河南省安阳市2024届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省安阳市2024届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足，则z的虚部为( )
A.5B.C.D.
3．若圆与x轴相切，则( )
A.1B.C.2D.4
4．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．已知所在平面内一点D满足，则的面积是的面积的( )
A.5倍B.4倍C.3倍D.2倍
6．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为( )
A.48B.32C.24D.16
7．已知函数有两个极值点p，q，若，则( )
A.B.C.D.
8．已知双曲线（，）的右焦点为F，过F且与一条渐近线平行的直线与C的右支及另一条渐近线分别交于B，D两点，若，则C的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数，则( )
A.为的一个周期B.的图象关于直线对称
C.为偶函数D.在上单调递增
10．已知正三棱台中，的面积为，的面积为，，棱的中点为M，则( )
A.该三棱台的侧面积为B.该三棱台的高为
C.平面D.二面角的余弦值为
11．甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由A，B，C三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序A，B，C的概率分别为0.5，0.3，0.2，当他负责工序A，B，C时，该项目达标的概率分别为0.6，0.8，0.7，则下列结论正确的是( )
A.该项目达标的概率为0.68
B.若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.54
C.若该项目达标，则甲负责工序A的概率为
D.若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为
12．已知抛物线的准线，直线与抛物线C交于M，N两点，P为线段的中点，则下列结论正确的是( )
A.若，则以为直径的圆与l相交
B.若，则（为坐标原点）
C.过点M，N分别作抛物线C的切线，，若，交于点A，则
D.若，则点P到直线l的距离大于等于
三、填空题
13．已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为___________.
14．已知数列中，，且，则的前12项和为___________.
15．已知正实数m，n满足，则的最大值为___________.
16．若函数在上没有零点，则实数的取值范围为___________.
四、解答题
17．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）证明：；
（2）若，求的值.
18．如图所示，在三棱锥中，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
20．为了验证某种新能源汽车电池的安全性，小王在实验室中进行了次试验，假设小王每次试验成功的概率为，且每次试验相互独立.
（1）若小王某天进行了4次试验，且，求小王这一天试验成功次数X的分布列以及期望；
（2）若恰好成功2次后停止试验，，以Y表示停止试验时试验的总次数，求.（结果用含有n的式子表示）
21．（1）求函数的极值；
（2）若，证明：当时，.
22．已知椭圆的离心率为，直线l过C的上顶点与右顶点且与圆相切.
（1）求C的方程.
（2）过C上一点作圆O的两条切线，（均不与坐标轴垂直），，与C的另一个交点分别为，.证明：
①直线，的斜率之积为定值；
②.
参考答案
1．答案：A
解析：依题意，，，所以，.
故选：A.
2．答案：B
解析：由题意可得：，
所以z的虚部为.
故选：B.
3．答案：D
解析：的圆心为，半径为，
因为圆C与x轴相切，所以且，解得
故选：D.
4．答案：B
解析：
，
显然，则，解得或.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．答案：A
解析：设的中点为M，因为，
所以，所以，
所以点D是线段的五等分点，
所以，
所以的面积是的面积的5倍.
故选：A.
6．答案：C
解析：1与4相邻，共有种排法，
两个2之间插入1个数，
共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，
则总共有种密码.
故选：C.
7．答案：D
解析：依题意，，则，
因为，所以，
显然，，两式相除得，则，
代入中，解得，则.
故选：D.
8．答案：C
解析：易知C的渐近线方程为，不妨设直线，，，
联立方程得，解得，，所以，
又，而，，得到，
解得，，故，代入中，
得，得到，又，得到，解得，
故所求C的渐近线方程为，
故选：C.
9．答案：AB
解析：因为的最小正周期，所以为的一个周期，故A正确；
因为，故B正确；
因为，不具有奇偶性，故C错误；
因为，则，且在内单调递减，
所以在上单调递减，故D错误.
故选：AB.
10．答案：BCD
解析：对于A，根据条件可得，，
分别过点、在平面内作，，垂足分别为点T、N，
因为，，，
所以，，则，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，所以，，
则，即等腰梯形的高为，
其面积为，
所以该三棱台的侧面积为，故A错误；
对于B，设的中心为O，的中心为，可知是直角梯形，
过点在平面内作，垂足为点E，
因为，，，则四边形为矩形，
因为，解得，同理可得，
所以，，，
所以，，则，
所以，，故B正确；
对于C，分别延长棱、、交于点P，
因为，，则，可得，
则，同理可得，
所以，四面体为正四面体，
延长交于点F，则，所以，，
且，即，则F为的中点，
又因为，则M为正的中心，故平面，故C正确；
对于D，二面角即正四面体相邻侧面的夹角，
因为F为的中点，为等边三角形，则，
且，
因为是边长为6的等边三角形，则，且，
故二面角的平面角为，
因为平面，平面，则，
则，故二面角的余弦值为，故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：记甲负责工序A为事件，甲负责工序B为事件，甲负责工序C为事件，该项目达标为事件N.
对于选项A，该项目达标的概率为
，故选项A正确；
对于选项B，
，故选项B错误；
对于选项C，，所选项C正确；
对于选项D，，所以选项D正确，
故选：ACD.
12．答案：BCD
解析：由题可得抛物线，设，，
对于选项A，当时，直线过C的焦点，
此时，
又的中点到准线的距离为，
则以为直径的圆与l相切，故选项A错误；
对于选项B，当时，直线，
将代入，得，则，
又易知，，
所以，故选项B正确；
对于选项C，由题可设抛物线C在点M处的切线方程为，
由，消x得到，
由，得到，
又，所以，得到，
所以C在点M处的切线方程为，整理得到，
同理可得抛物线C在点N处的切线方程为，
联立，解得，故，故选项C正确；
对于选项D，由抛物线的对称性，可知当轴时，点P到直线l的距离最小，
由，不妨取，代入，得到，
所以，点P到直线l的距离为，故选项D正确.
故选：BCD.
13．答案：/
解析：设圆锥（如图所示）的高为h.
因为，所以，母线.
将圆锥沿展开所得扇形的弧长为底面周长，根据弧长公式，
所以圆心角.
故答案为：.
14．答案：
解析：依题意，故，，
所以，，，…，
故的前12项和为.
故答案为：.
15．答案：2
解析：依题意得，
则，
即，则，
解得，则的最大值为2.当且仅当时取得最大值.
故答案为：2.
16．答案：
解析：因为，则，
令，显然，则，
令，，
则，
令，得，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，减区间为、，
且极大值为，极小值为.
当时，，当时（从左边趋于），；
当时（从右边趋于），，
当时（从右边趋于），.
由图象可知，当时，直线与曲线没有交点，
即在上没有零点.
因此，实数的取值范围是，
故答案为：.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由正弦定理及条件可得，
由余弦定理可得，化简得.
（2）由得，
化简得，又，故，
所以，故.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为，所以，
同理可得，故，
因为，平面，所以平面
因为平面，故平面平面.
（2）以C为坐标原点，，所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为
则，，，，，
所以，，.
设为平面的法向量，
则即令，得.
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，可得，又，
故数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，得到.
（2）由（1）可知，
故.
20．答案：（1）分布列见解析；期望为
（2）
解析：（1）依题意，，
则，，
，，
，
故X的分布列为：
故.
（2）方法一：设“停止试验时试验总次数不大于n”，
则，
“n次试验中，成功了0次或1次”，
“n次试验中，成功了0次”的概率；
“n次试验中，成功了1次”的概率.
所以.
方法二：事件“”表示前次试验只成功了1次，且第n次试验成功，
故，
所以，
令，
则，
两式相减得：
，
则.即.
21．答案：（1）极小值为0，无极大值
（2）证明见解析
解析：（1）依题意，，令，解得，
所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
而，故的极小值为0，无极大值.
（2）由（1）可知，当时，，则.
令，
则，易知在上单调递增.
因为，所以，，
故，使得，即①.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故②.
由①可得，，
代入②，得
，
而，故，故，即原命题得证.
22．答案：（1）
（2）①证明见解析
②证明见解析
解析：（1）设椭圆的半焦距为.
依题意，离心率，则，①.
直线，即，由题可知②.
联立①②，解得，，故C的方程为.
（2）①设过点A且与圆O相切的直线的方程为，
则，整理得，
记直线，的斜率分别为，，则，为定值.
②由①的过程可知直线，联立方程得
则有，故.
直线，同理可得.
故
，
则.
x
1
4
+
0
-
-
0
+
增
极大值
减
减
极小值
增
X
0
1
2
3
4
P