圆周上一点，AD所对的圆周角是90°，∠DEC是平角，连接AE后就找到了定弦定角（或斜边上的中线），若一个角的度数和其所对的一条线段均为定值，则这个角的顶点的轨迹为圆（根据题目需求判断是否需要考虑两侧）．因此判断出点E的轨迹是圆（不是完整的圆，受限于点D的运动范围）．根据三角形的三边关系，知B、E、F三点共线时BE取得最小值．
10．如图，在中，，，P是以BC为直径的上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值为_______．
【分析】如图，连接AM、PM，利用勾股定理可求出AM的长，根据AP+PM≥AM可得A，P，M三点共线时，AP的长最小，根据线段的和差关系即可求出此时AP的长．
【解析】如图，连接AM、PM，
∵BC为的直径，BC=16，∴CM=8，
在中，，
∵AP+PM≥AM，∴当A，P，M三点共线时，AP的长最小，此时AP=AM-PM=AM-CM=17-8=9．
双动点
1．如图所示，在扇形中，，，是上一动点，过点作交圆弧于点，则的最大值为 ．
答案6
解析当点与点重合时，取得最大值．
过点作，与、分别交于点、，
作于点，如图所示，
∴，．
在中，，
∵，∴，
∴，
∴，∴．
在中，，∴，
∴，
∴．
∵，∴．
在中，，∴，∴，
∴，此时，的最大值为6．
72.如图3.68所示，⊙A的半径为2，l是⊙A的切线向下平移1个单位后所得的直线，点P是l上一动点，PC切⊙A于点C，以PC为边作△PBC，∠PCB=90°，∠PBC=30°，线段PB的最小值为___________.
解：连接CA、AP，如图4.139所示.
在Rt△BCP中，∠BPC=30°，
∴CP=BP.
∵PC与⊙A相切，
∴CA⊥CP，
∴CP2=AP2－AC2=AP2－4.
如图4.140所示，当AP⊥l时，AP取得最小值，此时CP也取得最小值.
由题意知AP=2＋1=3，
∴CP=，
∴PB=.
∴PB的最小值为.
思路点拨：
PB为双动点线段，不易处理，可利用转化思想化复杂为简单.Rt△BCP中有30°特殊角，可知的比值为定值，于是将PB的最小值问题转化为CP的最小值问题.在Rt△ACP中，AC为定值，可利用勾股定理将CP的最小值问题转化为AP的最小值问题，而AP的最小值就是常见的定点到定直线的最短距离.
74.如图3.70所示，∠BAC=60°，半径为1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以点P为圆心、PA长为半径的⊙P与射线AB、AC分别交于D、E两点，连接DE，则线段DE的最大值为（ ）
A.3 B.6 C. D.
解：连接PD、PE、OP，如图4.143所示.
∵∠BAC=60°，
∴∠EPD=120°.
∵PE=PD，
∴∠PED=∠PDF=30°，
∴DE=PD.
∵PD=PA，
∴DE=PA，
当PA取得最大值时，DE也取得最大值.
设F、G为圆O与∠CAB的两边的切点，连接DF、OG、OA、OP.
∵圆O内切于∠CAB，
∴OF⊥AB，OG⊥AC，OF=OG，
∴AO平分∠CAB，
∴∠OAB=30°.
在Rt△AOF中，OF=1，
∴AO=2，
∴PA≤AO＋OP=3，
如图4.144所示，当且仅当A、O、P三点共线时，PA取得最大值3，
∴DE的最大值为3.
思路点拨：
根据含30°的等腰三角形三边的比例关系，可将DE的最小值问题转化为PD的最大值问题.PD（=PA）为圆P的半径，因此只要求得PA的最大值即可，于是将原本的双动点线段问题转化成了定点到圆周上动点的距离最值问题.
75.如图3.71所示，AD是△ABC的高，AD=BD=4，DC=2，E是AC上的动点，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，则FG的最小值是______________________.
解：连接BE，取BE的中点O，连接OF、OG，如图4.145所示.
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠BFE=∠BGE=90°.
∵O为BE的中点，
∴FO=GO=BO=EO=BE，
∴B、F、E、G四点共圆.
∵AD为△ABC的高，AD=BD，
∴∠ABD=45°，
∴∠FOG=90°.
在Rt△FOG中，OF=OG，
∴FG=OF=BE.
在Rt△ADC中，AD=4，DC=2，
∴AC=.
如图4.146所示，当BE⊥AC时，BE取得最小值.
∵S△ABC=AD·BC=BE·AC，
∴BE=,
∴FG的最小值为.
思路点拨：
FG是双动点线段，故需要利用转化思想化复杂为简单.两个直角三角形共斜边，四个顶点都在以斜边的中点为圆心的圆上；等腰Rt△ABD的底角∠ABD为圆周角，所以弦FG所对的圆心角为90°，与直径的比例为定值；当直径BE取得最小值时，FG也取得最小值，而BE的最小值即点到直线的垂线段长度.
借助线段和差实现转化
11．如图，OA＝4，C是射线OA上一点，以O为圆心，OA的长为半径作使∠AOB＝152°，P是上一点，OP与AB相交于点D，点P′与P关于直线OA对称，连接CP，
尝试：
（1）点P′在所在的圆 （填“内”“上”或“外”）；（2）AB＝ ．
发现：（1）PD的最大值为 ；
【解析】尝试：（1）∵点P′与P关于直线OA对称，∴点P′在所在的圆上，
（2）如图1，延长AO交所在圆上的点E，
连接BE，则∠ABE＝90°，
∵∠AOB＝152°，OB＝OA，∴∠BAO＝∠ABO＝14°
∵OA＝4，∴AE＝2OA＝8，∴AB＝AE•cs14°＝8×＝2，
发现：（1）∵PD=OP-PD,OP为定值，当OD值最小时，PD值最大，当OP⊥AB时，点D到直线AB的距离最小，故此时PD有最大值，
∵在Rt△AOD中， OA＝4，cs∠OAD＝，∴AD＝，
∴OD＝＝1，∴PD＝4﹣1＝3，∴PD的最大值为3，
12.如图1所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.点D、E分别为AC、BC边上的动点，且DE＝3，以DE为直径作⊙O，交AB于M、N，则MN的最大值为_______.
图1
30.解：过点O作OG⊥AB，连接ON、CO，如图1所示，
图1
∴ON＝r＝DE＝，
∴GN＝GM＝MN.
在Rt△OGN中，GN²＝ON²－OG²，其中ON为定值，故当OG取最小值时，GN取得最大值，即MN取得最大值.
过点C作CH⊥AB.
在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5.
∵S△ABC＝AC·BC＝CH·AB，
∴CH＝≤CO＋OG，
∴OG≥－＝,
∴GNmax＝＝，
∴MNmax＝2GNmax＝.
思路点拨
DE为定值，即⊙O的半径为定值，故当弦MN上的垂径最短时，MN取得最大值，根据“垂线段最短”找出OG最短时垂足的位置.
42.如图3.38所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点O为BC上的点，⊙O的半径OC＝1，点D是AB边上的动点，过点D作⊙O的一条切线DE(点E为切点)，则线段DE的最小值为( ).
A.3－1B. －1C. D.4
答案：
解 如图4.85所示，连接OE，OD.
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝6.
∵DE为⊙O的切线，
∴∠DEO＝90°，
∴DE2＋OE2＝OD2.
∵OE＝1，
∴DE2＝OD2－1.
要使DE最小，只需OD最小即可.
如图4.86所示，当OD⊥AC时，OD取得最小值.
∵BC＝6，OC＝1，
∴BO＝5.
∵∠ODB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDO∽△BCA，
∴＝.
∴OD＝4，
∴DE＝.
思路点拨
抓住切线的性质，连接OE，注意到Rt△OED有一条直角边OE为定值，根据勾股定理，当斜边OD取得最小值时DE取得最小值.于是将DE的最小值问题转化为垂线段最短的问题.
63.如图3.59所示,在Rt △ABC中,∠C=90°,AC=BC,D是边AB上一点,AD=8,E是边AC上一点,AE=BD,F为边BC上一点,且∠DFA=90°,则线段EF的最小值为___________.
解：取AD的中点G,连接FG,过点D作DN⊥AB交BC于点M,截取DN=AD,连接NF、ME、NG,如图4.117所示.
∵AB=BC, ∠C=90°，∴B=45°,AB= BC. ∴△BDM为等腰直角三角形，∴BM= BD= MD=AE, ∴CM=CE,∠CME=45°，∴ME∥AB, ∴ND⊥ME, ∴∠NMC=45°.在等腰直角△MCE中,ME=CM= (BC-BM)=AB-2BD=AD-BD. ∵AD=DN, BD=MD, ∴ME=MN.在△NFM和△EFM中，，∴△NFM≌△EFM(SAS),NF=EF. ∵∠DFA=90°,G为AD的中点，∴FG=DG= AD=4.在Rt△ NDG中,DG=4,DN=AD=8, ∴,∴EF=NF≥NG - FG,
当且仅当G、F、N三点共线时取到最小值, ∴EF最小值为.
思路点拨
EF为双动点型动线段,因此需要将其转化.注意AE和BD的特殊比例关系,找到BC边上的特殊点M;利用等腰直角三角形的性质,将EF关于BC进行翻折,构造全等三角形,将EF转化为NF;构造斜边上的中线FG,利用圆外一定点到圆周上一点的距离最值求解EF最值.
94．如图3．90所示，点A是直线y=－x上的动点，点B是x轴上的动点．若AB=2，则△AOB的面积最大值为 ．
94．解 如图4．189所示，作△AOB的外接圆OC，连接CB、CA、CO，过点C作CD⊥AB于点D．
由题意可得∠AOB=45°，
∵∠ACB=90°，
∴DC=AB=1，CO=AC=BC=．
如图4．190所示，当O、C、D三点共线时，OD取得最大值为OC+CD=+1，此时OD⊥AB，
∴S△AOB =AB×OD=×2（+1)=+1，即△AOB的面积最大值为+1．
同理，当点A在第二象限内，点B在x轴负半轴上时，△AOB的面积最大值也为+1．
思路点拔
这是一个比较典型的“滑动问题”，AB在直线y=-x和x轴之间滑动．其实换一个角度，这个问题就容易理解了：如图4．191所示，△AOB的一边AB为固定长度，所对的∠AOB=135°或45°，求此时边AB上高的最大值．可以利用点O的轨迹为圆（定弦定角）找出△AOB的高最大值的位置，即AB不动、坐标轴转动的相对运动思想．
四点共圆
85.如图3.81所示，在平面直角坐标系中，A（－2,0），B（4,0），C（0，m），其中m＞0.连接BC，以BC为斜边作直角三角形BCP，且tan∠PBC＝，则AP的最小值为______,此时m的值为__________.
85.解 取BC的中点G，连接OG、PG、OP，如图4.170所示
∵∠BPC＝∠COB＝90°，G为斜边BC的中点，
∴PG＝OG＝BG＝CG＝BC，
∴点B、C、P、O在以点G为圆心、OG为半径的圆上，
∴在四边形POBC中，∠PCB＋∠POB＝180°,
∴∠POA＝180°－∠POB＝∠PCB，
∴∠POA为定值，即点P的轨迹为直线.
如图4.171所示，当AP⊥OP时，AP取得最小值，
∴∠PAO＝90°－∠POA＝90°－∠PCB＝∠PBC，
∴tan∠PAO＝tan∠PBC＝,
在Rt△AOP中，AO＝2，
∴AP2＋OP2＝AP2＝AO2，
AP＝，
即AP的最小值为.
根据图4.171计算m的值.
∵∠APO＝∠BPC＝90°，
∴∠APB＝∠OPC＝90°＋∠OPB.
∵AP:OP＝BP:CP＝2：1，
∴△APB∽△OPC，∴AB:OC＝AP:OP＝2：1.
∵AB＝AO＋BO＝6,∴OC＝3，
即当AP取得最小值时，m＝3.
思路点拔：
解题时应抓住题目条件中不变的角度去思考，我们注意到BC所对的直角有两个，从而判断出B、C、P、O四点共圆；根据“圆内接四边形的外角等于内对角”确定点P的轨迹是一条定直线；根据“垂线段最短”解决AP的最小值问题，再利用固定图形中的相似三角形，求出此时m的值.
93．如图3．89所示，在△ABC中，∠C=90°，点D是边BC上一动点，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E．若AC=6，BC=8，则的最大值为（ ）
A． B．C．D．
93．解 如图4．187所示，过点E作EF⊥BC于点F
∵∠C=90°，
∴AC∥EF，
∴△ACD∽△EFD，
∴
∵AE⊥BE，
∴A、B、E、C四点共圆．
设AB的中点为O，连接OE、OF．
当OE⊥BC时，EF有最大值，如图4．188所示．
∵OE⊥BC，EF⊥BC，
∴EF、OE重合．
∵AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∴OE=5．
∵OE⊥BC，
∴BF=BC=4，
∴OF=3，
∴EF=2，
∴
即的最大值为。
思路点拔
观察出A、B、E、C四点共圆是关键；通过构造相似三角形将线段比进行转化，最后转化为单线段的最值问题．
例题3．在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠BAC＝60°，点D是BC上一动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，线段EF的最小值为_____．
【解析】如图，过点B作BG⊥AC，过点A作AH⊥BC，连接AD，
∵AB=5，∠BAC=60°，BG⊥AC，
∴AG=，BG=AG=，
∵AC=8，AG=，∴GC=，
∴BC===7，
∵S△ABC=•BC•AH=•AC•BG，∴AH=，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∴∠AED+∠AFD=180°，
∴点A，点E，点D，点F四点在以AD为直径的圆上，设圆心为O，连接OE，OF，
∴∠EOF=120°，
∴EF=2•OE•cs30°，
∴当⊙O的直径最小时，EF的长最小，
∴AD与AH重合时，EF最小，
∴EF最小值为
单动点线段和最值
单动点型
例题1．如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______．
【解析】如图，设的中点为点，则
由题意得，点的运动轨迹在以点为圆心，为半径的圆上，
由点与圆的位置关系得：连接，与圆交于点，
此时取得最小值，，连接
∵为半圆O的直径，∴
∴
∴，∴
【练习1】如图，长方形中，，，在长方形的内部以边为斜边任意作，连接，则线段长的最小值是_____．
【解析】如图，点E'在以点F为圆心，DF为半径的圆上运动，
当A,E,F三点共线时，AE值最小，DF=×6=3，
在长方形ABCD中，AD=BC=4，
由勾股定理得：AF===5．
∵EF=CD=×6=3，∴AE=AF﹣EF=5﹣3=2，即线段AE长的最小值是2．
【练习2】如图，过抛物线上一点作轴的平行线，交抛物线于另一点，交轴于点，已知点的横坐标为．
（1）求抛物线的对称轴和点的坐标；
（2）在上任取一点，连结，作点关于直线的对称点；
①连结，求的最小值；
②当点落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线的函数表达式．
【解析】
（1）由题意，对称轴，
∵、关于对称轴对称，∴．
（2）①如图1中，
由题意点在以为圆心为半径的圆上，
∴当、、共线时，的最小值
②如图2中，当点在对称轴上时，
在中，，，
∴
∴点的坐标为．
设，在中，，
∴，∴，
∴直线的解析式为．
17．（2020·绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为 ．
{答案}3－2
{解析}延长AD、BC交于点P， 作MH⊥PB 于H.
∵AB∥CD，∴＝，∠ABC＝∠DCP＝60°.∵AD＝BC＝CD＝4，∴PD＝PC，∴△PDC为等边三角形，∴PD＝PC＝CD＝4，∠P＝60°. 由∠AMD＝90°，可知点M在以AD为直径的⊙E上，且在四边形ABCD内的一个动点，根据垂线段最短可知E、M、H三点共线时MH最小.在Rt△PEH中，EP＝6，∠P＝60°，∴EH＝EP·sin60°＝3，
∴MH的最小值＝EH－EM＝3－2.
1．在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(a，2)，C(0，m)，D(n，0)，且m2＋n2＝4，若点E为CD的中点，则AB＋BE的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．25
解：∵C(0，m)，D(n，0)，m2＋n2＝4，
∴CD2＝4，
∴CD＝2
在Rt△COD中，点E为CD的中点
∴OE＝1，即点E在以O为圆心，1为半径的圆上．
作图4．14，连接OE，过点A作直线y＝2的对称点A′，连接A′B、A′O
∴A′(3，4)
∴AB＋BE＝A′B＋BE＝A′B＋BE＋EO－EO≥A′O－EO
如图4.15所示，当且仅当A′、B、E、O四点共线时等号成立．
根据勾股定理得A′O＝＝5
∴AB＋BE的最小值为4
思路点拨
根据两点之间的距离公式m2＋n2＝CD2，得到CD的长度；由已知条件判断出OE为斜边上的中线，OE＝CD（定值）；根据圆的定义可知点E的轨迹是以坐标原点为圆心、CD为半径的圆；利用对称的性质将线段和的最值问题转化为圆外一点到圆周上一点的距离最值问题．
垂线段最短
1.如图1所示，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心、2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点且点P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点B，与y轴相交于点A，则线段AB的最小值是________.
解：取AB的中点Q，连接OP、OQ，如图2所示，∴OQ＝AB.
∵OP≤OQ，∴AB≥OP，∴AB≥4，即AB的最小值为4，此时△AOB为等腰直角三角形.
思路点拨
要求AB的最小值，只需取AB的中点，求出斜边上的中线的最小值，根据“垂线段最短”，AB的最小值在OP与斜边上的中线重合时取到.
双动点
2．（2020·东营17）如图，在Rt△AOB中，OB=，∠A=30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为 ．
{答案}
{解析}本题考查了切线的性质、直角三角形的性质及勾股定理．难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当OP⊥AB时，线段PQ最短是关键．
连接OP、OQ，
∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，根据勾股定理知,∴当OP⊥AB时，线段PQ最短.∵在Rt△AOB中，OB=，∠A=30°，∴，，
∴OA×OB=OP×AB，即，∴．
．（2020·鄂州 16）如图，已知直线与x、y轴交于A、B两点，的半径为1，P为上一动点，切于Q点．当线段长取最小值时，直线交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为______________．
{答案}
{解析}本题考查了圆和函数的综合问题，题解题中含义找到Ｐ点的位置是解题的关键．先找到长取最小值时P的位置即为OP⊥AB时，然后画出图形，由于PM即为P到直线a的距离的最大值，求出PM长即可．
解：如图，
在直线上，x＝0时，y＝4，y＝0时，x＝，
∴OB＝4，OA＝，
∴，
∴∠OBA＝30°，
由切于Q点，可知OQ⊥PQ，
∴，
由于OQ＝1，因此当OP最小时长取最小值，此时OP⊥AB，
∴，此时，，
∴，即∠OPQ＝30°，
若使P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，
过P作PE⊥y轴于E，
，，
∴，
∵，∴∠OPE＝30°，
∴∠EPM＝30°＋30°＝60°，即∠EMP＝30°，
∴，
故答案为：．
垂线段最短
3. (2020·连云港16)如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 .
答案 2
解析
连接，（垂径定理）
由，可知点的运动轨迹为以为圆心，1为半径的圆.
过点作交于点，与交于点，∴
以点为切点，作的切线，与轴、轴分别交于点和点，则，
∴，∴（两直线平行，同位角相等），
∴，∴，
由题意可得，，∴，∴，
∴，∴，
∴.
位似旋转问题（主从联动）
思考1：如图1，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．
当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
图1 图2
揭秘：Q点轨迹是一个圆，考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，．
小结：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，
由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．
根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；
根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
思考2：如图3，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．
当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
图3 图4
揭秘：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
思考3：如图5，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°，且AP=2AQ，
当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
图5 图6
揭秘： 考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP：AQ=2：1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．
推理：
（1）如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．
当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是和圆O全等的一个圆.

（2）如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．
当点P在圆O上运动时，Q点轨迹为按AP：AQ=AO：AM=：1的比例缩放的一个圆.
总结： 为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．
此类问题的必要条件：两个定量，即：
①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）．
结论：
（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；
（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点距离之比：AP：AQ=AO：AM，也等于两圆半径之比，也等于两动点运动轨迹长之比，按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．
例题1. 如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．
【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．答案为
主从联动---练习与巩固
1.如图所示，AB＝3，AC＝2，以BC为边向上构造等边三角形BCD，则AD的取值范围为 ．
答案
解析
以AB为边向上作等边△ABE，连接DE，如图所示
∴AB＝BE，CB＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°－∠CBE
在△ABC和△EBD中
∴△ABC≌△EBD(SAS)
∴DE＝AC＝2
∴点D的轨迹是以点E为圆心，2为半径的圆．
∴AE－ED≤AD≤AE＋ED
如图所示，当且仅当A、E、D三点共线时取得最值
∴1≤AD≤5
思路点拨
这样理解AB＝3，AC＝2这个条件：固定一边AB，∠CAB可以自由变化，因此点C的轨迹是以点A为圆心、2为半径的圆．通过构造全等图形找出点D的运动轨迹．利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题．
拓展 本题的解法较多，对于“定点＋动点”的最值问题，探究动点的轨迹图形是直接的方法．
例题2．如图，在等腰直角中，斜边的长度为 8，以为直径作圆，点为半圆上的动点，连接，取的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】连接AP、CP，分别取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM和FM，
∴EM、FM和EF分别是△ABP、△CBP和△ABC的中位线
∴EM∥AP，FM∥CP，EF∥AC，EF=，∴∠EFC=180°－∠ACB=90°
∵AC为直径，∴∠APC=90°，即AP⊥CP，∴EM⊥MF，即∠EMF=90°
∴点M的运动轨迹为以EF为直径的半圆上
取EF的中点O，连接OC，点O即为半圆的圆心
当O、M、C共线时，CM最小，如图所示，CM最小为CM1的长，
∵等腰直角ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，
∴AC=BC==，∴EF==，FC==，∴OM1=OF==
根据勾股定理可得OC=，∴CM1=OC－OM1=
即CM最小值为，选C．
【练习3】如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解析】∵，
∴当时，，解得：，
∴A点与B点坐标分别为：(，0)，(3，0)，即：AO=BO=3，
∴O点为AB的中点，
又∵圆心C坐标为(0，4)，
∴OC=4，
∴BC长度=，
∵O点为AB的中点，E点为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，即：OE=BD，
∵D点是圆上的动点，
由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径，
∴BD的最小值为4，
∴OE=BD=2，即OE的最小值为2，
选A.
2. 如图所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的取值范围为 ，
答案
解析
以AB为底边构造等腰直角△AEB（∠AEB=90°），连接DE，如图所示，
∴AE=22AB=22，∠EBA=∠CBD=45°
∵ABEB=CBDB=2∠ABC=∠EBD=45°－∠CBE
∴△ABC∽△EBD
∴DE=22AC=2
∴点D的轨迹为以点E为圆心、2 为半径的圆
延长AE至点Q，使AE=EQ，连接PQ、BQ，
∵AD=DP，∴DQ=2DE=22
如图4.23和图4.24所示，当A、E、D三点共线时取得最值
∵BE垂直平分AQ，∴AB=BQ
∵∠QAB=45°，∴△ABQ为等腰直角三角形，∴BQ=AB=4
∴BQ－PQ≤PB≤BQ＋PQ
如图4.26和图4.27所示，当B、P、Q三点共线时取得最值，∴4－2 2≤PB≤4＋2 2
思路点拨：注意到点P的产生与中点有关，点P的运动与点D“捆绑”在一起，故可通过构造中位线来判断点P的运动轨迹，再利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题.
3. 如图所示，正六边形ABCDEF的边长为2，两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动，则顶点D到坐标原点O的距离的最大值和最小值的乘积为 ；
答案
解析
取AB的中点G，连接DG、OG，如图所示，
∵∠AOB=∠xOy=90°，∴OG= 12AB=1，连接DB、OD
∴△DCB为等腰三角形
∵∠C=120°，∴∠DBC=30°，DB= 3DC=2 3，
∴∠DBA=120°－30°=90°
在Rt△DGB，GB=1，
∴DG=DB2+GB2=232+12=13
∴DG－OG≤OD≤OG＋DG，
当且仅当O、G、D三点共线时取得最值
D、G在点O同侧时取得最大值，
在点O异侧时取最小值，如图所示，
∴13－1≤OD≤13＋1，
∴OD的最大值和最小值乘积为13-113+1=12
思路点拨：这个是“墙角”型问题，类似于梯子在墙角滑动，将墙角变为平面直角坐标系，这样移动的范围能扩大到负方向；利用“墙角”产生的直角，以及AB边长不变的特点，作出AB的中点G，利用斜边上的中线OG和位置固定的两点D、G来构造两条大小不变、位置变化的线段OG、DG；利用两边之和与两边之差得到OD的最大值和最小值；
另辟蹊径：利用相对运动的知识，我们假设正六边形是不变的，坐标系可以绕着正六边形运动；利用∠AOB=90°，AB=2，判断出点O的运动轨迹为一个圆，如图所示，
利用圆外一点到圆周上的距离最值解得OD的最大值和最小值；读者可以自行计算验证
4. 如图3.12所示，AB=4，点O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，△PBC是以PB为直角边的等腰直角三角形（点P、B、C按逆时针方向排列），则AC的取值范围为 ；

答案
解析
如图4.31所示，以OB为腰向上构造等腰直角△OBQ，连接OP、CQ、AQ；
在等腰直角△OBQ和等腰直角△BPC中，CBBP=QBBO=2，∠QBO=45°，
∴∠CBQ=45°－∠QBP=∠PBO，∴△CBQ∽△PBO
∴OPCQ=OBBQ=22，∴CQ= 2
∴点C在以点Q为圆心， 2为半径的圆上，
∵OQ=OB=OA=2，∠QOB=90°
∴AQ= AQ2+OQ2=2 2
∴AQ－QC≤AC≤AQ＋QC
如图4.32和图4.33所示，当且仅当A、C、Q三点共线时取得最值，∴2≤AC≤3 2
思路点拨：由于△PBC形状固定，两个动点P、C到点B的距离之比始终不变，这是比较典型的位似旋转，也可理解为点P、C“捆绑”旋转；旋转过程中，点C的轨迹与点P的轨迹图形相似，相似比为2:1；利用相似找出动点C轨迹的圆心，AC的最值即定点A到定圆上一动点的距离的最值
11.如图3.8所示，AB=3，AC=2，以BC为腰（点B为直角顶点）向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为 ；

解答：以AB为腰做等腰直角△ABE（∠ABE=90°），连接DE，如图4.19所示，
∴AE=2AB=32，∠ABC=∠EBD=90°－∠CBE，
在△ABC和△EBD中
AB=BE∠ABC=∠EBDCB=BD
∴△ABC≌△EBD（SAS）
∴ED=AC=2
∴点D的轨迹为以点E为圆心、2为半径的圆
∴AE－ED≤AD≤AE＋ED
如图4.20和图4.21所示，当且仅当A，E，D三点共线时取得最值，
∴32－2≤AD≤32＋2
思路点拨：解题方法基本同上题，也是通过构造全等图形找出点D的运动轨迹上，再利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题
12. 如图3.9所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为 ，
解答：以AB为底边构造等腰直角△AEB（∠AEB=90°），连接DE，如图4.22所示，
∴AE=22AB=22，∠EBA=∠CBD=45°
∵ABEB=CBDB=2∠ABC=∠EBD=45°－∠CBE
∴△ABC∽△EBD
∴DE=22AC=2
∴点D的轨迹为以点E为圆心、2 为半径的圆
AE－ED≤AD≤AE＋ED
如图4.23和图4.24所示，当A、E、D三点共线时取得最值
∴2≤AD≤32
思路点拨：与前面两题不同的是，由于旋转中心不再是等腰三角形顶角的顶点，因此构造全等图形变成构造相似图形，从而找出点D的运动轨迹，最后根据圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题
59.如图3.55所示，已知AB=6，P为AB上一动点，分别以PA、PB为边在AB同侧作Rt△APC和Rt△BPD（P、C、D三点共线），且使得AP：PC=BP：PD=3：4，分别为△APC、△BPD的内心，则的最小值为_________.
59.知识储备 如图4.109所示，在Rt△GMN中，
两条直角边分别为3和4，I为内心，求GI.
解 在Rt△GMN中，GN=3，GM=4，
∴MN=5，
内切圆的半径=.
∵点I为△GMN的内心，
∴GI平分∠MGN，
∴GI=，
∴GN：GI=3：.
解 连接，如图4.110所示.
不妨设AP=3a，则BP=6-3a.
根据知识储备，.
∵点分别是△APC和△BPD的内心，
∴平分∠APC，平分∠BPD，
∴∠=45°，∠=45°，
∴∠=90°，
∴
，
当a=1时，取得最小值，即的最小值为2.
72.如图3.68所示，⊙A的半径为2，l是⊙A的切线向下平移1个单位后所得的直线，点P是l上一动点，PC切⊙A于点C，以PC为边作△PBC，∠PCB=90°，∠PBC=30°，线段PB的最小值为___________.
解：连接CA、AP，如图4.139所示.
在Rt△BCP中，∠BPC=30°，
∴CP=BP.
∵PC与⊙A相切，
∴CA⊥CP，
∴CP2=AP2－AC2=AP2－4.
如图4.140所示，当AP⊥l时，AP取得最小值，此时CP也取得最小值.
由题意知AP=2＋1=3，
∴CP=，
∴PB=.
∴PB的最小值为.
思路点拨：
PB为双动点线段，不易处理，可利用转化思想化复杂为简单.Rt△BCP中有30°特殊角，可知的比值为定值，于是将PB的最小值问题转化为CP的最小值问题.在Rt△ACP中，AC为定值，可利用勾股定理将CP的最小值问题转化为AP的最小值问题，而AP的最小值就是常见的定点到定直线的最短距离.
5.如图3.13所示，⊙O的半径为3，Rt△ABC的顶点A、B在⊙O上，∠B＝90°，点C在⊙O内，且tanA＝.当点A在圆上运动时，OC的最小值为( )
A. B. C. D.
答案：连接OB，过点B向下作BD⊥OB，取BD＝OB，连接AD，如图4.34所示.
∵∠CBA＝∠OBD＝90°，∴∠OBC＝90°－∠OBA＝∠DBA.
∴＝＝，∴△OCB∽△DAB，∴＝.
∵AD≥OD－OA＝－OA＝2，当且仅当O、A、D三点共线时取得最值，
∴OC＝AD≥×2＝.
思路点拨
又是比较典型的位似旋转问题，我们利用相似的性质将OC的最值问题转化为AD的最值问题.通过旋转型相似构造Rt△OBD，其中∠OBD＝90°，∠ODB＝∠CAB，因此点D为定点.另外，由△OCB∽△DAB得到OC和AD之间的固定比例，从而可利用AD的最值求解OC的最值.AD的最值即为圆外一点到圆周上一点的距离最值.
另辟蹊径根据直径所对的圆周角为90°，找到直径AD，而∠ACD＝180°－∠ACB为定值，因此由定弦定角得出点C的轨迹为圆弧，可根据图4.35所示计算OC的最小值.
方法点睛
触发隐圆模型的类型
（1）动点定长模型

若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP
则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 备注：常转全等或相似证明出定长
（2）直角圆周角模型

固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径
则A、B、C三点共圆，AB为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角
（3）定弦定角模型


固定线段AB所对动角∠P为定值 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等
则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可
（4）四点共圆模型①


若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补
则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧
（5）四点共圆模型②

固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等
则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧
【点睛2】圆中旋转最值问题

条件：线段AB绕点O旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点
（1）求CM最小值与最大值
（2）求线段AB扫过的面积
（3）求最大值与最小值
作法：如图建立三个同心圆，作OM⊥AB，B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆
结论：①CM1最小，CM3最大
②线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积
③最小值以AB为底，CM1为高；最大值以AB为底，CM2为高
阿氏圆模型“”
“阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造推出，即：。
例.如图1所示，的半径为,点、都在外，为上的动点，已知.连接、，则当“”的值最小时，点的位置如何确定？
Step1:连接动点至圆心（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接、；
Step2：计算连接线段、长度；
Step3：计算两线段长度的比值；
Step4：在上截取一点，使得构建母子型相似:
Step5：连接，与圆交点为，即线段长为的最小值。
本题的关键在于如何确定“”的大小，（如图2）在线段上截取使,则可说明和相似，即。
∴本题求“”的最小值转化为求“”的最小值，即、、三点共线时最小（如图3）时线段长即所求最小值。
阿氏圆模型“”练习
1．如图所示，点C的坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0），⊙C的半径为，点B是在⊙C上一动点，OB+AB的最小值为 ．
答案
解析
连接AC、BC，在AC上取点E，使CE=，连接BE，如图4.172所示．∵AC==，BC=，∴BC2=CE·AC，∴，∵∠BCE=∠ACB，∴△BCE∽△ACB，∴，∴OB+AB=OB+BE≥OE．
如图4.173所示，当且仅当O、B、E三点共线时，OB+AB取得最小值．
如图4.174所示，过点E作EF⊥OA，垂足为F，∵直线AC的解析式为y=-x+7，∴∠CAO=45°，∴△AEF为等腰直角三角形，∵AE=AC-CE=．
在Rt△AEF中，EF=AF=4，∴OF=OA-AF=3，在Rt△OEF中，EF=4，OF=3，∴OE==5，即OB+AB的最小值为5．
【思路点拨】对于含系数的线段和问题，我们需要把两条线段的系数化为1：1，即“消除”比例系数，转化为常规的线段和a+b，我们可以借助相似图形和三角函数进行转化．一般规律：对于动点的圆轨迹，存在定长线段（半径），可构造相似图形消除比例系数；对于动点的直线轨迹，存在定角度，可利用三角函数构造线段消除比例系数（后期还有相关习题）．本题中我们需要构造AB或OB．
89．如图3.85所示，在正方形ABCD中，AB=2，E是BC的中点，CD上有一动点M，连接EM、BM，将△BEM沿着BM翻折得到△BFM，连接DF、CF，则DF+CF的最小值为 ．
答案： 解 取BE的中点G，连接FG，如图4.179所示，由题意知△BFM≌△BEM，∴BF=BE=1，∵G为BE的中点，∴BG=BF，∴，∵∠FBG=∠CBF，∴△BFG∽△BCF，∴，∴DF+CF=DF+FG≥DG．
如图4.180所示，当且仅当D、F、G三点共线时取得最小值，在Rt△DGC中，CD=2，CG=BC-BG=，∴DG==，∴DF+CF的最小值为．
【思路点拨】利用相似的性质构造出长度为CF的线段，然后根据“两点之间线段最短”求出最小值．
【弦外之音】这就是近近几年某些地区考试中比较热门的阿波罗尼斯圈（简称阿氏圆）．题中点F的轨迹是以点B为圆心的圆（四分之一圆弧），而点F在运动的过程中，保持到两定点G、C的距离之比为定值，这其实就是阿波罗尼斯圆的定义：到两定点距离之比为定值k（k>0且k≠1）的点的轨迹图形为圆，这也是本题和题86解题思路的灵感来源．
3如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．
【解析】（1）由题意，，，设抛物线的解析式为，把代入得到，∴抛物线的解析式为．
（2）如图，∵是对称轴，∴，．
∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EOOA＝3，∴E（0，3）．
∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，
∴QHCH＝1，在HA上取一点K，使得HK，此时K（）．
∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴．
∵∠QHK＝∠AHQ，
∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，
∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值．
利用代数方法求线段最值
1．如图所示，正方形的边长是4，点、分别在、上，，则的面积最小值为．
答案
解析
知识储备
在正方形中，、分别为、上的两点，且．
求证：边上的高为定值．
证： 延长至点，使，连接，作，如图4所示．
在和中，，
∴，∴，.，
∵，∴，
∵，∴，
在和中，，
∴，∴.
∵，，∴，即边上的高为定值．
解法一
取的外心，连接、、，
过点作，如图2所示，
∵，∴（同弧所对的圆周角相等）.
∵，∴为等腰直角三角形（等边对等角）.
不妨设外接圆的半径，则，，
即，当且仅当点、重合时取到最小值，，
∴
∵为定值，∴，即的面积最小值为，当且仅当为等腰三角形时取到.
解法二
（1）利用基本不等式也可求得的最小值，如图3所示，
设，，利用勾股定理有
，整理得．
所以，，
当，即时，取得最值．
∵为定值，∴
解法三
（2）还可以构造一元二次方程求的最小值，
，令，则，已知有解，则，得，即.∵为定值，∴.
2．如图所示，，以为直径作半圆，半圆上有一动点，则的最大值为 ．
答案
解析
方法一：将半圆补成完整的圆，取的中点(点异侧)，连接，过点作交的延长线于点，连接、，如图所示．
∵为的中点，∴．
∵为的直径，∴，
∴，∴．
∵，∴，，
∴．
在和中，∴，
∴，∴.
在等腰中，．
当为的直径时，取得最大值，
此时也取得最大值．.
方法二：在几何解析中巧妙地运用代数法．
∵为直径，∴（勾股定理）
∴，
当点运动至的中点时，边上的高为半径，
此时的面积取得最大值，，
3.如图所示，直线与半径为4的相切于点，是上的一个动点（不与点重合），过点作，垂足为，连接.设，，则的最大值是.
答案2
解析：连接，作于点，如图所示，
∴，.
∵直线是的切线，∴，，
∴，∴.，∴，
∴，∴，∴原式，
当时，取到最大值2.
思路点拔
将线段差表示为，是命题人提示我们往代数（函数）的方向思考.利用切线的性质，连接半径，根据平行线的性质找到等角；有了弦和半径，就会想到作垂径或者连接直径构造直角三角形；利用相似比得到和的关系，通过换元将变为只含一个字母的代数式，再利用配方法求出最值.
拓展 我们发现，其实此题中代数式、前面的系数可以为任意数.我们利用配方法计算最值时，一定要注意（为弦，应小于等于直径）的取值范围为.
4.如图所示，已知半径为2的与直线相切于点，点是直径左侧半圆上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，与交于点，连接、，设的长为（），则当____________时，的值最大，最大值是_______________.
解析
过点作，垂足为，如图所示.
∵是的弦，，∴.
又，∴四边形为矩形，
∴.
又，∴，
∴，
∴，
∴
∴当时，的值最大，最大值是2.
思路点拔
面对一些特殊形式的线段组合，我们需要将其转化成一般形式.注意到题中将的长设为，再将用表示出来，利用二次函数最值的求法来解决问题.
5.如图所示，为半圆的直径，点为圆心，.若为反向延长线上的一个动点（不与点重合），过点作半圆的切线，切点为，过点作交的延长线于点，则的最大值为________________.
解:连接，如图所示.
设，根据题意知(由于点在圆的左侧).
∵是的直径，∴，
.∴.
又切于点，∴，
∴，∴，
∴，
∴，当时，取得最大值10.
思路点拔
若我们在应用几何性质解题时束手无策，不妨转变思路试试代数(函数)的方法，将要求的目标式子用某个变量表示出来，进而转化为代数(函数)问题来求解.
6.如图3.14所示，在平面直角坐标系中，Q(3，4)，点P是以Q为圆心、2为半径的⊙Q上一动点，A(1，0)，B(－1，0)，连接PA、PB，则PA2＋PB2的最小值是___________.
答案：连接OP、QP、OQ，如图4.36所示.设P(x，y).
根据两点距离公式得
∴PA2＝(x－1)2＋y2，PB2＝(x＋1)2＋y2，
∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2(x2＋y2)＋2.
∴OP＝，∴OP2＝x2＋y2，∴PA2＋PB2＝2OP2＋2，
要求PA2＋PB2的最小值，即求OP2的最小值，也就是求OP的最小值，∴OP≥OQ－PQ，
如图4.37所示，当且仅当O、P、Q三点共线时取得最值，
∴OP＝5－2＝3，∴PA2＋PB2＝2OP2＋2≥2×32＋2＝20.
思路点拨
根据PA2＋PB2这样的形式，产生两个联想，一是勾股定理，二是坐标公式.要使用勾股定理，就得把PA和PB构造为两条直角边，在题图中难以实现，所以转而利用坐标公式表达，我们便发现PA2＋PB2与OP2的联系，而OP的最小值即圆外一点到圆周上一点的距离最小值.
弦外之音 我们会发现，虽然点P在动，但OP始终是△ABP边AB上的中线，且AB是个定值，我们可以直接利用中线长公式得到PA2＋PB2＝2OP2＋，接下来的计算和上面是一致的.公式的应用有助于对思路的拓展，因此学有余力的同学可以自行推导中线长公式(仅用勾股定理即可).
96．在△ABC中，若O为边BC的中点，则必有AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2．依据以上结论，解决如下问题：如图3.92所示，矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2＋PG2的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10

解：连接DE、GF的中点M、N，连接PN、PM，如图4.194所示．
∴四边形DGNM也是矩形，∴GN＝DM＝2．
根据题给结论，PF2＋PG2＝2PN2＋2GN2，故要求PF2＋PG2的最小值，只需求PN的最小值即可．
∵PM＋PN≥MN，∴PN≥MN－PM＝1．
如图4.195所示，当且仅当P、N、M三点共线时取到最小值，此时PF2＋PG2＝10．
思路点拨
本题利用中线长公式将的最值问题转化为单线段的最值问题．设点M为DE的中点，点N为GF的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出PN的最小值，再根据结论PF2＋PG2＝2PN2＋2GN2即可求出最小值．
27．（2020·扬州）如图1.已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA=OB=OC=OD=2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F.
（1）求证：OC∥AD；
（2）如图2，若DE=DF，求的值；
（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求DE的值.

（第27题图1） （第27题图2）

{解析}本题考查了平行线的判定与性质、圆周角定理、三角形相似的判定与性质、三角形全等的判定与性质、二次函数最值、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识的综合运用，解题的关键是作出适当的辅助线，找到解题的思路与途径. （1） 利用角平分线性质与外角知识证明∠BOC =∠OAD=∠BOD即可；
（2）以O为圆心，OA为半径作辅助圆，先利用直径所对圆周角是直角证∠ADB＝90°，再利用互余关系得出∠AOF＝90°，从而求得AD的长，最后由△ADE∽△AOF求得的值；
（3） 如答图2，以O为圆心，OA为半径作圆，延长BC与AD交于点H. 过E作EQ⊥CD于Q. 先证△ACB≌△ACH得AB=AH=4，BC=HC，于是DC =CB=CH，再由△HCD∽△HAB得到HD与BC的关系式，最后，设BC=x，四边形ABCD的周长为y，通过二次函数的最值求得BC的长，从而可借助余弦函数求得DE的长.
{答案}解：（1）证明：∵OA=OB，∴∠OAD=∠ODA，∵∠BOD是△AOD的外角，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∴∠OAD=∠ODA，∵OC平分∠BOD，∴∠BOC =∠BOD，∴∠BOC =∠OAD，∴OC∥AD；
（2）如答图1，以O为圆心，OA为半径作圆，∵DE=DF，∴∠DFE=∠DEF，∵OA=OB=OC=OD=2，∴点A、D、C、B共圆，∴AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DEF+∠DAE=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，又∠DFE=∠AFO，∴∠OAC+∠AFO=90°，∴∠AOF＝90°，AD=，∵∠AOF＝∠ADB＝90°，∠DAC=∠OAC，∴△ADE∽△AOF，∴；
（第27题答图1） （第27题答图2） （第27题答图3）
（3） 如答图2，以O为圆心，OA为半径作圆，延长BC与AD交于点H. 过E作EQ⊥CD于Q.∵OA=OB=OC=OD=2，∴点A、D、C、B共圆，∴AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠ACH＝90°=∠ACB，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，在△ACB和△ACH中，∠ACB＝∠ACH，AC＝AC，∠BAC=∠HAC，∴△ACB≌△ACH，AB= AH=4，BC=HC，
又∠BDH=180°-∠ADB＝90°，∴DC=HB=CB=CH，∵点A、D、C、B共圆，∴∠HCD＝∠HAB，又∠H＝∠H，∴△HCD∽△HAB，∴，即，∴HD=BC2，设BC=x，四边形ABCD的周长为y，则y=AB+AD+CD+BC=4+4-BC2+BC+BC=-x2+2x+8=，∴当x=2时，y有最大值，当BC=x=2时（答图3），AD=CD=BC，∴，且它们所对圆心角都为60°，∴∠DCA=∠CDB=30°，∴ED=EC，∴DQ=CD=1，在Rt△DQE中，=COS∠CDE，=，∴DE=.
综合提升
1.（青竹湖湘一期中26）.如图所示，直线与抛物线交于两点(点在点的左侧，与轴交于点，抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与直线交于点
（1)当四边形是菱形时，求点的坐标;
（2)若点为直线上一动点，求的面积;
（3)作点关于直线的对称点，以点为圆心，为半径作，点是上一动点，求的最小值.
答案（1）；（2）3；（3）.
解析
（1）∵，，四边形为菱形，
∴，∴，∴
（2）∵直线与抛物线交于，两点，
∴联立，解得或
∵点在点的左侧，∴，，
∵直线的解析式为，直线的解析式为，
∴，两直线之间距离，
∴
（3）∵，，∴，
由点坐标，点坐标可知以为半径的圆的半径为，取的中点，连接，，，，如图所示，
∴，
∵，，
∴，
∴，∴，
由三角形三边关系，当，，三点共线时最小.
∵直线的解析式为，∴直线与对称轴夹角为，
∴点关于对称轴对称，∴
由勾股定理得最小值为，即的最小值是.
2.（2020邵阳26改编）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与轴、轴的交点分别为,,，抛物线过，两点，动点在上运动，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点的坐标；
（3）过点与轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点，将线段沿过点的直线翻折，点的对称点为，求的最小值．
答案（1）（2）（3）
解析（1）（2）略
（3）此题解题关键在读懂“将线段沿过点的直线翻折，点的对称点为”此句，这里由于过点的直线是未知的，所以有多种可能性，因此，点在以点为圆心，长为半径的圆上．当，，共线时，最短，；点和点的定点，动点在定直线轴上，此为将军饮马模型；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点,∵点D，∴点
由得对称轴为，
∴点，∴，
，
∴
故最小值为．
变式１：求的最小值；
变式２：求的最小值；
3.如图所示，在等腰直角中,，，以点为圆心、1为半径作圆，为上的动点，过点作的切线，切点分别为、,的另－条切线分别交、于点、，则周长的最小值为 .
答案
解析 连接、，如图所示.
∵、、分别与圆相切，
∴，
的周长，
当取得最小值时，△PMN的周长也取到最小值.
在中，，∴.
如图所示，当时，取得最小值，此时最小，
在等腰中，，∴.
此时，在中，，，
∴，∴周长的最小值为.
思路点拨
利用切线长定理，判断的周长等于两倍的长，于是将周长最小值问题转化为最小值问题.对于多动点的最值问题，通常需要利用转化思想，将其转化为点到点或点到线的最值问题.
4．如图所示，，为内(含两边)的两点，且，，．若为的内切圆半径，则的最大值为 ．
解 延长至点，如图所示．
∵，，
∴．
在中，
．
在中，，
∴.
如图所示，当点在射线上，
即点、重合时，取得最小值，取得最大值．
∵，
，
此时取到最大值，．
思路点拨
首先要熟悉一般三角形内切圆的半径计算公式，即．
本题中，的面积和周长都在变化．我们发现，当向靠近时，度数逐渐变小(钝角→直角)，此时面积逐渐增大，而周长逐渐减小．因此，当时，周长最小，面积最大，故此时内切圆的半径也达到最大值．依旧是双变量，经过分析发现，向越靠近，周长和面积的变化趋势都越利于内切圆半径的增大，因此找到临界情况即可．
5．如图所示，点C是⊙O上一动点，弦AB＝6，∠ACB＝120°．△ABC内切圆半径r的最大值为 ．
答案
解析
设△ABC的内心为点I，连接AI、BI，如图所示．
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，BI平分∠CBA．
∵∠ACB＝120°，
∴∠CAB＋∠CBA＝180－∠ACB＝60°，
∴∠IAB＋∠IBA＝(∠CAB＋∠CBA)＝30°，
∴∠AIB＝180－(∠IAB＋∠IBA)＝150°．
∵AB为定线段，∴点I的轨迹为一段圆弧．
设该弧的圆心为点D，过点I作IE⊥AB，如图所示
∴IE为△ABC内切圆的半径，
∴r的最大值就是线段IE的最大值．
如图所示，当O、I、E三点共线时，在弓形内取得IE的最大值．
∵∠AIB＝150°，∴∠ADB＝2(180°－150°)＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
∵AE⊥AB，在Rt△AED中，AD＝AB＝6，
∴DE＝3，
∴IE＝DI－DE＝6－3，
∴△ABC内切圆半径r的最大值为6－3．
思路点拨
我们从题干中解读出两条关键的信息，一是三角形两个内角的平分线所形成的角与第三个角的数量关系，二是定弦、定角形成的圆轨迹.不难发现∠AIB为定角，AB为定线段，点I的轨迹便可以确定为一段圆弧，继而找到弦AB的垂直平分线与的交点即为r最大时内心I的位置，最后利用垂径定理进行计算．
6．如图所示，，点在内且，以点为圆心、1为半径作圆，点、分别是射线、上异于点的动点，点在圆上运动．若圆和两边都没有交点，则的最小值为 ．
答案
解析
连接OM，作点关于OB、OA的对称点，
连接、、,如图所示，
∴,,
同理，，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
如图所示，当、、三点共线时（点在之间），
取得最小值为，
∴的最小值为2．
思路点拔
作出点关于OB、OA的对称点，，根据“两点之间线段最短”，当，、、四点共线时，取得最小值；根据特殊角的三角函数值，此时，所以要求的最小值，即圆外一点到圆周上一点的距离最小值．
7.如图所示，∠ACB＝60°，圆O内切于∠ACB，半径为2.P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM＋2PN的取值范围为____.
答案
解析
延长MP与CB交于点D，如图所示.
∵PM⊥AC,PN⊥CB，∴∠PMC＝∠PNC＝90°.
∵∠ACB＝60°，
∴∠MPN＝360°－∠PMC－∠PNC－∠ACB＝120°,
∴∠DPN＝60°.
在Rt△PDN中，∠PDN＝30°，∴PD＝2PN，∴PM＋2PN＝PM＋PD＝MD.
在Rt△DMC中，MD＝CM，∴PM＋2PN＝CM.
当PM与圆相切时，CM取到最值.设圆与∠ACB两边的切点分别为E、F，连接OE、OF,
（1）当PM与圆相切在外侧时，CM取得最大值，如图所示.
∵OE⊥AC,OF⊥CB,OE＝OF＝r，∴CO平分∠ACB，∴∠OCE＝30°
在Rt△COE中，OE＝2,
∵PM与圆相切，∴OP⊥MD,
∴∠OPM＝∠OEM＝∠PME＝90°，
∴四边形OPME为矩形.
∴OP＝EM＝2，∴CM＝EM＋CE＝2＋2
∴PM＋2PN的最大值为6＋2
（2）当PM与圆相切在内侧时，CM取得最小值如图所示.
同理，CM＝2－2，
∴PM＋2PN的最小值为6－2
综上，6－2≤PM＋2PN≤6＋2
思路点拔：
将MP延长，利用30°角的正弦值构造2PN，将目标式转化为一条线段的长度，继续利用60°角的正切值将线段MD转换成倍的CM长度，利用切线的性质找出CM最大值和最小值的位置，进行长度计算即可.
其他
18.如图3.15所示，两块三角尺的直角顶点靠在一起，BC＝3，EF＝2，G为DE上一动点.将三角尺DEF绕直角顶点F旋转一周，在这个旋转过程中，B、G两点的最小距离为___________.
答案：在Rt△DEF中，CE＝2，∠CDE＝30°，∴DF＝2，DE＝4.
如图4.38所示，当点G与点D重合时，CGmax＝DF＝2，
当CG⊥DE时，CGmin＝h＝＝＝，
∴≤CG≤2.
当CG＝3时，以C为圆心、CG为半径的圆恰好经过点B.
在△DEF旋转的过程中，点G会经过点B.
因此，当BG恰好重合时，BG取得最小值为0.
思路点拨
这是个“特别”的题，点G是DE上一动点，因此在转动的过程中，点G的轨迹不是线而是面，这个面的形状为以点C为圆心、分别以CGmin和CGmax为半径的同心圆环，点B也在这个“面轨迹”中，因此BG的最小值为0.
5.如图3.41所示，有两个同心圆，半径分别是2和4，矩形ABCD的边AB、CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD的面积取最大值时，矩形ABCD的周长是 .
答案：
解 作AB的垂直平分线EF，连接OA、OD，如图4.91所示，
∴四过形AEFD为矩形，
∵AB为弦，
∴EF过圆心O，
∴S△AOD＝S矩形AEFD＝S矩形ABCD.
当且仅当AO⊥DO时，S△AOD取得最大值，
∴S△AOD＝AO·DO＝×2×4＝12，
AD＝＝6.
∵S矩形ABCD＝AB·AD＝4S△AOD＝48，
∴AB＝8，
此时矩形ABCD的周长为16＋12.
思路点拨
利用面积法将问题从矩形转移到由两条半径构成的三角形.显然，△AOD的面积为矩形的.当长度固定的OA与OD夹角为90°时△AOD的面积取得最值.利用面积公式和勾股定理求出此时矩形ABCD的边长最值
．如图3．42所示，在扇形AOB中，OA＝12，∠O＝90°，C、D分别为OA、OB上的点，其中OC＝6，OD＝2BD，M为弧AB上的动点，连接CM、DM，则四边形OCMD的面积最大值为 ．
解 连接OM、CD，如图4．92所示．
不妨设OM和CD的夹角为．
在Rt△OCD中，OD＝OB＝8，OC＝6，
∴CD＝＝10．
利用题44中的结论，S四边形OCMD＝OM·CD·sin．
当＝90°时，S四边形OCMD＝OM·CD＝60．
∴在点M运动的过程中，当OM⊥CD时，S四边形OCMD 取得最大值60．
思路点拨
连接四边形OCMD的两条对角线CD和OM，这两条对角线的长度是定值，因此调整OM和CD的夹角就能使四边形的面积发生变化．当夹角等于90°时，四边形OCMD的面积取到最大值．
1. 如图，AB是⊙O的直径，在AB的异侧分别有定点C和动点P，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过点C作CP的垂线CD，交PB的延长线于点D，已知AB＝5，BC∶CA＝4∶3.
(1)求证：AC·CD＝PC·BC；
(2)当点P位于的中点时，求CD的长；
(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积．