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    (高考新构架19题)浙江省五校联盟2024届高三下学期3月联考数学(含答案)

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    这是一份(高考新构架19题)浙江省五校联盟2024届高三下学期3月联考数学(含答案),共11页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    命题:浙江省杭州第二中学
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
    1.若全集,集合A,B及其关系如图所示,则图中阴影部分表示的集合是( )
    A.B.C.D.
    2.已知,且,则与的夹角的余弦值为( )
    A.B.C.D.
    3.设b,c表示两条直线,表示两个平面,则下列说法中正确的是( )
    A.若,则B.若,则
    C.若,则D.若,则
    4.已知角的终边过点,则( )
    A.B.C.D.
    5.设等比数列的公比为,前项和为,则“”是“为等比数列”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    6.已知实数x,y满足,且,则的最小值为( )
    A.B.8C.D.
    7.已知双曲线的左、右焦点分别为,点为双曲线的左顶点,以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q两点,且,则该双曲线的离心率为( )
    A.B.C.D.
    8.在等边三角形ABC的三边上各取一点D,E,F,满足,则三角形ABC的面积的最大值是( )
    A.B.C.D.
    二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9.在学校组织的《青春如火,初心如炬》主题演讲比赛中,有8位评委对每位选手进行评分(评分互不相同),将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分,则下列说法中正确的是( )
    A.剩下评分的平均值变大B.剩下评分的极差变小
    C.剩下评分的方差变小D.剩下评分的中位数变大
    10.在三棱锥中,已知,点M,N分别是AD,BC的中点,则( )
    A.MN⊥ADB.异面直线AN,CM所成的角的余弦值是
    C.三棱锥的体积为D.三棱锥的外接球的表面积为
    11.已知函数,则( )
    A.的零点为
    B.的单调递增区间为
    C.当时,若恒成立,则
    D.当时,过点作的图象的所有切线,则所有切点的横坐标之和为
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.直线的一个方向向量是 .
    13.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军,比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为 .
    14.已知函数及其导函数的定义域均为,记,若均为偶函数,且当时,,则 .
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.(本小题满分13分)如图,斜三棱柱的底面是直角三角形,,点在底面ABC内的射影恰好是BC的中点,且.
    (I)求证:平面平面;
    (II)若斜棱柱的高为,求平面与平面夹角的余弦值.
    16.(本小题满分15分)己知函数,其中.
    (I)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等,求的值;
    (II)是否存在实数,使得在上的最大值是-3?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
    17.(本小题满分15分)记复数的一个构造:从数集中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复次这样的构造,可得到个复数,将它们的乘积记为.
    已知复数具有运算性质:,其中.
    (I)当时,记的取值为,求的分布列;
    (II)当时,求满足的概率;
    (III)求的概率.
    18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中,我们把点称为自然点.按如图所示的规则,将每个自然点进行赋值记为,例如,.
    (I)求;
    (II)求证:;
    (III)如果满足方程,求的值.
    19.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中,过点的直线与抛物线交于M,N两点在第一象限).
    (I)当时,求直线的方程;
    (II)若三角形OMN的外接圆与曲线交于点(异于点O,M,N),
    (i)证明:△MND的重心的纵坐标为定值,并求出此定值;
    (ii)求凸四边形OMDN的面积的取值范围.
    参考答案
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
    二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.(答案不唯一)13.14.-6
    四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.(本小题满分13分)(第I问,6分;第II问,7分)
    解:(I)取BC中点为,连接在底面内的射影恰好是BC中点,
    平面ABC,又平面,
    又,
    平面平面,
    又平面平面平面.
    (II)以为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,,
    ,
    ,
    设平面的法向量为,
    则有,令,则,
    设平面的法向量为,
    则有,令则,
    ,
    平面与平面夹角的余弦值为.
    16.(本小题满分15分)(第I问,6分;第II问,9分)
    (I),则,
    故曲线在处的切线为,
    即,
    当时,此时切线为,不符合要求
    当时,令,有,
    令,有,故,即,故
    (II),
    ①当时,在上单调递增,
    的最大值是,解得,舍去;
    ②当时,由,得,
    当,即时,时,时,,
    的单调递增区间是,单调递减区间是,
    又在上的最大值为;
    当,即时,在上单调递增,,
    解得,舍去.综上,存在符合题意,此时
    17.(本小题满分15分)(第I问,6分;第II问,4分;第III问,5分)
    (I)由题意可知,可构成的复数为,
    的可能取值为,


    所以分布列为:
    (II)共有种,
    满足的情况有:
    ①3个复数的模长均为1,共有种;
    ②3个复数中,2个模长均为1,1个模长为或者2,共有种;
    所以.
    (III)当或2时,显然都满足,此时;
    当时,满足共有三种情况:
    ①个复数的模长均为1,则共有;
    ②个复数的模长为1,剩余1个模长为或者2,则共有;
    ③个复数的模长为1,剩余2个模长为或者2,则共有.
    故,
    此时当均成立.
    所以.
    18.(本小题满分17分)(第I问,4分;第II问,7分;第III问,6分)
    解:(I)根据图形可知,
    (II)固定,则为一个高阶等差数列,且满足
    所以
    所以,,所以
    P(x+1,y-1)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1,y+1)=2024
    等价于,
    等价于
    即,
    化简得,
    由于增大,也增大,
    当时,,
    当时,,
    故当时,,即
    19.(本小题满分17分)(第I问,4分;第II问,5分;第III问,8分)
    解:(I)设直线
    联立,消去,得,
    所以,
    ,则
    ,则,又由题意,
    直线的方程是;
    (II)(i)方法1:设
    因为O,M,D,N四点共圆,设该圆的方程为,
    联立,消去,得,
    即,
    所以即为关于的方程的3个根,
    则,
    因为,
    由的系数对应相等得,,所以的重心的纵坐标为0.
    方法2:设,则,
    因为O,M,C,N四点共圆,所以,即,
    化简可得:,
    所以的重心的纵坐标为0.
    (ii)记的面积分别为,由已知得直线MN的斜率不为0设直线,联立,消去,得,所以,
    所以,
    由(i)得,,
    所以,即,
    因为,
    点到直线MN的距离,
    所以,
    所以
    在第一象限,即,
    依次连接O,M,D,N构成凸四边形OMDN,所以,即,
    又因为,即,即,
    所以,即,即,
    所以,
    设,则,
    令,则,
    因为,所以,所以在区间上单调递增,所以,
    所以的取值范围为.
    题号
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    答案
    C
    B
    D
    B
    C
    A
    C
    A
    题号
    9
    10
    11
    答案
    BC
    ABD
    ACD
    X
    1
    2
    3
    4
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