专题09 二次函数-将军饮马求最小值（对称）（教师版）-拔尖2023中考数学压轴题（全国通用）

这是一份专题09 二次函数-将军饮马求最小值（对称）（教师版）-拔尖2023中考数学压轴题（全国通用），共17页。试卷主要包含了两定点一动点，一定点两动点，两定点两动点等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc20115" 必备知识点 PAGEREF _Tc20115 \h 1
\l "_Tc31339" 考点一 两定点一动点 PAGEREF _Tc31339 \h 2
\l "_Tc21359" 考点二 一定点两动点 PAGEREF _Tc21359 \h 7
\l "_Tc1199" 考点三 两定点两动点 PAGEREF _Tc1199 \h 11
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必备知识点
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：

（2）点A、B在直线同侧：


A、A’ 是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：



（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
考点一 两定点一动点
1．如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+1过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M（3，1）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+1过B、C两点，
当x＝0时，得y＝1，
∴C（0，1），
当y＝0时，代入y＝﹣x+1，得x＝4，
∴B（4，0），
把B（4，0），C（0，1）分别代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1；
（2）设点D的坐标为（x，﹣+x+1），
则点E的坐标为（x，﹣x+1），
∴DE＝﹣+x+1﹣（﹣x+1）＝﹣+x+1+x﹣1＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1，
∵﹣＜0，
∴当x＝2时，DE有最大值，最大值为1，
此时，点D的坐标为（2，），
∵C（0，1），M（3，1），
∴点C和点M关于对称轴对称，
连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小，如图所示：
连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为（2，1），
∴CD＝＝，
∵PD+PM＝PC+PD＝CD，
∴PD+PM的最小值为．
2．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
（1）求a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；
【解答】解：（1）直线y＝﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，
∴B（0，﹣2），
当y＝0时，﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
将A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，
，
∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；
（2）如图1，当a＝时，2×﹣b＝1，
∴b＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，
∴抛物线的对称轴是：x＝1，
由对称性可得C（4，0），
要使△ABP的周长最小，只需AP+BP最小即可，
如图1，连接BC交直线x＝1于点P，
因为点A与点B关于直线x＝1对称，由对称性可知：AP+BP＝PC+BP＝BC，
此时△ABP的周长最小，所以△ABP的周长为AB+BC，
Rt△AOB中，AB＝＝＝2，
Rt△BOC中，BC＝＝＝2，
∴△ABP周长的最小值为2+2；
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（0，4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，若点E为该抛物线在第一象限内的一动点，点F在该抛物线的对称轴上，求使得△ECD面积取最大值时点E的坐标，并求出此时EF+CF的最小值；
【解答】解：（1）将A（0，8），B（﹣4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+x+8；
（2）∵y＝﹣x2+x+8＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为直线x＝2，
令y＝0，则﹣x2+x+8＝0，
∴x＝﹣4或x＝8，
∴C（8，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+4，
过点E作EH⊥x轴交CD于点H，
设E（m，﹣m2+m+8），F（2，n），则H（m，﹣m+4），
∴EH＝﹣m2+m+8+m﹣4＝﹣m2+m+4，
∴S△ECD＝×8×（﹣m2+m+4）＝﹣m2+6m+16＝﹣（m﹣3）2+25，
∴当m＝3时，S△ECD的面积有最大值25，
此时E（3，），
连接BE，交对称轴于点F，连接CF，
∵B点与C点关于对称轴x＝2对称，
∴BF＝CF，
∴CF+EF＝BF+EF≥BE，
当B、E、F三点共线时，EF+CF有最小值，最小值为BE，
∴BE＝＝；
考点二 一定点两动点
4．如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，C两点，已知点D的坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标，并写出△DMN周长的最小值；
【解答】解：（1）y＝﹣x+5，令x＝0，则y＝5，令y＝0，则x＝5，
故点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5），
则二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5，将点B坐标代入上式并解得：b＝4，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5…①；
（2）过点D分别作x轴和直线BC的对称点D′（0，﹣3）、D″，
令y＝0，则x＝﹣1或5，
故点A（﹣1，0），而OB＝OC＝2，故∠OCB＝45°，
∵∠OCB＝45°，则CD″∥x轴，则点D″（2，5），
连接D′D″交x轴、直线BC于点N、M，此时△DMN的周长最小，
将点D′、D″的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：
m＝4，n＝﹣3，故：直线D′D″的坐标代入一次函数表达式为：y＝4x﹣3，
则点M、N的坐标分别为（，）、（，0），
△DMN周长的最小值＝DM+DN+MN＝D′D″＝＝2；
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）．
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．
由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周长＝D1E+EF+D2F，
∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC垂直平分DD2，且D（﹣2，0），
∴D2（1，﹣3），
∵D，D1关于x轴对称，
∴D1（0，2），
∴D1D2＝＝＝，
∴△DEF的周长的最小值为．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为．点C为线段AO上一动点，过点C作直线CD⊥x轴交AB于点D，交抛物线于点E．
（1）当DE＝2时，求四边形CAEB的面积；
（2）若直线CE移动到抛物线的对称轴位置，点P、Q分别为直线CE和x轴上的一动点，求△BPQ周长的最小值；
【解答】解：（1）设点C的横坐标为m，
由CD⊥x轴得：xE＝xD＝m．
则有yE＝﹣m2﹣m+2，yD＝m+2．
则DE＝yE﹣yD＝（﹣m2﹣m+2）﹣（m+2）＝2．
解得：m1＝m2＝﹣2．
则yE＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝3．
由x+2＝0得x＝﹣4，则A（﹣4，0），OA＝4．
则S四边形CAEB＝S△ACE+S△BCE
＝CE•AO＝×3×4＝6．
（2）过点B作CE的对称点B′，作x轴的对称点B″，连接PB′、QB″、B′B″，如图2，
则点B′必在抛物线上，且yB′＝yB，OB″＝OB，PB′＝PB，QB″＝QB．
则△BPQ的周长＝PB+PQ+QB＝PB′+PQ+QB″．
根据“两点之间线段最短”可得：
当B′、P、Q、B″共线时，△BPQ的周长最小，最小值等于B′B″的长．
当x＝0时，y＝×0+2＝2，则点B（0，2）．
则有OB″＝2．
解方程﹣x2﹣x+2＝2得：x1＝0，x2＝﹣3．
则点B′的坐标为（﹣3，2）．
在Rt△BB′B″中，
∵∠B′BB″＝90°，BB′＝3，BB″＝2+2＝4，
∴B′B″＝5．
∴△BPQ的周长的最小值为5．
考点三 两定点两动点
7．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G，H的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线顶点为（1，4）
∴设顶点式y＝a（x﹣1）2+4
∵点B（3，0）在抛物线上
∴a（3﹣1）2+4＝0
解得：a＝﹣1
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3
（2）x轴上存在点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小．
如图，作点F关于x轴对称的对称点F'，连接EF'
∵x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3
∴D（0，3）
∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0
解得：x1＝﹣1，x2＝3
∴A（﹣1，0）
∵点E在抛物线上且横坐标为2
∴yE＝﹣22+2×2+3＝3
∴E（2，3）
∴点D、E关于对称轴对称
∴DG＝EG
设直线AE解析式为y＝kx+e
∴ 解得：
∴直线AE：y＝x+1
∴F（0，1）
∴F'（0，﹣1），HF＝HF'，DF＝3﹣1＝2
∴C四边形DGHF＝DF+DG+GH+FH＝DF+EG+GH+F'H
∴当点E、G、H、F'在同一直线上时，C四边形DGHF＝DF+EF'最小
∵EF'＝
∴C四边形DGHF＝2+2
设直线EF'解析式为y＝mx﹣1
∴2m﹣1＝3
∴m＝2
∴直线EF'：y＝2x﹣1
当y＝0时，解得x＝
∴H（，0）
当x＝1时，y＝2﹣1＝1
∴G（1，1）
∴四边形DGHF周长最小值为2+2，点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）．
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D（1，4），交x轴于A、B两点，且经过点C（2，3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，M为线段O、B之间一动点，N为y轴正半轴上一动点，是否存在使M、C、D、N四点围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及M、N的坐标；若不存在，请说明理由；
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将C（2，3）代入，解得：a＝﹣1
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）作D（1，4）关于y轴对称点G（﹣1，4），
C（2，3）关于x轴对称点H（2，﹣3），
∵CD是一个定值，∴要使四边形MCDN的周长最小，
只要使DN+MN+MC最小即可
由图形的对称性，可知，
DN+MN+MC＝GN+NM+HM，
只有当GH为一条直线段时，
可求得：CD＝，GH＝，
∴四边形MCDN的周长最小为+，
此时直线GH为y＝﹣x+，
∴点N（0，），点M（，0）．
9．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC、CE分别交于点F、G．试探究当点H运动到何处时，线段HF的最长，求点H的坐标；
（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴、y轴上分别找点P、Q，使四边形PQKM的周长最小，请求出点P、Q的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣5上，
解得
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5．
（2）令x＝0，y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
解得
∴直线BC的解析式为y＝x﹣5，
设点H的坐标为（t，t2﹣4t﹣5），则点F（t，t﹣5），
∴HF＝t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，HF最大，最大值为，
∴H（，﹣）．
（3）如图1所示，
∵K为抛物线的顶点，
∴K（2，﹣9），
∴K关于y轴的对称点K′（﹣2，﹣9），
∵M（4，m）在抛物线上，
∴M（4，﹣5），
∴点M关于x轴的对称点M′（4，5），
设直线K′M′的解析式为y＝mx+n，
解得
∴直线K′M′的解析式为y＝x﹣，
∴P（，0），Q（0，﹣）．