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【开学考】高三上册数学 开学考试卷-069
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1．已知集合，，下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
2．设i为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．B．2C．D．1
3．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，则关于该圆台下列说法错误的是（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．内切球的半径为
4．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
5．黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比值为的点．利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示，已知C，D为AB的两个黄金分割点，研究发现如下规律：．若等腰△CDE的顶角，则（ ）
A．B．C．D．
6．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）
A．将总体划分为层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为、和，且已知，则总体方差
B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于
C．若，，则事件、相互独立
D．某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为、、、、、、、，则该样本数据的第百分位数为
7．在三棱锥中，平面，且，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（ ）
A．B．C．D．
8．设函数，，若存在直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述正确的是（ ）
A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2π
B．若圆与曲线W有8个交点，则
C．与的公切线方程为
D．曲线W上的点到直线的距离的最小值为4
10．已知函数的图象关于对称，则（ ）
A．的最大值为2
B．是偶函数
C．在上单调递增
D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称
11．已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，，分别是与的离心率，且P是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．的最大值为
12．已知函数的定义域为为奇函数，则（ ）
A．函数的图象关于对称
B．函数是周期函数
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13． 的展开式中的系数为_____．（用数字作答）
14．已知向量，，，满足，且，，则与的夹角为_____．
15．已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是_____.
16．已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则_____，不等式成立的的最小值为_____．
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．记的内角的对边分别为，分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知.
(1)求的面积；
(2)若，求.
18．在直角梯形中（如图一），，，.将沿折起，使（如图二）.
(1)求证：平面平面；
(2)设为线段的中点，求点到直线的距离.
19．记为数列的前项和，已知的等差中项为.
(1)求证为等比数列；
(2)数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由.
20．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线，与轴交于点，与双曲线的一条渐近线交于点，且，.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点与轴不重合的直线交双曲线于两点，直线分别交于点，求证：.
21．某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.
(1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.
①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；
②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附：若随机变量，则；；.
22．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数的零点分别为，且，证明：．
题号
一
二
三
四
总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分
1．已知集合，，下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
2．设i为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．B．2C．D．1
3．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，则关于该圆台下列说法错误的是（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．内切球的半径为
4．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
5．黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比值为的点．利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示，已知C，D为AB的两个黄金分割点，研究发现如下规律：．若等腰△CDE的顶角，则（ ）
A．B．C．D．
6．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）
A．将总体划分为层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为、和，且已知，则总体方差
B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于
C．若，，则事件、相互独立
D．某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为、、、、、、、，则该样本数据的第百分位数为
7．在三棱锥中，平面，且，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（ ）
A．B．C．D．
8．设函数，，若存在直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述正确的是（ ）
A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2π
B．若圆与曲线W有8个交点，则
C．与的公切线方程为
D．曲线W上的点到直线的距离的最小值为4
10．已知函数的图象关于对称，则（ ）
A．的最大值为2
B．是偶函数
C．在上单调递增
D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称
11．已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，，分别是与的离心率，且P是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．的最大值为
12．已知函数的定义域为为奇函数，则（ ）
A．函数的图象关于对称
B．函数是周期函数
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13． 的展开式中的系数为_____．（用数字作答）
14．已知向量，，，满足，且，，则与的夹角为_____．
15．已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是_____.
16．已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则_____，不等式成立的的最小值为_____．
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．记的内角的对边分别为，分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知.
(1)求的面积；
(2)若，求.
18．在直角梯形中（如图一），，，.将沿折起，使（如图二）.
(1)求证：平面平面；
(2)设为线段的中点，求点到直线的距离.
19．记为数列的前项和，已知的等差中项为.
(1)求证为等比数列；
(2)数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由.
20．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线，与轴交于点，与双曲线的一条渐近线交于点，且，.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点与轴不重合的直线交双曲线于两点，直线分别交于点，求证：.
21．某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.
(1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.
①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；
②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附：若随机变量，则；；.
22．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数的零点分别为，且，证明：．
题号
一
二
三
四
总分
得分
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