2024年中考数学专项复习训练：四边形综合问题

这是一份2024年中考数学专项复习训练：四边形综合问题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. (2023•安徽模拟)如图,点E,F分别为正方形ABCD的边AB,BC的中点,AF,BE相交于G,则的值为( )
A.B.C.D.
2. (2023·湖北襄阳)如图,▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O,下列说法正确的是( )
A.若OB＝OD,则▱ABCD是菱形B.若AC＝BD,则▱ABCD是菱形
C.若OA＝OD,则▱ABCD是菱形D.若AC⊥BD,则▱ABCD是菱形
3. (2023·湖北襄阳·统考一模)如图,在平行四边形ABCD中,M、N是BD上两点,BM=DN,连接AM、MC、CN、NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是( )
A.OM=ACB.MB=MO C.BD⊥ACD.∠AMB=∠CND
4. (2023•安丘市一模)如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC＝60°,E是AD边的中点,点P是对角线BD上的动点,当AP+PE的值最小时,PD的长是( )

A.B.2C.D.
5. (2023•太原二模)如图,在矩形纸片ABCD中,AD＝9,AB＝7,点F是C上一点,点E在AD上,将矩形纸片沿直线EF折叠,点A落在点A′处.点B恰好落在边CD上的点B′处,A′B′交AD于点G,若CB′＝3,则四边形EFB′G的面积等于( )

A.B.C.D.
6. (2023·湖北荆州)如图,已知矩形ABCD的边长分别为a,b,进行如下操作:第一次,顺次连接矩形ABCD各边的中点,得到四边形A1B1C1D1;第二次,顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点,得到四边形A2B2C2D2;…如此反复操作下去,则第n次操作后,得到四边形AnBnCnDn的面积是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共30分）
7.(2023南岗)在矩形ABCD中,作∠B的平分线交直线AD于点E,则∠BED是 度.
8. (2023春•西城区校级期中)如图,菱形ABCD中,若BD＝8,AC＝6,则AB的长等于 ,菱形ABCD的面积等于 .
9. (2023•营口)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,其中OA＝1,OB＝2,则菱形ABCD的面积为 .
10. (2023•新北区一模)已知在菱形ABCD中,∠A=60,DE//BF,sinE=,DE=6,EF=BF=5则菱形ABCD的边长_____.
11. (2023春•东城区校级期中)如图,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝5,点E在边AD,且AE＝2,若过点E的直线l将该矩形的面积平分,且与矩形的另一边交于点F,则线段EF的长为 .
12. (2023·湖北宜昌)如图,在矩形ABCD中,E是边AD上一点,F,G分别是BE,CE的中点,连接AF,DG,FG若AF=3,DG=4,FG=5,矩形ABCD的面积为________.
13. (2023·江苏常州·中考真题)如图,点C在线段AB上,且AC=2BC,分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG,连接EC、EG,则tan∠CEG=_________.
14. [2023·呼和浩特]已知菱形ABCD的面积为2,点E是一边BC上的中点,点P是对角线BD上的动点.连接AE,若AE平分∠BAC,则线段PE与PC的和的最小值为 ,最大值为 .
15. (2023·贵州遵义)如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为 .
16. [2023·咸宁]如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点E是边BC上一动点(不与点B,C重合),∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F,交CD于点G,连接AF,有下列结论:
①△ABE∽△ECG;②AE=EF;③∠DAF=∠CFE;④△CEF的面积的最大值为1.
其中正确结论的序号是 (把正确结论的序号都填上).
三、解答题（第17—20题每题10分，第21题12分，共52分）
17. (2023邵阳)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F是对角线AC上的两点,且AE＝CF.连接DE,DF,BE,BF.
(1)证明:△ADE≌△CBF;
(2)若AB＝4eq \r(2),AE＝2,求四边形BEDF的周长.

18. 3(2023春•永州期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,点D为斜边AB边上的中点,AE∥DC,CE∥DA.
(1)求证:四边形ADCE是菱形;
(2)连接DE,若AC=,BC＝1.求证:△ADE是等边三角形.
19. (2023北京东直门中学)如图,在平行四边形ABCD中,BC=BD,BE平分∠CBD交CD于O,交AD延长线于E,连接CE.
(1)求证:四边形BCED是菱形;
(2)若OD=2,,求△ABE的面积.
20. (2023年湖北省中考数学模拟题)如图1,AD∥BC,AB ⊥BC于B,∠DCB=75°,以CD为边的等边△DCE的另一顶点E在线段AB上．
(1)填空:∠ADE=____;
(2)求证:AB=BC;
(3)如图2所示,若F为线段CD上一点,∠FBC=30°,求的值．
21. (2023年湖北省武汉市江汉区常青第一学校中考数学一模试题).已知,将矩形ABCD折叠,使点C与点A重合,点D落在点G处,折痕为EF．
(1)如图1,求证:BE＝GF；
(2)如图2,连接CF、DG,若CE＝2BE,在不添加任何辅助线情况下,请直接写出图2中的四个三角形,使写出的每个三角形都为等腰三角形
22. (2023·北京市师达中学模拟预测)四边形ABCD是正方形,将线段CD绕点C逆时针旋转2α(0°＜α＜45°),得到线段CE,连接DE,过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F,连接BE.
(1)依题意补全图1;
(2)直接写出∠FBE的度数;
(3)连接AF,用等式表示线段AF与DE的数量关系,并证明.
答案
一、选择题（每题3分，共18分）
1. 故选:A.
2. D
3. A
4. 故选:D.
5. 故选:D.
6. A
二、填空题（每题3分，共30分）
7. 45或135
8. 故答案为:5,24.
9. 4
【解析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案.∵OA＝1,OB＝2,∴AC＝2,BD＝4,
∴菱形ABCD的面积为2×4＝4.
10. 故答案为:4.
11. 解:∵四边形ABCD是矩形,AB＝3,BC＝5,
∴DC＝AB＝3,AD＝BC＝5,∠B＝∠D＝∠A＝∠C＝90°,
∵过点E的直线l将该矩形的面积平分,AE＝2,∴CF＝AE＝2,
过E作EM⊥BC于M,则∠A＝∠B＝∠EMB＝90°,
∴四边形ABME是矩形,∴EM＝AB＝3,BM＝AE＝2,∴MF＝BC﹣BM﹣CF＝5﹣2﹣2＝1,
在Rt△EMF中,由勾股定理得:EF＝,故答案为:.
12. 48
13.
14. 2+ 根据题意可画出图形,如图所示,
过点B作BF∥AC交AE的延长线于点F,连接AP,
∴∠F=∠CAE,∠EBF=∠ACE.
∵点E是BC的中点,
∴BE=CE,
∴△ACE≌△FBE(AAS),
∴BF=AC.
∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE,
∴∠BAE=∠F,∴AB=BF=AC.
在菱形ABCD中,AB=BC,∴AB=BC=AC,即△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.
设AB=a,则BD=a,
∵菱形ABCD的面积=AC·BD=2,即·a·a=2,
∴a=2,即AB=BC=CD=2.
∵四边形ABCD是菱形,
∴点A和点C关于BD对称,
∴PE+PC=AP+EP,
当A,P,E三点共线时,AP+EP的和最小,此时AE=.
当点P和点D重合时,PE+PC的值最大,此时PC=DC=2,如图,过点D作DG⊥BC交BC的延长线于点G,连接DE,
∵AB∥CD,∠ABC=60°,∴∠DCG=60°,
∴CG=1,DG=,∴EG=2,
∴DE=,此时PE+PC=2+,
即线段PE与PC的和的最小值为,最大值为2+.
15. 3 解:∵ED=EM,MF=FN,∴EF=DN,∴DN最大时,EF最大,∵N与B重合时DN最大,此时DN=DB==6,∴EF的最大值为3.故答案为:3.
16. ①②③ ∵四边形ABCD为正方形,
∴∠B=∠BCD=90°,
∵∠AEF=90°,∴∠AEB+∠CEG=90°,
又∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠CEG,∴△ABE∽△ECG,故①正确;
在BA上截取BM=BE,连接ME,
∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=90°,BA=BC,
∴△BEM为等腰直角三角形,∴∠BME=45°,∴∠AME=135°,
∵BA-BM=BC-BE,∴AM=CE,
∵CF为正方形外角平分线,∴∠DCF=45°,
∴∠ECF=135°=∠AME,
∵∠BAE=∠FEC,∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF,故②正确;∴△AEF为等腰直角三角形,
∴∠EAF=∠EFA=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,而∠BAE=∠CEF,∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF,∴∠DAF=∠CFE,故③正确;设BE=x,则BM=x,AM=AB-BM=2-x,S△AME=·x·(2-x)=-x2+x,当x=1时,S△AME有最大值,而△AME≌△ECF,∴S△AME=S△CEF,
∴S△CEF有最大值,所以④错误.综上:正确结论的序号是:①②③.

三、解答题（第17—20题每题10分，第21题12分，共52分）
17. (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAE＝∠BCF＝45°,AD＝BC,
在△ADE和△CBF中,
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝CB，,∠DAE＝∠BCF，,AE＝CF，))
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)解:∵AB＝AD＝4eq \r(2),∴BD＝eq \r(AB2＋AD2)＝8,
∴AC＝BD＝8,DO＝BO＝4,OA＝OC＝4,又∵AE＝CF＝2,
∴OA－AE＝OC－CF,即OE＝OF＝4－2＝2,
∴四边形BEDF为菱形.∵∠DOE＝90°,
∴DE＝eq \r(DO2＋EO2)＝2eq \r(5).∴4DE＝4×2eq \r(5)＝8eq \r(5),
∴四边形BEDF的周长为8eq \r(5).
18. (1)证明:∵AE∥CD,CE∥AB,∴四边形ADCE是平行四边形,
又∵∠ACB＝90°,D是AB的中点,∴CDAB＝BD＝AD,∴平行四边形ADCE是菱形;
(2)证明:∵在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC,BC＝1,
∴AB2,∴BCAB,∴∠CAB＝30°,
∵四边形ADCE是菱形,∴∠EAD＝2∠CAB＝60°,AE＝AD,∴△ADE是等边三角形.
19. (1)见解析;(2)16
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AE,
∴∠CBE=∠DEB,
∵BE平分∠CBD,
∴∠CBE=∠DBE,
∴∠DEB=∠DBE,
∴BD=DE,
又∵BC=BD,
∴BC=DE且BC∥DE,
∴四边形BCED是平行四边形,
又∵BC=BD,
∴四边形BCED是菱形;
(2)解:∵四边形BCED是菱形,
∴BO=EO,∠DOE=90°,
又∵AD=BC=DE,
∴OD是△ABE的中位线,
∴OD∥AB,AB=2OD=4,∠ABE=∠DOE=90°,
∵,∴BE=8,∴.
20. (1)45;(2)证明见解析(3)1．
【详解】解:(1)∵∠DCB=75°,AD∥BC,
∴∠ADC=105°
∵△DCE为等边三角形,
∴∠EDC=60°,
∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=45．
(2)证明:连接AC
由(1)知∠ADE =45º,
∵AB⊥BC,AD∥BC,
∴∠DAB=90,
∴∠AED=45,
∴AD=AE,
∴点A在线段DE的垂直平分线上,
∵△DCE为等边三角形,
∴CD=CE,
∴点C也在线段DE的垂直平分线上 ,
∴AC就是线段DE的垂直平分线,即AC⊥DE,
∴AC平分∠EAD,
∴∠BAC=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形
∴BA=BC
(3)解:连接AF,延长BF交AD的延长线于点G
∵∠FBC=30º,∠ABC=90º,
∴∠ABF=60º,
∵∠DCB=75º,
∴∠BFC=75º,
故BC=BF,
由(2)知:BA=BC,[来源:学。科。网]
∴BA=BF,
∴△ABF是等边三角形,
∴AB=BF=FA,
∴∠BAC=60 º,
∴∠DAF=30º,
又∵AD∥BC,
∴∠FAG=∠G=30º,
∴FG =FA= FB,
又∠DFG=∠CFB,
∴△BCF≌△GDF(ASA),
∴DF=CF,
∴=1．
21. (1)见解析；(2)△CEF,△AGD,△FGD,△DGC,△AEF是等腰三角形．
【详解】(1)证明∵矩形ABCD
∴AB=CD,∠BAD=90
由折叠可知:AG=CD,∠AGF=∠DCB=90=∠GAE
∴AB=AG,∠BAE=90-∠EAF,∠GAF=90-∠EAF
∴∠BAE=∠GAF,且AG=AB,∠B=∠AGF=90
∴△ABE≌△AGF(ASA)
∴BE=GF；
(2)证明:∵将矩形ABCD折叠,使点C与点A重合,点D落在点G处
∴AE=CE,AF=CF,GF=DF,AG=CD,∠AEF=∠CEF,∠AFE=∠CFE
∴△GFD是等腰三角形
∵AD//BC
∴∠AFE=∠CEF
∴∠AEC=∠AFE=∠CFE=∠CEF
∴AF=AE=CF=CE
∴△AEF,△CEF是等腰三角形
∵CE=2BE
∴AE=2BE,且∠ABC=90
∴∠BAE=30
∴∠AEB=60
∵△ABE≌△AGF
∴∠GAF=BAE=30,∠AFG=∠AEB=60
∴∠GDF=30
∴∠GAD=∠GDF
∴AG=GD
∴AG=GD=CD
∴△AGD,△GDC是等腰三角形
综上所述:△CEF,△AGD,△FGD,△DGC,△AEF是等腰三角形．
22. 解:(1)补全图形,如图所示:
(2)∠FBE＝45°.理由如下:
设DF与AB交于点G,如图所示:
由题意得,CD＝CE＝CB,∠ECD＝2α,∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°,
∠EDC=∠DEC,∠EBC=∠BEC ∴∠EDC＝90°﹣α,∠BCE＝90°﹣2α,
∴∠CBE＝45°+α,∠ADF＝α,
∴∠ABE＝45°﹣α.
∵BF⊥DE,
∴∠BFD＝90°.
∵∠AGD＝∠FGB,
∴∠FBG＝α

(3)DE＝.
证明:如图,作AH⊥AF,交BF的延长线于点H,
由(2)得:
∠FBE＝∠FEB＝45°.
∴FB＝FE.
∵AH⊥AF,∠BAD＝90°,
∴∠HAB＝∠FAD,
∵∠BFG＝∠DAG＝90°,∠BGF＝∠DGA,
∴∠FBG＝∠ADG,即∠ABH＝∠ADF,
∴△HAB≌△FAD(ASA),
∴HB＝FD,AH＝AF,
∴HF＝DE,∠H＝45°.
∴HF＝AF.
∴DE＝AF.