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【二轮复习】高考数学专题02 不等式与复数(考点精讲)(讲义)(原卷版+解析版)
展开TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc151996079" PAGEREF _Tc151996079 \h 1
\l "_Tc151996080" PAGEREF _Tc151996080 \h 2
\l "_Tc151996081" PAGEREF _Tc151996081 \h 3
\l "_Tc151996082" PAGEREF _Tc151996082 \h 4
\l "_Tc151996083" PAGEREF _Tc151996083 \h 11
\l "_Tc151996084" 考点一:基本不等式二元式 PAGEREF _Tc151996084 \h 11
\l "_Tc151996085" 考点二:和式与积式 PAGEREF _Tc151996085 \h 13
\l "_Tc151996086" 考点三:柯西不等式二元式 PAGEREF _Tc151996086 \h 16
\l "_Tc151996087" 考点四:齐次化与不等式最值 PAGEREF _Tc151996087 \h 18
\l "_Tc151996088" 考点五:复数的四则运算 PAGEREF _Tc151996088 \h 22
\l "_Tc151996089" 考点六:复数的几何意义 PAGEREF _Tc151996089 \h 23
有关不等式的高考试题,是历年高考重点考查的知识点之一,其应用范围涉及高中数学的很多章节,且常考常新,但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题,考试形式多以一道选择题为主,分值5分.复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容,题型多为选择题或填空题,分值5分,考题难度为低档.
1、几个重要的不等式
(1)
(2)基本不等式:如果,则(当且仅当“”时取“”).
特例:(同号).
(3)其他变形:
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串:即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
2、均值定理
已知.
(1)如果(定值),则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值,积有最大值”.
(2)如果(定值),则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值,和有最小值”.
3、常见求最值模型
模型一:,当且仅当时等号成立;
模型二:,当且仅当时等号成立;
模型三:,当且仅当时等号成立;
模型四:,当且仅当时等号成立.
4、对复数几何意义的理解及应用
(1)复数,复平面上的点及向量相互联系,即;(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.
1.(2022•上海)若实数、满足,下列不等式中恒成立的是
A.B.C.D.
【答案】
【解析】因为,所以,当且仅当时取等号,
又,所以,故正确,错误,
,当且仅当,即时取等号,故错误,
故选:.
2.(2021•乙卷)下列函数中最小值为4的是
A.B.C.D.
【答案】
【解析】对于,,
所以函数的最小值为3,故选项错误;
对于,因为,所以,
当且仅当,即时取等号,
因为,所以等号取不到,
所以,故选项错误;
对于,因为,所以,
当且仅当,即时取等号,
所以函数的最小值为4,故选项正确;
对于,因为当时,,
所以函数的最小值不是4,故选项错误.
故选:.
3.(2021•上海)已知两两不相等的,,,,,,同时满足①,,;②;③,以下哪个选项恒成立
A.B.C.D.
【答案】
【解析】设,
,,,
根据题意,应该有,
且,
则有,
则,
因为,
所以,
所以项正确,错误.
,而上面已证,
因为不知道的正负,
所以该式子的正负无法恒定.
故选:.
4.(2023•新高考Ⅰ)已知,则
A.B.C.0D.1
【答案】
【解析】,
则,
故.
故选:.
5.(2023•新高考Ⅱ)在复平面内,对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】
【解析】,
则在复平面内,对应的点的坐标为,位于第一象限.
故选:.
6.(2023•甲卷)
A.B.1C.D.
【答案】
【解析】.
故选:.
7.(2023•乙卷)
A.1B.2C.D.5
【答案】
【解析】由于.
故选:.
8.(2022•新高考Ⅱ)
A.B.C.D.
【答案】
【解析】.
故选:.
9.(2022•甲卷)若,则
A.B.C.D.
【答案】
【解析】,,
则.
故选:.
10.(2022•乙卷)已知,且,其中,为实数,则
A.,B.,C.,D.,
【答案】
【解析】因为,且,
所以,
所以,
解得,.
故选:.
11.(2022•新高考Ⅰ)若,则
A.B.C.1D.2
【答案】
【解析】由,得,
,则,
.
故选:.
12.(2021•甲卷)已知,则
A.B.C.D.
【答案】
【解析】因为,
所以.
故选:.
13.(2021•新高考Ⅰ)已知,则
A.B.C.D.
【答案】
【解析】,
.
故选:.
14.(2021•新高考Ⅱ)复数在复平面内对应点所在的象限为
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】
【解析】,
在复平面内,复数对应的点的坐标为,,位于第一象限.
故选:.
15.(2021•乙卷)设,则
A.B.C.D.
【答案】
【解析】设,,是实数,
则,
则由,
得,
得,
得,得,,
即,
故选:.
16.(多选题)(2022•新高考Ⅱ)若,满足,则
A.B.C.D.
【答案】
【解析】方法一:由可得,,
令,则,
,,故错,对,
,,
故对,错,
方法二:对于,,由可得,,即,
,,故错,对,
对于,,由得,,
,故对;
,,
,故错误.
故选:.
17.(2023•上海)已知正实数、满足,则的最大值为 .
【答案】.
【解析】正实数、满足,则,当且仅当,时等号成立.
故答案为:.
18.(2021•天津)已知,,则的最小值为 .
【答案】.
【解析】法一:,,,
当且仅当且,即时取等号,
的最小值为,
法二:,,
,
当且仅当,即时取等号,
的最小值为,
故答案为:.
19.(2023•上海)已知,且为虚数单位),满足,则的取值范围为 .
【答案】,.
【解析】设,则,
因为,所以,
所以
,
显然当时,原式取最小值0,
当时,原式取最大值,
故的取值范围为,.
故答案为:,.
考点一:基本不等式二元式
如果,那么,当且仅当时,等号成立.其中,叫作的算术平均数,叫作的几何平均数.即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
不等式可变形为:或,其中.
例1.(2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中)已知,,且,则的最大值为( )
A.B.C.1D.2
【答案】A
【解析】,当且仅当时取等号.
即的最大值为.
故选:A
例2.(2023·山西太原·高三统考期中)已知(,且),,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】对于A,,故A错误;
对于B,,故B错误;
对于C,首先,所以由基本不等式有,但是由于的单调性不能确定,故不能比较大小,故C错误;
对于D,由于,所以由基本不等式可得,故D正确.
故选:D.
例3.(2023·福建莆田·高三莆田一中校考期中)实数满足,则的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【解析】因为,
所以
所以,当且仅当取等号
故选:D.
例4.(2023·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中)已知函数,若对任意的正数、,满足,则的最小值为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】对任意的,,所以,函数的定义域为,
因为,即函数为奇函数,
又因为,且函数在上为增函数,
所以,函数在上为增函数,
对任意的正数、,满足,则,
所以,,即,
所以,,
当且仅当时,即当时,等号成立,故的最小值为.
故选:B.
考点二:和式与积式
例5.(多选题)(2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考期中)已知a,b为正实数,且,则( )
A.ab的最大值为8B.的最小值为8
C.的最小值为D.的最小值为
【答案】ABC
【解析】因为,当且仅当时取等号,
则,
解不等式得,即,故的最大值为8,A正确;
由得,
所以,
当且仅当,即时取等号,此时取得最小值,B正确;
,
当且仅当,即时取等号,C正确;
,
当且仅当时取等号,此时取得最小值,D错误.
故选:ABC
例6.(多选题)(2023·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中)已知,,则( )
A.的最小值为4B.的最大值为
C.的最小值为D.的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A,,,当且仅当,即取等号,故A错误,
,当且仅当,即取等号,故B正确,
,故当时,取到最小值,此时,满足题意,故C正确,
,当且仅当,即时等号成立,所以D正确
故选:BCD
例7.(多选题)(2023·湖北·高三校联考期中)已知,,且,则( )
A.B.C.D.
【答案】ABC
【解析】因为,,且,且,
所以,
当且仅当时,等号成立,故A正确;
易知,即,所以,
所以,故,当且仅当时取等号,故B正确;
因为,又,所以,
所以,
因为,
所以,当且仅当,即时,等号成立,故C正确;
因为,,且,所以,
当且仅当时取等号,又,
所以,故D错误.
故选:ABC
例8.(多选题)(2023·广东佛山·统考一模)已知,,且,则( )
A.的最小值是1B.的最小值是
C.的最小值是4D.的最小值是4
【答案】BC
【解析】对于A,由,得,当且仅当等号成立,A错误;
对于B,由,,
当且仅当时,的最小值是,故B正确;
对于C,,当且仅当,时,等号成立,故C正确;
对于D,,
当且仅当,时等号成立,故D错误,
故选:BC.
例9.(多选题)(2023·新疆·高三校联考期中)已知实数满足,则( )
A.B.
C.D.
【答案】ACD
【解析】对于选项A、B:由,整理得,
因为,当且仅当时,等号成立,
即,解得,
故A正确,B错误;
因为,整理得,
对于选项C:因为,当且仅当时,等号成立,
即,解得,故C正确;
对于选项D:因为,当且仅当时,等号成立,
即,解得,故D正确;
故选:ACD.
考点三:柯西不等式二元式
设,,,,有 当且仅当时等号成立.
例10.(2023·全国·高三专题练习)已知,且,则的最小值是
【答案】36
【解析】由 ,
所以,当且仅当,即时取等号.
故答案为:36
例11.(2023·浙江台州·高三统考期末)已知正实数满足,则的最小值为 .
【答案】/0.5
【解析】由柯西不等式
而,所以时等号成立,
故答案为:.
例12.(2023·天津南开·高三统考期中)已知正实数a,b满足,则的最小值为 .
【答案】/
【解析】由题设,,则,
又,
∴,当且仅当时等号成立,
∴,当且仅当时等号成立.
∴的最小值为.
故答案为:.
例13.(2023·浙江宁波·高三镇海中学校考开学考试)若非负实数a,b,c的和为1,则的最小值是 .
【答案】2
【解析】由于非负实数,,的和为1,即,
根据对称性知,当时,,即取得最小值为2,
不妨设,,,,,,
则,,
此时,
利用不等式,得,
要证不等式成立,只需证明,
两边平方,化简得,由柯西不等式知该不等式成立,
所以不等式成立,当且仅当或其中一个为1、其余两个为0时等号成立.
所以的最小值为2.
故答案为:2.
考点四:齐次化与不等式最值
关于齐次化,就是将不等式最值转化为方程的实根分布,从而实现不等式与函数方程的无缝切换。
例14.(2023·陕西咸阳·高二统考期中)已知(),则的最小值是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】因为,所以,
因为,所以,
所以,
当且仅当,即,时取等号,
所以的最小值是;
故选:A
例15.(2023·重庆·高三校联考阶段练习)对于所有的正实数,都有成立,则整数的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】由题设,令,则,
所以,在上恒成立,
当,则,不满足题设;
当,对称轴为,只需,可得.
综上,,故整数的最小值为2.
故选:B
例16.(2023·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试)已知,,,则的最小值为( )
A.7B.C.D.
【答案】A
【解析】∵,,,
∴,
当且仅当,即时取得等号.
故选:A
例17.(2023·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末)已知,,,则的最小值为( )
A.4B.
C.D.
【答案】D
【解析】因为,,,
所以原式
,
当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为.
故选:D.
例18.(2023·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习)已知正数,满足,则的最小值是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】,
令,,则,,
,
当且仅当且,即,时,等号成立,
所以,故有最小值.
故选:D.
例19.(2023·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习)已知正数,满足,则的最小值是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】,
令,,则,,
,
当且仅当,即,时,等号成立,故有最小值.
故选:B
例20.(2023·山东青岛·高一统考开学考试)已知,,,则( )
A.S的最大值是B.S的最大值是
C.S的最大值是D.S的最大值是
【答案】B
【解析】∵,
令,
∵,,则,当且仅当,即时等号成立,
故,可得,
又∵在上单调递增,则,
∴,即S的最大值是.
故选:B.
考点五:复数的四则运算
1、复数运算
(1)
(2)
其中,叫z的模;是的共轭复数.
(3).
实数的全部运算律(加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则)都适用于复数.
例21.(2023·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中)已知,则( )
A.B.2C.D.
【答案】A
【解析】因为,
所以.
故选:A
例22.(2023·全国·模拟预测)( )
A.2B.C.D.
【答案】B
【解析】.
故选:B
例23.(2023·浙江·统考一模)若复数满足(为虚数单位),则( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由,
所以.
故选:A
例24.(2023·浙江杭州·高三统考期中)设复数(i为虚数单位),则( )
A.B.0C.D.2
【答案】B
【解析】因为,
所以,
所以.
故选:B.
例25.(2023·河南周口·高三校联考阶段练习)已知是虚数单位,则复数( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由题意得.
故选:D.
考点六:复数的几何意义
复数的几何意义
(1)复数对应平面内的点;
(2)复数对应平面向量;
(3)复平面内实轴上的点表示实数,除原点外虚轴上的点表示虚数,各象限内的点都表示复数.
(4)复数的模表示复平面内的点到原点的距离.
例26.(2023·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习)若复数(为虚数单位),则复数在复平面上对应的点所在的象限为( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A
【解析】在复平面上对应的点为,该点在第一象限,
故选:A.
例27.(2023·山西·校考模拟预测)已知复数满足,则复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【解析】由题意可得,
则复数在复平面内对应的点为,该点位于第二象限.
故选:B.
例28.(2023·青海西宁·高三统考开学考试)已知复数满足,则在复平面内复数对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A
【解析】因为,所以,
在复平面内复数对应的点为,位于第一象限.
故选:A.
例29.(2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模)设复数z满足条件|z|=1,那么取最大值时的复数z为( )
A.+iB.+iC.iD.i
【答案】A
【解析】复数满足条件,它是复平面上的单位圆,那么表示单位圆上的点到的距离,
要使此距离取最大值的复数,就是和连线和单位圆在第一象限的交点.
点到原点距离是2.单位圆半径是1,又,所以.
故对应的复数为.
故选:A
考点要求
考题统计
考情分析
基本不等式
2023年上海卷第6题,4分
2022年上海卷第14题,5分
2022年新高考II卷第12题,5分
2021年上海卷第16题,5分
2023年天津卷第13题,5分
【命题预测】
预测2024年高考,多以小题形式出现,不等式在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断,求取值范围问题;预测2024年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点,其中复数的除法运算、共轭复数及复数的几何意义是最可能出现的命题角度!
复数的四则运算
2023年新高考I卷第2题,5分
2023年新高考甲卷第2题,5分
2023年新高考乙卷第1题,5分
2022年新高考II卷第2题,5分
复数的几何意义
2023年新高考II卷第1题,5分
2023年上海卷第11题,5分
2022年新高考乙卷第2题,5分
已知式
目标式
方法选取
和式
积式
基本不等式
积式
和式
基本不等式
和式
和式
柯西不等式
积式
积式
柯西不等式
【二轮复习】高考数学专题10 数列不等式的放缩问题 (考点精讲)(讲义)(原卷版+解析版): 这是一份【二轮复习】高考数学专题10 数列不等式的放缩问题 (考点精讲)(讲义)(原卷版+解析版),文件包含二轮复习高考数学专题10数列不等式的放缩问题考点精讲讲义原卷版docx、二轮复习高考数学专题10数列不等式的放缩问题考点精讲讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共46页, 欢迎下载使用。
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