天津市九校2024届高三下学期4月联合模拟考试（一）数学试卷(含答案)

这是一份天津市九校2024届高三下学期4月联合模拟考试（一）数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知全集，集合，，则( )
A.B.C.D.
2．设p：，q：，则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．函数的图象大致是( )
A.B.
C.D.
4．已知，，则( )
A.25B.5C.D.
5．设，，，则a，b，c的大小关系是( )
A.B.C.D.
6．利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得.
参照附表，可得正确的结论是( )
A.有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
B.有99%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
C.有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”
D.有99%把握认为“写作水平与喜好阅读无关”
7．如图，在正四棱柱中，P是侧棱上一点，且.设三棱锥的体积为，正四棱柱的体积为V，则的值为( )
A.B.C.D.
8．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标，则双曲线的焦距为( )
A.B.C.D.
9．将函数的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，有下述四个结论：
①
②函数在上单调递增
③点是函数图像的一个对称中心
④当时，函数的最大值为2
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②③B.②③C.①③④D.②④
二、填空题
10．设，则______.
11．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为______.
12．圆与圆的公共弦所在的直线方程为______.
13．函数，关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是__________.
三、双空题
14．某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为______；取出的3件产品中次品的件数x的期望是______.
15．在梯形中，，且，M，N分别为线段和的中点，若，，用，表示__________.若，则余弦值的最小值为__________.
四、解答题
16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，.
（1）求a的值；
（2）求的值.
17．如图,边长为2的等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,,M为BC的中点.
（1）证明：;
（2）求平面PAM与平面ABCD的夹角的大小;
（3）求点D到平面AMP的距离.
18．已知为等差数列，记，分别为数列，的前n项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，.
19．已知椭圆C：（）的长轴长为4，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左焦点为F，右顶点为G，过点G的直线与y轴正半轴交于点S，与椭圆交于点H，且轴，过点S的另一直线与椭圆交于M，N两点，若，求直线的方程.
20．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围；
（3）设，证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：，则.
故选：A.
2．答案：B
解析：因函数在R上单调递增，即有，则命题q：，
而命题p：，显然，，且，
所以p是q的必要不充分条件.
故选：B.
3．答案：D
解析：因为，所以.
所以函数是奇函数，排除选项A，C.
因，，所以排除选项B.
故选:D.
4．答案：C
解析：因为，，即，所以.
故选：C.
5．答案：C
解析：，，.
故选：C.
6．答案：A
解析：由题意及表格知，观测值，所以有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”.
故选：A.
7．答案：C
解析：在正四棱柱中，P是侧棱上一点，
则，
所以的值为.
故选：C.
8．答案：D
解析：因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标，所以抛物线的准线方程为，从而抛物线的焦点坐标为，
因为双曲线的左顶点为，所以，解得，
所以双曲线的左顶点为，
又因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标，
所以，即，
所以，
双曲线的焦距为，
故选：D.
9．答案：B
解析：由题意可得：，故①错误；
因，则，且在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故②正确；
因为，
所以点是函数图像的一个对称中心，故③正确；
因为，则，
所以当，即时，函数的最大值为，故④错误；
故选：B.
10．答案：1
解析：由复数的运算法则有：，
则：.
11．答案：80
解析：由题意，令，则，解得，
则的展开式第项，
令，解得，所以.
故答案为：80.
12．答案：
解析：联立，两式相减得.
故答案为：.
13．答案：或
解析：有2个不相等的实数根，即函数与直线的图象有2个交点，
当时，函数与直线的图象有2个交点，符合题意；
当时，由是函数与直线的图象的1个交点，
只需函数与直线有1个交点即可，
当直线与函数相切时，
设切点为，可得，且，，
可得，
因为与的图象只有1个交点，
可得是的解，
所以时直线与的图象有2个交点，符合题意；
当时，由，可得，
要使与的图象有2个交点，
只需在只有一解即可，
可得，解得，
综上所述，实数a的取值范围是或.
14．答案：；
解析：（1）从10件产品中，抽取3件，有种可能；
若取出的3件中恰有1件是次品，有种可能；
故满足题意的概率.
（2）根据题意，，1，2，
；；，
故.
故答案为：；.
15．答案：；
解析：如图，由已知，
.
.
设，即与的夹角为，
，
若，则，
，
又，，由基本不等式，
.
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：，.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，知，
由正、余弦定理得.
，，，则.
（2）由余弦定理得，
，，
故，，
.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）证明：等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,
以D点为原点,分别以直线DA,DC为x轴、y轴,过D作平面ABCD的垂线为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
依题意,可得,,,,,
,,
,
即,.
（2）设为平面PAM的法向量,
则,即,
取,得,
取,显然为平面ABCD的一个法向量,
,
故平面PAM与平面ABCD的夹角的大小为.
（3）设点D到平面AMP的距离为d,
由（2）可知与平面PAM垂直,
则,
即点D到平面AMP的距离为
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设等差数列的公差为d.
因为
所以，，.
因为，，
所以
解得
所以的通项公式为.
（2）由（1）知，
所以.
当n为奇数时，.
当时，，
所以.
当n为偶数时，.
当时，，
所以.
综上，当时，.
19．答案：（1）
（2），
解析：（1）根据题意可得，
解得，，，
所以椭圆C的方程为.
（2）由（1）知，，
因为轴，所以，
因为S在y轴的正半轴，所以H在x轴上方，
因为点H在椭圆上，所以，解得，
所以，即，
因为，即，解得，
所以，所以，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，，
联立，，
所以①，②，
因为，
所以，
所以，所以，
所以，
所以，
即③，
由①②③，解得，
所以直线的方程为，，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，不合题意.
综上可得，直线的方程为，.
20．答案：（1）的减区间为，增区间为.
（2）
（3）见解析
解析：（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
（2）设，则，
又，设，
则，
若，则，
因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾.
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立.
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，
所以.
当时，有，
所以在上为减函数，所以.
综上，.
（3）取，则，总有成立，
令，则，，，
故即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，
整理得到：，
故，
故不等式成立.
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635