上海市宝山区2023-2024学年高三下学期二模数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，及函数单调性，即可求解.
【详解】，
则，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误.
故选：A.
2. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用正态分布曲线的对称性，结合，即可求解.
【详解】由随机变量X服从正态分布，
因为，可得，
所以.
故选：A.
3. 已知直线、、与平面、，下列命题正确是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项即可.
【详解】对于A，若，，，则与可能平行，也可能异面，故A错误；
对于B，若，，则与可能平行，也可能相交，故B错误；
对于C，若，，则与可能平行，也可能相交或异面，故C错误；
对于D，若，则由线面平行的性质定理可知，必有，使得，
又，则，因为，所以，故D正确.
故选：D.
4. 数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.则下列选项中正确的是（ ）
A. ①为真命题，②为真命题B. ①为真命题，②为假命题
C. ①为假命题，②为真命题D. ①为假命题，②为假命题
【答案】C
【解析】
【分析】利用等比数列前n项和公式计算，再建立方程并判断①；求出等差数列的通项，再拆分成两个等差数列，结合等差数列前n项和建立方程判断②.
【详解】对于①，由等比数列，得，
若对任意正整数，总存在正整数，使得，则，即，显然不成立，①为假命题；
对于②，设等差数列的公差为，则.
令，，则，
下面证是“某数列”.
设的前项和为，则，
于是对任意的正整数，总存在正整数，使得，所以是“某数列”.
同理，可证也是“某数列”.
所以对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得成立，故②为真命题.
故选：C
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
二、填空题：本题共12小题，共54分.
5. 抛物线的焦点坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.
【详解】因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为.
故答案为
【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.
6. 已知，则 ______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用两角差的正切公式将所求式展开，将代入即可求解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
7. 将（其中）化为有理数指数幂的形式为______.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可
详解】
故答案为：
8. 已知向量，，若，则实数 ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示计算得解.
【详解】由，，，得，
所以.
故答案为：2
9. 设实数、满足为虚数单位，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的乘法运算，结合复数相等列出方程组求解即得.
【详解】由，
得，即，
则，解得
.
故答案为：
10. 有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】由极差和平均数求出，即可求出中位数.
【详解】依题意可得极差为，平均数为，
所以，解得，
所以中位线为.
故答案为：
11. 已知集合，且，则实数的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得.
【详解】由集合，且，得或，解得或，
当时，，符合题意，
当时，且，与集合元素的互异性矛盾，
所以实数的值为0.
故答案为：
12. 在数列中，，且，则__________.
【答案】4
【解析】
【分析】利用递推公式累加即可求解.
【详解】由题意可得，
所以，，……，，
累加得，
所以，
故答案为：4
13. 某公司为了了解某商品的月销售量单位：万件与月销售单价单位：元件之间的关系，随机统计了个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：
由表中数据可得回归方程中，试预测当月销售单价为元件时，月销售量为______万件.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定数表求出样本中心点，再代入回归直线求出参数即可求得结果.
【详解】依题意，，，
所以样本中心点坐标为，代入回归方程得，，
解得，
所以回归方程为，
当时，，
即当月销售单价为元件时，月销售量约为万件.
故答案为：
14. 已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【详解】如图所示，

由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，
∵∠MAN=60°，
∴|AP|=b，
∴|OP|=．
设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan θ=．
又tan θ=，
∴，解得a2=3b2，
∴e=．
答案：
点睛：
求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，再根据和转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．
15. 某区域的地形大致如图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设：警戒区域为空旷的扇环形平地；假设：视探照灯为点，且距离地面米；假设：探照灯照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯以某一俯角从侧扫描到侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环由此，通过调整的俯角，逐次扫描形成扇环、、.第一次扫描时，光斑的长轴为，米，此时在探照灯处测得点的俯角为如图记，经测量知米，且是公差约为米的等差数列，则至少需要经过______次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.

【答案】
【解析】
【分析】依题意，，，得到是以为首项，以为公差的等差数列，求出与比较得到答案.
【详解】因为在中，
，，

所以，，
故，
故是以为首项，以为公差的等差数列，
故，
而，，
故.
所以至少需要次才能将整个警戒区域扫描完毕.
故答案为：.
16. 空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是______.
【答案】##
【解析】
【分析】由不等式有解，结合数量积运算，求得，又且，可得围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母线长为的圆锥，从而根据锥体体积公式求得结论.
【详解】由已知得，所以，
所以存在实数，使得不等式有解，
则有，解得，
又因为且，所以在方向上的数量投影是，
所以围成的空间几何体是以原点为顶点，高为，母线长为的圆锥，
故由构成的空间几何体的体积为.
故答案为：.
三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 在中，角、、的对边分别为、、，已知.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状.
【答案】（1）
（2）4，等边三角形
【解析】
【分析】（1）由正弦定理角化边可得，进而根据余弦定理可求；
（2）由三角表面积可求得，根据均值不等式可求得的最小值，根据取得最小值可判断三角形的形状.
【小问1详解】
由正弦定理得，
又由余弦定理得，
因为是三角形内角，所以；
【小问2详解】
由三角形面积公式得：
，
解得，
因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，此时为等边三角形.
18. 如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径.
（1）求证：；
（2）若，，圆柱的体积为，求异面直线与所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明平面，即可求解；
（2）延长交圆于点，连接、、，易知或其补角即为所求的角，即可求解.
【小问1详解】
证明：易知，
又由平面，平面，得，
而平面，
则平面，而平面，故.
【小问2详解】
延长交圆于点，连接、、，
易知或其补角即为所求的角，
由题知，解得，
中，
由余弦定理得，由，
从而，所以异面直线与所成角的大小为.
19. 在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投次，每投进一次得分，否则得分已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为.
（1）求甲投篮次得分的概率；
（2）若乙投篮次得分为，求的分布和期望；
（3）比较甲、乙的比赛结果.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，3
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）甲3次投篮得2分即3次中1次，根据独立事件概率公式即可求解；
（2）由题意得， X的所有可能取值为0，2，4，6，依次求出每种取值的概率，然后写出分布列，求出期望；
（3）分别求出甲、乙的期望和方差，然后进行比较大小，根据大小进行分析即可.
【小问1详解】
甲投篮次得分，即只投中次，概率为；
【小问2详解】
由题意知的所有可能取值为，，，，
则，
，
随机变量的分布为，
期望；
【小问3详解】
设甲三次投篮的得分，则，，，，
可求得随机变量的分布为，
所以
，
又可算得，
因为，，
所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定.
20. 已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点.
（1）求双曲线两条渐近线夹角的余弦值；
（2）若，求的取值范围；
（3）椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是、两点，直线与椭圆的另一个交点为记、的面积分别为、求的最小值，并写出取最小值时点的坐标.
【答案】（1）；
（2）；
（3），.
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程及其方向向量，再利用向量的夹角公式计算得解.
（2）设出点的坐标，利用数量积及向量模的坐标表示，结合双曲线有范围求解即得.
（3）求出椭圆方程，设出直线方程，与椭圆、双曲线方程联立分别求出点的坐标，再建立的关系式，利用基本不等式求解即得.
【小问1详解】
双曲线的两条渐近线方程为，则它们的方向向量，
设两条直线夹角为，则，
所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为.
【小问2详解】
设，，显然、，，，
则，即，又点在双曲线上，有，即，
从而，解得，而点是双曲线在第一象限的点，则，
，
所以.
【小问3详解】
在椭圆中，，焦点在轴上，标准方程为，
设，，直线的斜率为，，
则直线的方程为，
由，得，该方程的两根分别为和，
由，得，同理，于是，
记，，
则
，当且仅当即时取等号，
所以的最小值为，此时点的坐标为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
21. 函数的表达式为.
（1）若，直线与曲线相切于点，求直线的方程；
（2）函数的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为，证明：数列是严格减数列；
（3）已知定义在上的奇函数满足，对任意，当时，都有且.记，.当时，是否存在，使得成立？若存在，求出符合题意的；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）由函数零点的意义可得，按分段，结合导数讨论函数值的情况即可得证.
（3）求出函数的周期及在上的最大值，结合的奇偶性确定的最值情况，推理导出矛盾得解.
【小问1详解】
当时，，求导得，则，
所以直线的方程是.
【小问2详解】
由，得，则，令，得，
①当时，，此时函数没有零点；
②当时，由，知在上严格单调递增，在严格单调递减，
又在上严格单调递增，在严格单调递减，
因此时，在时有最小值，在时有最大值，
因为，
所以在上没有交点，即在上没有零点；
于是函数的零点满足，
因为在严格减，所以，
又因为，所以数列是严格减数列.
【小问3详解】
因为，
所以是以为周期的周期函数，
因为任意，当时，都有且，
所以当时，在上有唯一的最大值，
由，得，，，
假设存在，使得成立，
即成立，
故当时，取得最大值；
当时，取得最大值，
由，可知 ①时，，
又因为是奇函数，所以当时，在上有唯一的最小值，
故当时，取得最小值；
当时，取得最小值，
由，可知 ②时，，
若成立，
则由①②得：，即，
因为，，，，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立，
因此当时，不存在，使得成立.
【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.月销售单价元件
月销售量万件
0
2
4
6
0
2
4
6