2023-2024学年天津市宁河区第一学片八年级（下）期中数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年天津市宁河区第一学片八年级（下）期中数学试卷(含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各组数中勾股数的是( )
A. 4，5，6B. 1，1， 2C. 6，8，11D. 5，12，13
2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. 12B. 0.3C. 8D. 5
3.下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是( )
A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等D. 对角线互相垂直且相等
4.如图，直角三角形的三边长分为a、b、c，下列各式正确的是( )
A. a2+b2=c2
B. b2+c2=a2
C. c2+a2=b2
D. 以上都不对
5.一个直角三角形的两边长分别为4cm、3cm，则第三条边长为( )
A. 5cmB. 4cmC. 7cmD. 5cm 或 7cm
6.如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )
A. 5+1B. 5−1C. − 5+1D. − 5−1
7.如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于( )
A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 4 cm
8.顺次连接菱形的各边中点所得到的四边形是( )
A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形
9.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
10.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为( )
A. 2.4cm
B. 4.8cm
C. 5cm
D. 9.6cm
11.如图，在2×2的网格中，有一个格点△ABC，若每个小正方形的边长为1，则△ABC的边AB上的高为( )
A. 22
B. 55
C. 510
D. 1
12.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，选择下列条件中的一个，能判断△ABC是直角三角形的是( )
①∠A=∠B−∠C；②a2=(b+c)(b−c)；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④a：b：c=3：4：5
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.计算： (1− 2)2=______．
14.式子2 3x−6有意义的条件是______．
15.如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这只小鸟至少要飞行______m.
16.如图所示，▱OMNP的顶点P坐标是(2,3)，顶点M坐标的是(4,0)，则顶点N的坐标是______．
17.有一圆柱形罐，如图，要以A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，则梯子最短需______米.(油罐周长12m，高AB=5m)
18.如图1所示，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别为CD、BC的中点，AE和DF相交于点G；如图2所示，将图1中边长为4的正方形ABCD折叠，使得点D落在边BC的中点D′处，点A落在点A′处，折痕为MN.现有四个结论：
图1
图1中：①AE=DF；②AE⊥DF；③DG=34 5；
图2中：④MN=2 5．
其中正确的结论有：______.(填序号)
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)( 3−1)2−(−13)−2+(π−2)0+ 12；
(2) 27÷ 32×2 2−6 2．
20.(本小题8分)
已知x2+y2−6x+2y+10=0，求( x+y)( x−y)的值．
21.(本小题10分)
已知x= 3+1，y= 3−1，求下列各式的值：
(1)x2y+xy2；
(2)x2+y2．
22.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，试判断△BCD的形状，并说明理由．
23.(本小题10分)
一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
24.(本小题10分)
如图1，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE/​/BD，BE/​/AC，OE=CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图2，若∠ADC=60°，AD=4，求AE的长．
25.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
(1)求证：BD=CD；
(2)如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、∵42+52=16+25=41，62=36，
∴42+52≠62，
∴4，5，6不是勾股数，本选项不符合题意；
B、∵ 2不是正整数，
∴1，1， 2不是勾股数，本选项不符合题意；
C、∵62+82=36+64=100，112=121，
∴62+82≠112，
∴6，8，11不是勾股数，本选项不符合题意；
D、∵52+122=25+144=169，132=169，
∴52+122=132，
∴5，12，13是勾股数，本选项符合题意；
故选：D．
根据勾股数的概念判断即可．
本题考查的是勾股数，满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
2.【答案】D
【解析】解： 12= 22，被开方数含分母，不是最简二次根式；
0.3= 3010，被开方数含分母，不是最简二次根式；
8=2 2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
5是最简二次根式，
故选：D．
根据最简二次根式的条件进行判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的条件：(1)被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；(2)被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
3.【答案】C
【解析】解：∵对角线互相平分，
不能判定平行四边形是矩形；故A不符合题意；
∵对角线互相垂直，
∴平行四边形是菱形，
∴故B不符合题意；
∵对角线相等，
∴平行四边形是矩形，
∴故C符合题意；
∵对角线互相垂直且相等，
∴平行四边形ABCD是正方形，
∴故D不符合题意；
故选：C．
由平行四边形的判定方法和矩形的判定方法得出A、B、D不能判定，C能判定，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定方法、平行四边形的判定方法；熟练掌握矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵∠A=90°，
∴由勾股定理得：b2+c2=a2．
故选：B．
由勾股定理即可得出结论，注意a是斜边长．
本题考查了勾股定理；熟记勾股定理是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：(1)当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5cm；
(2)当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为 7cm；
故直角三角形的第三边应该为5cm或 7cm．
故选：D．
题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析．
此题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析．
6.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得： 12+22= 5，
∴数轴上点A所表示的数是 5−1，
∴a= 5−1；故选：B．
由勾股定理得出 12+22= 5，得出数轴上点A所表示的数是 5−1，即可得出结果．
本题考查了勾股定理、实数与数轴的关系；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵AD/​/BC，
∴∠DAE=∠BEA
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
∴∠BAE=∠BEA
∴BE=AB=3
∵BC=AD=5
∴EC=BC−BE=5−3=2
故选：B．
根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB=BE，所以根据AD、AB的值，求出EC的值．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
8.【答案】C
【解析】解：如图，连接AC、BD，相交于点O，
∵四边形ABCD为菱形，E、F、H、G为菱形边上的中点，
∴EH/​/FG，EF/​/HD，
∴四边形EHGF为平行四边形．
根据菱形的性质可得菱形的对角线互相垂直，
故∠EFG=∠AOD=90°
所以四边形EHGF为矩形．
故选：C．
本题画出辅助线，连接AC、BD，证明连接菱形的各边中点所得到的是平行四边形，再证平行四边形的一个角为直角即可．
本题考查的是矩形的判定定理以及菱形的判定．考生应熟记书本上的内容，难度一般．
9.【答案】C
【解析】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F=BF，
设D′F=x，则AF=8−x，
在Rt△AFD′中，(8−x)2=x2+42，
解得：x=3，
∴AF=AB−FB=8−3=5，
∴S△AFC=12⋅AF⋅BC=10．
故选：C．
因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，易证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB−BF，即可得到结果．
本题考查了翻折变换−折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=12AC=4，OB=12BD=3，AC⊥BD，
∴AB= OA2+OB2= 42+32=5，
∵菱形ABCD的面积=AB⋅DE=12AC⋅BD=12×8×6=24，
∴DE=245=4.8；
故选：B．
先由菱形的性质和勾股定理求出边长，再根据菱形面积的两种计算方法，即可求出菱形的高．
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积的计算方法；熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理求出边长是解决问题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：如图，过点C作CD⊥AB于D，
在直角△ABE中，∠AEB=90°，AE=1，BE=2，则由勾股定理知，AB= AE2+BE2= 12+22= 5．
由12AE⋅BC=12AB⋅CD知，CD=AE⋅BCAB=1×1 5= 55．
故选：B．
如图，过点C作CD⊥AB于D，首先利用勾股定理求得AB的长度，然后利用等面积法求得CD的长度．
本题主要考查了勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求得AB边的长度．
12.【答案】C
【解析】解：①∵∠A=∠B−∠C，
∴∠A+∠C=∠B，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=90°，
∴是直角三角形；
②∵a2=(b+c)(b−c)，
∴a2=b2−c2，
a2+c2=b2，是直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=75°，不是直角三角形；
④∵a：b：c=3：4：5，
∴32+42=52，
∴a2+b2=c2，是直角三角形；
故选：C．
根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
13.【答案】 2−1
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
判断1和 2的大小，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】
解：∵1< 2，
∴1− 2<0，
∴ (1− 2)2= 2−1，
故答案为： 2−1．
14.【答案】x>2
【解析】解：由题意得：3x−6>0，
解得：x>2，
故答案为：x>2．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列式计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
15.【答案】10
【解析】解：两棵树的高度差为6m，间距为8m，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离= (10−4)2+82=10m．
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
本题主要是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
16.【答案】(6,3)
【解析】解：过P作PE⊥OM，过点N作NF⊥OM，
∵顶点P的坐标是(2,3)，
∴OE=2，PE=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OE=MF=2，
∵4+2=6，
∴点N的坐标为(6,3)．
故答案为：(6,3)．
过P作PE⊥OM，过点N作NF⊥OM，根据平移求出OP的长度，则N点坐标便不难求出．
此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质和点P的坐标，作出辅助线是解决本题的突破口．
17.【答案】13
【解析】解：如图，将圆柱体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，梯子最短是AB= 122+52= 169=13m．
答：梯子最短是13米．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．
18.【答案】①②④
【解析】解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠ADE=∠DCF=90°，
∵点E，F分别为CD、BC的中点，
∴DE=12CD=12BC=CF，
在△ADE和△DCF中，
AD=DC∠ADE=∠DCFDE=CF,
∴△ADE≌△DCF(SAS)，
∴AE=DF，故①正确；
∠DAE=∠CDF，
∵∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠CDF+∠DEA=90°，
∴∠DGE=90°，
∴AE⊥DF，故②正确；
∵AD=4，DE=12CD=2，
∴AE= AD2+DE2=2 5，
∵2S△ADE=AD⋅DE=AE⋅DG，
∴DG=AD⋅DEAE=4×22 5=4 55，故③错误；
图2中，过点M作MG⊥CD于点G，连接DD′交MG于K，如图：
由题意可知MG=BC=CD，
由折叠可知，DD′⊥MN，
∴∠NMG+∠MKD′=90°，
∵∠DKG+∠D′DC=90°，∠MKD′=∠DKG(对顶角相等)，
∴∠NMG=∠D′DC．
在△MNG与△DD′C中，
∠NMG=∠D′DCMG=CD∠MGN=∠DCD′=90°，
∴△MNG≌△DD′C(ASA)．
∴MN=DD′= CD2+CD′2= 42+22=2 5，故④正确，
故答案为：①②④．
根据四边形ABCD是正方形，点E，F分别为CD、BC的中点，可得△ADE≌△DCF(SAS)，判断①正确；根据同角的余角相等可判断故②正确；由等面积法可判断③错误；图2中，过点M作MG⊥CD于点G，连接DD′交MG于K，可证明△MNG≌△DD′C(ASA)，从而MN=DD′= CD2+CD′2=2 5，可判断④正确，
本题考查正方形中的翻折问题，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是熟练应用全等三角形的判定定理，证明MN=DD′．
19.【答案】解：(1)原式=3−2 3+1−9+1+2 3
=−4；
(2)原式=12 2−6 2
=6 2．
【解析】(1)利用完全平方公式，负整数指数幂，零指数幂的定义计算即可；
(2)先计算乘除，再计算加减．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
20.【答案】解：由已知得：(x2−6x+9)+(y2+2y+1)=0，
变形得：(x−3)2+(y+1)2=0，
∴x=3，y=−1，
∴原式=( 3−1)×( 3+1)=3−1=2．
【解析】已知等式变形后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵x= 3+1,y= 3−1，
∴x+y= 3+1+ 3−1=2 3,xy=( 3+1)( 3−1)=( 3)2−12=3−1=2，
∴x2y+xy2
=xy(x+y)
=2×2 3
=4 3；
(2))∵x= 3+1,y= 3−1，
∴x+y= 3+1+ 3−1=2 3,xy=( 3+1)( 3−1)=( 3)2−12=3−1=2，
∴x2+y2
=(x+y)2−2xy
=(2 3)2−2×2
=12−4
=8．
【解析】(1)先根据已知条件，求出x+y与xy，然后把所求代数式提取公因式xy，再把x+y与xy的值代入计算即可；
(2)根据已知条件，求出x+y与xy，然后利用完全平方公式进行计算即可．
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和几种常见的分解因式的方法．
22.【答案】解：△BCD是直角三角形，理由是：
在△ABD中，∠A=90°，
∴BD2=AD2+AB2=32+42=25，
在△BCD中，BD2+BC2=52+122=169，
CD2=132=169，
∴BD2+BC2=CD2，
∴∠DBC=90°
∴△BCD是直角三角形．
【解析】先根据勾股定理计算BD的长，再利用勾股定理的逆定理证明∠DBC=90°，所以：△BCD是直角三角形．
本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理的内容是关键，注意各自的条件和结论．
23.【答案】解：(1)由题意得：AC=25米，BC=7米，
AB= 252−72=24(米)，
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
(2)由题意得：BA′=24−4=20米，A′C′=AC=25米，
∴BC′= 252−202=15(米)，
则：CC′=15−7=8(米)，
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【解析】(1)利用勾股定理直接得出AB的长即可；
(2)利用勾股定理直接得出BC′的长，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键．
24.【答案】证明：(1)∵AE/​/BD，BE/​/AC，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB．
∵OE=CD，
∴OE=AB．
∴平行四边形AEBO是矩形，
∴∠BOA=90°．
∴AC⊥BD．
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=4，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，∠ADO=30°，
∴AO=2，DO= 3AO=2 3=BO，
∴四边形OBEA是平行四边形，
∴AE=OB=2 3
【解析】(1)根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可；
(2)由菱形的性质可得AD=CD=4，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，∠ADO=30°，可求AO=2，DO= 3AO=2 3=BO，由平行四边形的性质可求AE的长．
本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用性质是本题的关键．
25.【答案】证明：
(1)∵AF/​/BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∠AFE=∠DCEAE=DE∠AEF=∠DEC，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF=DC，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
(2)四边形AFBD是矩形．
理由：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°
∵AF=BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF/​/BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形．
【解析】(1)先由AF/​/BC，利用平行线的性质可证∠AFE=∠DCE，而E是AD中点，那么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，从而有BD=CD；
(2)四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形．
本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、等量代换、平行四边形的判定、等腰三角形三线合一定理、矩形的判定等知识．