福建省部分地市2024届高三下学期第三次质量检测数学试卷(含答案)

这是一份福建省部分地市2024届高三下学期第三次质量检测数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数满足(i是虚数单位),则( )
A.-1B.1C.D.i
2．已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,,为其终边上一点,则( )
A.-4B.4C.-1D.1
3．函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
4．在菱形ABCD中,若,且在上的投影向量为,则( )
A.B.C.D.
5．已知,,,则( )
A.B.
C.D.
6．棱长为1的正方体中,点P为上的动点,O为底面ABCD的中心,则OP的最小值为( )
A.B.C.D.
7．若直线与曲线相切,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知函数在上单调递增,且对任意的实数a,在上不单调,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．双曲线的左、右焦点分别为,,且C的两条渐近线的夹角为,若(e为C的离心率),则( )
A.B.
C.D.C的一条渐近线的斜率为
10．定义在R上的函数的值域为,且,则( )
A.B.
C.D.
11．投郑一枚质地均匀的硬币三次,设随机变量.记A表示事件“”,B表示事件“”,C表示事件“”,则( )
A.B和C互为对立事件B.事件A和C不互斥
C.事件A和B相互独立D.事件B和C相互独立
三、填空题
12．的展开式中常数项为______.
13．某圆锥的体积为,其侧面展开图为半圆,则该圆雉的母线长为______.
四、双空题
14．设为数列的前n项积,若,其中常数.则______(结果用m表示);若数列为等差数列,则______.
五、解答题
15．中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且,.
(1)求B的大小;
(2)若的面积为,求BC边上中线的场.
16．如图,在三棱柱中,平面平面,,.
(1)设D为AC中点,证明:平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．从一副扑克牌中挑出4张Q和4张K,将其中2张Q和2张K装在一个不透明的袋中,剩余的2张Q和2张K放在外面.现从袋中随机抽出一张扑克牌,若抽出Q,则把它放回袋中;若抽出K,则该扑克牌不再放回,并将袋外的一张Q放入袋中.如此操作若干次,直到将袋中的K全部置换为Q.
(1)在操作2次后,袋中K的张数记为随机变量X,求X的分布列及数学期望;
(2)记事件“在操作次后,恰好将袋中的K全部置换为Q.”为,记
(i)在第1次取到Q的条件下,求总共4次操作恰好完成置换的概率;
(ii)试探究与的递推关系,并说明理由.
18．在直角坐标系xOy中,已知抛物线的焦点为F,过F的直线l与C交于M,N两点,且当l的斜率为1时,.
(1)求C的方程;
(2)设l与C的准线交于点P,直线PO与C交于点Q(异于原点).记线段MN的中点为R,若,求面积的取值范围.
19．若实数集A,B对,,均有,则称具有Bernulli型关系.
(1)判断集合,是否具有Bernulli型关系,并说明理由;
(2)设集合,,若具有Bernulli型关系,求非负实数t的取值范围;
(3)当时,证明:.
参考答案
1．答案：C
解析：,,即,故选.
2．答案：D
解析：,,,故选D.
3．答案：A
解析：结合该函数为偶函数,及可判断应选A.
4．答案：B
解析：由已知知该菱形中,
由D向AB作垂线,垂足即为AB中点,,故选B.
5．答案：B
解析：,,,,故选B.
6．答案：C
解析：在正方体中,易知,,且,平面,易知当平面,且时,OP的长度最小,在中,不难求得,故选C.
7．答案：A
解析：设切点为,则,
切线方程为,则,,设,则,易知函数,又,故可判断选A.
(由图象知当且仅当切线与曲线相切于时,最大,亦可知选A.)
8．答案：D
解析：,
在上单调递增,,,
对任意的实数a,在区间上不单调,的周期,
,,,故选D.
9．答案：ABD
解析：易知该双曲线实半轴为a,虚半轴为,半焦距为,
离心率,焦距,即,选项A正确,选项C错误;
易知C的两条渐近线的斜率为,这两条渐近线的倾斜角分别为和,
的两条渐近线的夹角为,选项B,D正确;
综上所述,应选ABD.
10．答案：ACD
解析：令,则,
函数的值域为,,选项A正确;
令,,则,
令,,则,选项B错误;
令,则,
,即,选项C正确;
,,
,故选项D正确;
综上所述,应选ACD.
11．答案：BC
解析：考查选项A,事件B和C均会出现“反,正,反”的情况,故选项A错误;考查选项B,事件A和C均会出现“反,正,反”的情况,故选项B正确;考查选项C,易知,,事件AB为前两次投出的硬币结果为“反,正”,则,
,故选项C正确;
考查选项D,由选项AC可知,,
在事件C中三次投出的硬币有一次正面,两次反面,则,
,故选项D错误;
综上所述,应选BC.
12．答案：160
解析：易知该二项展开式通项为,当时,得到常数项为160,故应填160.
13．答案：2
解析：设该圆雉的母线长为l,底面圆半径为r,根据侧面展开图为半圆得,即,又根据圆雉体积得,解得,,故应填2.
14．答案：；1或2
解析：易知,,解得,故应填;
(方法一),
若数列为等差数列,则为常数d,
①若,则恒成立,即恒成立,；
②若,则,解得
综上所述,若数列为等差数列,则,或,故应填1或2.
(方法二)为等差数列,,易知,且,
当时,,,,
由,可得,
对于任意n恒成立,
或解得或
综上所述,若数列为等差数列,则,或,故应填1或2.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1),由正弦定理,得,
,,,
,,,
,且,.
(2)依题意,
,,
,解得,
设边BC的中点为D,,
在中,由余弦定理知
,
边上中线的长为.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)为AC中点,且,
在中,有,且,
平面平面ABC,且平面平面,
平面,
平面,
,,,
,,,
由勾股定理,有,
,,
平面,
(2)如图所示,以D为原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
可得,,,
,
设平面的法向量为,
则由得
令,则,,,
由(1)可知,平面,
平面的一个法向量为,记平面与平面的夹角为,
,
平面与平面夹角的余弦值为.
17．答案：(1),分布列见解析
(2)(i)
(ii)
解析：(1)由题意X的取值可能为0,1,2,当时,即第一次取出K,第二次也取出K,
,
当时,即第一次取出Q,第二次取出K,或第一次取出K,第二次取出Q,
,
当时,即第一次取出Q,第二次也取出Q,
,
的概率分布列为
X的数学期望.
(2)(i)记事件“第1次取到Q”为B,事件“总共4次操作恰好完成置换”为C,则,
依题意,若第1次取出Q,则剩余的3次操作,须将袋中K全部置换为Q,
①若第2次亦取出Q,则第3次和第4次均须取出K,
其概率为;
①若第2次取出K,则第3次须取出Q,第4次须取出K,其概率为;
即在第1次取到Q的条件下,总共4次操作恰好完成置换的概率为.
(ii)(方法一)由题可知若事件发生,即操作次后,恰好将袋中的K全部置换为Q,
①当第1次取出Q,则剩余的次操作,须将袋中K全部置换为Q,且第次取出K,概率为
.
(方法二)由题可知若事件发生,即操作次后,恰好将袋中的K全部置换为Q,则一定有第次(最后一次)取出K,
①当第次(倒数第二次)取出Q,则须在之前的n次操作中的某一次取出K,概率为,
.
②当第次(倒数第二次)取出K,则从第1次起,直到第n次均须取出Q,概率为;
.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)不妨设l的方程为,,,联立l与C的方程,得,
,,
则,
由题可知当时,,,
的方程为.
(2)由(1)知,
将R的纵坐标代入,得,易知C的准线方程为,又l与C的准线交于点P,,则直线OP的方程为,联立OP与C的方程,得,,
Q,R的纵坐标相等,直线轴,
,
,
点Q(异于原点),,
,,
,即.
19．答案：(1)理由见解析
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)依题意,是否具有Bernulli型关系,等价于判定以下两个不等式对于
是否均成立:①,②,
,,
具有Bernulli型关系.
(2)(方法一)令,,,则,
①当时,显然有,成立;
②当时,
若,则,即,在区间上单调递减,若,则,即,若,则,即,在区间上单调递增,的最小值为,,,
成立;
③当时,
若,则,即,在区间上单调递增,若,则,即,若,则,即,在区间上单调递减,的最大值为,,,即,
当,且时,不能恒成立,
综上所述,可知若具有Bernulli型关系,则,
非负实数t的取值范围为.
(方法二)当,或时,与方法一相同;
当时,
若,,,
若,则,又,,
由方法一的结论,可知,
即,
,且,
,即即；
若集合,具有Bernulli型关系,则,
非负实数t的取值范围为为.
(3),显然,且,
由(2)中的结论：当时,,可知
当时,
,,
当时,显然成立;
当时,,
综上所述,当时,.
X
0
1
2
P