福建省漳州市乙级学校联盟2023-2024年高一下学期期中质量检测数学试卷

这是一份福建省漳州市乙级学校联盟2023-2024年高一下学期期中质量检测数学试卷，共18页。试卷主要包含了在中角对边满足的面积为6，则等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的准考证号､姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足，则对应的点位于复平面内的（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量，若，则（ ）
A. B. C.10 D.-10
3.在中，为中点，，则（ ）
A.1 B. C. D.
4.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.在方向上的投影向量为
5.如图，正三棱锥中，，侧棱长为4，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（ ）
A. B.4 C. D.2
6.已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
7.在中角对边满足的面积为6，则（ ）
A.4 B. C.6 D.6或
8.如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.的最小值为
C. D.
10.中，角所对的边为下列叙述正确的是（ ）
A.若，则一定是锐角三角形
B.若，则一定是等边三角形
C.若，则
D.若，则
11.如图，在直三棱柱中，分别为的中点，过点作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（
A.三棱柱外接球的表面积为
B.
C.若交于，则
D.将三棱柱分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量与的夹角为，则等于__________.
13.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上､下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为__________.
14.已知球为三棱锥的外接球，球的体积为，正三角形的外接圆半径为，则三棱锥的体积的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知复数，且为纯虚数.
（1）求复数
（2）若复数，求复数的模.
16.（15分）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若正方体棱长为1，过三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积.
17.（15分）在三角形中，为线段上任意一点，交于.
（1）若.①用表示；②若，求的值；
（2）若，求的最小值.
18.（17分）在海岸处，发现北偏东方向，距离处的处有一艘走私船，在处北偏西的方向，距离处的处的缉私船奉命以的速度追截走私船.此时，走私船正以的速度从处向北偏东方向逃窜.
（1）求线段的长度；
（2）求的大小；
（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？最快需要多长时间？（参考数值：）
19.（17分）在中，角所对的边分别是.且.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围；
（3）若为中点，为线段上一点，且满足.求的值，并求此时的面积.
2023-2024学年第二学期漳州市乙级联盟校
高一期中质量检测数学参考答案
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
13.193
选择填空详细解析：
1.【详解】，
则对应的点位于复平面内的第四象限.故选：D.
2.【详解】向量，由，得，所以.故选：C
3.【详解】解：，故.故选.
4.【详解】由正八边形可知，，对，
，故A错误；
对，由，可得，
由平行四边形法则，可得，故错误；
对C，因为，所以，故C错误；
对D，因为，所以在上的投影为，投影向量为，故D正确.故选D.
5.【详解】将正三棱锥沿剪开，得到侧面展开图，如图所示，
因为，即，
由的周长为，
要使的周长的最小，则共线，即，
又由正三棱锥侧棱长为是等边三角形，
所以，即虫子爬行的最短距离是4.
故选：B.
6.【详解】因为，取的中点为坐标原点，以为建立坐标系如图，
因为斜二测直观图为矩形，
则，
可得原图中（如图），，
，
四边形的面积为.
故选：D.
7.【详解】
可得，
的面积为，
，
，
由余弦定理，可得：
解得：
故选B.
8.【详解】如图，取中点中点，连接，则，又平面平面，所以平面，同理平面平面，所以平面，因为，所以平面平面，因为是侧
面内一点，当点在线段上时，能够满足平面，因为正方体棱长为2，
由勾股定理得：，故点落在中点时，长度最小，此时，当点与或重合时，长度最大，此时，综上：线段长度的取值范围是.
故选：B
9.【详解】如图所示，因为，即，所以，
又因为，
所以，
因为三点共线，则，所以.即当且仅当时，等号成立.
所以，.当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
故选：BC.
10.【详解】对于A选项，中，，又，所以角为锐角，但题中没有告诉最大，所以不一定是锐角三角形，故A选项错误；对于选项，利用正弦定理得，
整理得，即一定是等边三角形，故B选项正确；
对于选项，因为，所以，故选项正确；
对于选项，，由余弦定理可得，
又因为，所
以，取特殊值当时，，在三角形中可得角，即角可以大于，故D选项不正确.
故选：BC.
11.【详解】如图所示：
将该三棱柱视为正方体的一部分，
则三棱柱外接球的半径，
其表面积为故正确；
延长与交于点，连接交于，连接，则平面即为截面，
因为是中点，所以是的中点，
由与相似，得，得，
而是的中点，所以与不平行且必相交，
所以与截面不平行，故错误；
因为，又，
所以在Rt中，则，故C正确；
延长交的反向延长线于点，易知与全等，则，
则将三棱柱分成体积较大部分的体积为：
，
所以较小部分的体积为，所以体积之比为，故D正确.
故选：ACD.
12.【详解】由，得，又，
所以，
所以，所以，
13.【详解】由题意可知，该四棱台的上､下底面边长分别为.故该香料收纳罐的容积为
14.【详解】设外接圆的圆心为，
因为正三角形的外接圆半径为，即，
由正弦定理，得，
所以，
要使三棱锥的体积最大，则平面，且球心在线段上，
因为球的体积为，所以球的半径为.
在Rt中，由勾股定理得，
所以三棱锥体积的最大值.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.【详解】（1）由题意得，
是纯虚数，
，
，
（2）
.
16.【详解】（1）证明：连接，由为的中位线，可得，
由平平面平面，
可得平面；
（2）由为的中位线，可得，
因为平面平面，
可得平面，
又由（1）可得平面，
平面平面，
可得平面平面；
（3）取的中点，连接，
易得，
取的中点，连接，
易得，
可得截面为平行四边形，且，
所以截面的面积为.
17.【详解】（1）①因为，所以，
故在中，
②方法一：因为三点共线，设，
所以，
因为，所以，所以
又由①及已知，，所以，
解得
方法二：
，
因为三点共线，所以，所以
（2）方法一：因为，又三点共线，设，所以，又因为，所以，
所以，即
所以
当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为.
方法二：
因为，所以，
所以
因为三点共线，
所以，
即，即
所以
当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为.
18.【详解】（1）在中，，
由余弦定理，得
，
所以，.
（2）方法一：在中，由正弦定理，得，
所以，.
又，
.
方法二：在中，由余弦定理，得
又，
.
（3）方法一：设缉私船用在处追上走私船，如图，
则有.
在中，
又，
在中，由正弦定理，得
.
因为
，
所以角度为北偏东，即绢私船沿北偏东方向能最快追上走私船.
又，故，解得，即最快需要.
方法二：设缉私船用在处追上走私船，如图，
则有.
在中，
又，
在中，由余弦定理，得
即
整理得，
即
解得
即最快需要.
所以.
由正弦定理得
因为
，
所以角度为北偏东，即缉私船沿北偏东方向能最快追上走私船.
19.【详解】（1）方法一：由正弦定理及，得，
即，
化简得
故.
又，故.
方法二：由余弦定理及，得，
由正弦定理得，
由正弦定理得
即
又，故.
（2）由（1）知，，
故
又，则，
故.
（3），
为中点，，
，
设，则，
，
，
在直角中，，
当时，的面积为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
D
C
B
D
B
D
B
B
题号
9
10
11
选项
BC
BC
ACD