广东省广州市番禺区金海岸实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，单选题，每小题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查最简二次根式的定义，化为最简二次根式，逐一将各项二次根式化到最简，即可判定．
【详解】解：A选项，，不是最简二次根式；
B选项，是最简二次根式；
C选项，，不是最简二次根式；
D选项，，不是最简二次根式；
故选：B．
2. 以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，关键是找出每个选项中的两个较小的数，求他们的平方和．找出每个选项中的两个较小的数，求他们的平方和，再求这组数据中最大数的平方，比较两个数是否相等，若相等，就能构成直角三角形，不相等就不能构成直角三角形．
详解】解：A．，能构成直角三角形，符合题意；
B．，不能构成直角三角形，不符合题意；
C．，不能构成直角三角形，不符合题意；
D．，不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：A．
3. 函数的自变量取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件列式求出答案即可．
【详解】解：由题意得，x-1≥0，且x-2≠0，
解得且，
故选：D．
【点睛】此题考查了求函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式有意义的条件及分式有意义的条件是解题的关键．
4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形一定是平行四边形
B. 对角线相等的四边形一定是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D. 对角线相等的四边形一定是正方形
【答案】A
【解析】
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以D选项为假命题．故选A．
考点： 命题与定理．
5. 在下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案．
【详解】解：A、AB＝BC，AD＝DC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
B、AB∥CD，AD＝BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
C、AB∥CD，AB＝CD能判定四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故此选项正确；
D、∠A＝∠B，∠C＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
6. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别为9、25、4、9，则最大正方形的面积是（ ）

A. 13B. 26C. 34D. 47
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键．据勾股定理的含义，可得正方形A的面积与正方形B的面积之和等于正方形F的面积，正方形C的面积与正方形D的面积之和等于正方形G的面积，正方形F的面积与正方形G的面积之和等于正方形E的面积，即可求得正方形E的面积．
【详解】解：如图，标注正方形F和正方形G，

由勾股定理得：
正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积
即
同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积
即
∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积
即正方形E的面积为
故选：D．
7. 如图，中，为中点，在上，且．若，，则的长度是（ ）

A. 5B. C. 6D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出长，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：，
，
，为中点，
，
，
由勾股定理得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线和勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
8. 如图，每个小正方形的边长为1，是小正方形的顶点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．
在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，证明出是等腰直角三角形，继而可得出的度数．
【详解】解：如图，连接．
根据勾股定理可以得到：，，
，即，
∴，
是等腰直角三角形．
．
故选：B．
9. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )
A. 3B. 4
C 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8﹣3=5，
在Rt△CEF中，CF==4，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，
即（x+4）2=x2+82，
解得x=6，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式求解．
10. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得∠ACD=45°，∠FCG=45°，AC=，CF=3，则∠ACF=90°，再利用勾股定理计算出AF=2，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长．
【详解】连接AC、CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴∠ACD=45°，FCG=45°，AC=BC=，CF=CE=3，
∴∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△ACF中，AF=，
∵H是AF的中点，
∴CH=AF= ．
故选A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
故答案：．
12. 若直角三角形的两边长为和，则第三边长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，分为直角边和斜边两种情况，利用勾股定理解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：当是直角边时，第三边长；
当是斜边时，第三边长；
∴第三边长为或，
故答案为：或．
13. 菱形两对角线长分别为24和10，则该菱形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是菱形的性质，熟记菱形的面积公式是解本题的关键，已知菱形的两条对角线的长，即可计算菱形的面积，
【详解】解：∵菱形两对角线长分别为24和10，
菱形的面积为．
故答案为：
14. 如图，矩形ABCD中，AE平分交BC于点E，连接DE，若，，则AD的长是________．
【答案】7
【解析】
【分析】由矩形的性质和根据勾股定理可求出EC＝4，再证明BE＝AB＝3，即可求出BC的长，进而可求出AD的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD，ADBC，AD＝BC，
∵ED＝5，CD＝3，
∴EC2＝DE2−CD2＝25−9＝16，
∴CE＝4，
∵ADBC，
∴∠AEB＝∠DAE；
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝CD＝3，
∴BC＝BE＋EC＝7，
∴AD＝7，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识；解题的关键是灵活运用矩形的性质和等腰三角形的判定．
15. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查的是化简绝对值，二次根式的性质，先判断，，再化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：1
16. 如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=___度．

【答案】135
【解析】
【详解】试题分析：如图，连接EE′，
∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3，
∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1．
∴EE′=2，∠BE′E=45°．
∵E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9．∴E′E2+E′C2=EC2．
∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°．∴∠BE′C=135°．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简和混合运算以及零指数幂；
（1）根据二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂和平方差公式进行化简，再合并同类二次根式即可．
（2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
18. 画数轴，并在数轴上找出表示的点，其中数轴单位长度为．（保留作图痕迹，无须写过程）
【答案】作图见解析
【解析】
【分析】本题考查在数轴上表示无理数、勾股定理，解答的关键是如何根据勾股定理正确选取线段长构造直角三角形．由，作出1和2为直角边的直角三角形，则斜边长为，进而可作出点P．
【详解】解：如图，即为所求，
由勾股定理可得：，
∴表示的数为．
19. 如图，在□ABCD中， E、F分别是边AB，DC上的点，DE⊥AB，BF⊥CD．求证：BE＝DF．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质，DE⊥AB，BF⊥CD证明四边形BFDE为矩形，即可得证结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ABCD
∴∠CDE+∠DEB=180°
∵ DE⊥AB，BF⊥CD
∴∠DEB=∠DFB =∠CDE =90°
∴四边形BFDE为矩形
∴BE=DF
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质等知识，关键在于熟练掌握这些知识．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键，先计算括号内的分式的加法运算，再计算除法运算，最后把代入，分母有理化即可．
【详解】解：
；
∵，
∴原式；
21. 如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．
（1）求证：四边形DECF是平行四边形．
（2）当AC、BC满足何条件时，四边形DECF为菱形？
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；
【解析】
【分析】（1）先由中位线定理得到DE∥CF，DF∥EC，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行平行四边形的判定．
（2）由（1）可知四边形DECF是平行四边形，利用平行四边形的性质得出AC＝BC，DE＝DF，即可解答
【详解】（1）证明：D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．
所以，DE∥CF，DF∥EC，
所以，四边形DECF是平行四边形．
（2）当AC＝BC时，四边形DECF为菱形，
因为DE＝AC，DF＝BC，
由AC＝BC，得DE＝DF，
所以，平行四边形DECF为菱形．
【点睛】此题考查平行四边形的判定，三角形中位线定理，解题关键在于得到DE∥CF，DF∥EC
22. 如图所示，和都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点，求证：

（1）．
（2）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由题意易证．再根据等腰三角形的定义得出，，即可证；
（2）由全等三角形的性质可得，，从而可证，进而由勾股定理即可得证．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，即．
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴．
∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形全等的判定和性质，勾股定理．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．
23. 如图，点分别是和的中点，若，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】四边形是矩形，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了中点四边形、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握中点四边形和三角形中位线定理是解题的关键．根据中位线的性质可得，则，，证出四边形是平行四边形，证，则，即可得出结论．
【详解】解：∵点E、F、G、H分别为四边形的边、、、的中点，∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
24. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的若干分内既进水又出水，之后只出水不进水．每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：升）与时间（单位：分）之间的关系如图．
（1）当时间分钟时，水量______升（直接写出答案）；
（2）当时间分钟时，水量______升（直接写出答案）；
（3）根据图象，求出的值，并求出容器中水量的最大值．
【答案】（1）10 （2）23.75
（3）15，33.75
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，求两个函数图像的交点问题，读懂题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）这一阶段的函数图像为正比例函数图像，用待定系数法求出函数解析式，再代入即可求解；
（2）这一阶段的函数图像为一次函数图像，用待定系数法求出函数解析式，再代入即可求解；
（3）求出只放水阶段对应函数解析式，联立这一阶段的函数解析式，解方程组即可求解．
【小问1详解】
解：设这一阶段对应的函数解析式为：，
代入得：，
解得：，
∴解析式为：，
∴当时，升，
故答案为：10．
【小问2详解】
解：设这一阶段对应的函数解析式为：，
代入，得：，
解得：，
∴解析式为：，
∴当时，，
故答案为：23.75．
【小问3详解】
解：由（1）得进水速度为5升/分钟，则出水速度为升/分钟，
∴设只放水阶段对应的函数解析式为：，
代入得：，
解得：，
∴解析式为：，
∴联立得：，解得，
∴，最大值为33.75．
25. 如图，在矩形中，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点的速度都是每秒1个单位，连接．设点运动的时间为秒

（1）当为何值时，四边形是矩形；
（2）当时，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）当为何值时，；
（4）整个运动当中，直接写出线段扫过的面积是多少？
【答案】（1）
（2）菱形 （3）或
（4）64
【解析】
【分析】（1）由矩形性质得出，，由已知可得，，，当时，四边形为矩形，得出方程，解方程即可；
（2）时，，，得出，，，，则四边形为平行四边形，在中，由勾股定理求出，得出，即可得出结论；
（3）过点P作，垂足为点E，用t的代数式表示出，而，在中运用勾股定理建立方程，解方程即可；
（4）连接、，、相交于点，线段扫过的面积的面积的面积，即可得出结果．
【小问1详解】
解：在矩形中，，，
，，
由已知可得，，，
在矩形中，，，
当时，四边形为矩形，
，
解得：，
当时，四边形为矩形；
【小问2详解】
解：四边形为菱形；理由如下：
，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
，
平行四边形为菱形，
当时，四边形为菱形；
【小问3详解】
解：过点P作，垂足为点E，
∴
+
∵四边形为矩形，
∴ ，
∴四边形为矩形，
∴，，
则，
∴在中，由
得：，
解得：或，
∴当或，．
【小问4详解】
解：连接、，、相交于点，如图3所示，

当点Q在点B时，点P在点D处，当点Q运动到点C时，则点P运动到点A处，
∴则整个运动当中，线段扫过面积是：的面积的面积，如图3所示：
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
∴的面积的面积矩形的面积，
整个运动当中，线段扫过的面积矩形的面积．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定、三角形面积公式以及分类讨论等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题关键．