江西省赣州市2023-2024学年高三下学期5月适应性考试数学试题

这是一份江西省赣州市2023-2024学年高三下学期5月适应性考试数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2024年5月
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在等差数列中．，是方程的两根，则的前6项和为（ ）
A．48B．24C．12D．8
2．已知甲、乙两组数据分别为：22，21，24，23，25，20和25，22，a，26，23，24．若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大2，则（ ）
A．甲、乙两组数据的极差不同B．乙组数据的中位数为24
C．甲、乙两组数据的方差相同D．甲组数据的第一四分位数为21.5
3．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，，则A＝（ ）
A．B．C．D．
4．已知直线．圆，则（ ）
A．l过定点B．l与C一定相交
C．若l平分C的周长，则m＝1D．l被C截得的最短弦的长度为4
5．由0和1组成的序列称为0－1序列，序列中数的个数称为这个序列的长度，如01011是一个长度为5的0－1序列．在长度为8的0－1序列中．所有1互不相邻的序列个数为（ ）
A．20B．54C．55D．280
6．已知，为双曲线的左、右焦点，M为C左支上一点．设，，且，则C的离心率为（ ）
A．B．3C．2D．
7．已知球O内切于正四棱锥P－ABCD，PA＝AB＝2，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，．若，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知i为虚数单位，，则（ ）
A．
B．
C．若，则的最大值为6
D．若是关于x的方程的一个根，则q＝8
10．已知函数，则（ ）
A．若相邻两条对称轴的距离为，则
B．当的最小正周期为，时，
C．当时，的图象向右平移个单位长度得到函数解析式为
D．若在区间上有且仅有两个零点，则
11．函数及其导函数的定义域均为R，和都是奇函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．是周期函数D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若集合，，则______．
13．已知某正三棱柱外接球的体积为，则该正三棱柱体积的最大值为______．
14．已知，则的最小值为______．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
《中国诗词大会》是中央广播电视总台联合中华人民共和国教育部、国家语言文字工作委员会共同推出的语言文化类节目，节目以诗词描绘中国精神，用诗意书写时代篇章，尽展中华民族历史之美、山河之美、文化之美．随着《中国诗词大会》的播出，赣州市某学校掀起了学习唐诗和宋词的热潮，该校团委组织了校内诗词大会，赛前准备了两组题，第一组题中含有2道唐诗和3道宋词，第二组题中含有6道唐诗和4道宋词．
（1）先等可能地抽取一组题，再从这组题中抽出2道题，若抽出的两道题恰是1道唐诗和1道宋词，求这两道题出自第一组题的概率；
（2）某同学从两组题中按照分层抽样共抽取3道题，记X为抽到的是宋词的题数，求X的分布列及数学期望．
16．（15分）．
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，底面ABC为等边三角形．
（1）证明：为等腰三角形；
（2）若，求平面与平面夹角的正弦值．
17．（15分）
已知数列满足，，，成等差数列．
（1）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；
（2）记的前n项和为，证明：．
18．（17分）
如图，曲线是以原点O为中心，，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点，为焦点的抛物线的一部分，是和的交点，我们把和合成的曲线W称为“月蚀圆”．
（1）求所在椭圆和所在抛物线的标准方程；
（2）过作与y轴不垂直的直线l，l与W依次交于B，C，D，E四点，P，Q为所在抛物线的准线上两点，M，N分别为CD，BE的中点．设，，，分别表示，，，的面积，求．
19．（17分）
给出以下三个材料：
①若函数的导数为，的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做的四阶导数…，一般地，n－1阶导数的导数叫做的n阶导数，即，；
②若，定义；
③若函数在包含的某个开区间上具有n阶的导数，那么对于有，我们将称为函数在点处的n阶泰勒展开式．例如，在点处的n阶泰勒展开式为．根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）若，在点处的3阶泰勒展开式分别为，，求出，；
（2）比较（1）中与的大小；
（3）证明：．
赣州市2024年高三年级适应性考试
数学参考答案
一、选择题
三、填空题
12．13．2714．
14．解：
当且仅当，即，即时等号成立．
四、解答题
15．解：（1）记“抽出的两道题恰是1道唐诗和1道宋词”为事件A，
“抽到第一组题”为事件，“抽到第二组题”为事件
则，，
由贝叶斯公式知，若抽出的两道题恰是1道唐诗和1道宋词且这两道题出自第一组题的概率为
（2）由题意得，抽取的3道题中有1道来自第一题组，2道来自第二题组，
X的可能值为0，1，2，3
所以X的分布列为
所以
16．解：（1）设BC，的中点分别为O，M，连接OM，AO，，
由于侧面为正方形，所以，
∵，∴
由于底面ABC为等边三角形，所以
又，，
所以
由于，，故四边形为平行四边形，
又，故
由于O是BC中点，所以，则为等腰三角形
（2）不妨设AB＝2，则，CO＝BO＝1，
又，且，则
则，从而，而，，
则，OA，OB两两垂直，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，
设平面的一个法向量为，
则取，则
由于平面的一个法向量为，
故
设所求角为，，，
故平面与平面的夹角的正弦值为
17．证明：（1）由于，，成等差数列，所以
即，可得
所以数列表示是以为首相，3为公比的等比数列
所以，即
（2）因为
所以
由于，且
所以
（当n＝1时等号成立）
故
18．解：（1）由题知，设椭圆的标准方程为，
抛物线的标准方程为
由于曲线经过，所以，解得p＝4
所以，所以，
所以，且，
解得，，所以
（2）由题意可知直线l的斜率必存在且不为0，
设，，，，
联立可得
可得
联立可得，可得
记，，，的高分别为，，，，
由于，，
所以
19．解：（1）∵，，
∴，，，
∴
同理可得：
（2）由（1）知：，，
令，则，
∴，∴在R上单调递增
又，∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，即
故
（3）令，则
由（2）知，，所以在R上单调递增，又，
所以当时，，；
当时，，；
当时，，
∴在点处的4阶泰勒展开式为：，
∴，当且仅当x＝0时取等号
①当时，，当且仅当x＝0时取等号，
所以
②当时，设，，
，，
若，由于，所以，
，
，从而
若，，
所以，时，单调递减，从而，即．
综上：．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
A
B
B
D
A
C
ACD
ACD
BC
X
0
1
2
3
P