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2024洛阳高一下学期4月期中考试数学含答案
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这是一份2024洛阳高一下学期4月期中考试数学含答案，共8页。试卷主要包含了考试结束，将答题卡交回，已知z为复数，下列说法正确的是，关于平面向量，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，共150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．考试结束，将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i为虚数单位，（ ）
A．B．C．D．
2．若直线在平面外，则（ ）
A．B．与至多有一个公共点
C．与没有公共点D．与至少有一个公共点
3．已知向量，满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，正方体的八个顶点中，其中A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的体积与正方体的体积之比为（ ）
A．B．C．1：3D．1：4
6．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
7．长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
8．如图，正方形ABCD的边长为a，顶点A，D分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动．若，则a的最大值是（ ）
A．1B．2C．D．4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知z为复数，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．两个非零向量，，若，则与共线且反向
C．若与不共线且与共线，则
D．若，，且与的夹角为锐角，则
11．在正方体中，M，N，Q分别是棱，，BC的中点，，则（ ）
A．B．
C．A，P，M三点共线D．
12．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，内一点N满足，直线AN与BC交于点D，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，若与互相垂直，则______．
14．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的周长为______．
15．已知直三棱柱中，，，，，则三棱柱的外接球的表面积为______．
16．在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知复数，，其中i是虚数单位，．
（1）若为纯虚数，求a的值；
（2）若，求的虚部．
18．（12分）
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，求的值．
19．（12分）
已知在圆锥SO中，底面的直径，的面积为．
（1）求圆锥SO的内切球的体积；
（2）点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，求它爬行的最短距离．
20．（12分）
在中，，，，，．
（1）试以为基底表示，并求；
（2）D为直线MN上一点，设，若直线CD经过的垂心，求x，y．
21．（12分）
如图，在正方体中，H是的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点．
（1）求证：；
（2）若正方体棱长为2，请在正方体的表面完整做出过A，E，三点的截面，写出作图过程，并求出截面的面积．
22．（12分）
已知平面四边形ABDC中，对角线CB为的平分线，CB与AD相交于点O，，，．
（1）求CO的长；
（2）若，求的面积．
洛阳市2023——2024学年第二学期期中考试
高一数学试卷参考答案
一、单选题
1．B2．B3．A4．D5．C6．C7．A8．B
二、多项选择题
9．AC10．BC11．CD12．ABD
三、填空题
13．714．15．16．
四、解答题
17．解：（1）
∵为纯虚数，∴且，∴
（2）由题意得，，即，∴
∴，∴的虚部为1．
18．解：（1）由正弦定理得，，∴，，
由余弦定理，，∵，∴．
（2）∵，∴，
即，∴，即．
19．解：（1）设圆锥SO的母线长为l，底面的半径为r，
∵的面积为，∴．解得．
由勾股定理，可得母线，
如图，作出圆锥的轴截面，球与圆锥侧面相切，设球心为D，球的半径为R，
则于E，，
则，可得，
即，解得，∴球的体积．
（2）如图，圆锥的侧面展开图为扇形SAN，
扇形SAN的弧长为，扇形SAN的圆心角，∴，
在中，由余弦定理，，∴，
∵，∴蚂蚁爬行的最短距离为AM的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为．
20．解（1）由题意得，
∵，，
∴，
∴
（2）D为直线MN上一点，设，
则
∴
∵直线CD经过的垂心，所以，即，
∴，解得，
∴，
又，∴，．
21．（1）证明：连接BH，∵FG为的中位线，∴，
∵，，∴，
∵，，，∴
∵，EF，FG都在平面EFG内，∴．
（2）解：如图，四边形为所求截面．
取的中点N，连接，NE，∴，，
取的中点M，连接AM，，∴，，∴，
∴□为过A，E，三点的截面，
又，∴四边形为菱形，
∴．
22．解：（1）在中，由余弦定理得，
解得或（舍去）．∵，∴．
又，解得（负值舍去），
∴．∵，
∴
即．∴．
（2）在中，由正弦定理可得，
即，则，
由于为锐角，∴．∵，∴，
即，∴，
由余弦定理可得，解得．
∵，∴，
∴．
本试卷共4页，共150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．考试结束，将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i为虚数单位，（ ）
A．B．C．D．
2．若直线在平面外，则（ ）
A．B．与至多有一个公共点
C．与没有公共点D．与至少有一个公共点
3．已知向量，满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，正方体的八个顶点中，其中A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的体积与正方体的体积之比为（ ）
A．B．C．1：3D．1：4
6．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
7．长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
8．如图，正方形ABCD的边长为a，顶点A，D分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动．若，则a的最大值是（ ）
A．1B．2C．D．4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知z为复数，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．两个非零向量，，若，则与共线且反向
C．若与不共线且与共线，则
D．若，，且与的夹角为锐角，则
11．在正方体中，M，N，Q分别是棱，，BC的中点，，则（ ）
A．B．
C．A，P，M三点共线D．
12．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，内一点N满足，直线AN与BC交于点D，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，若与互相垂直，则______．
14．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的周长为______．
15．已知直三棱柱中，，，，，则三棱柱的外接球的表面积为______．
16．在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知复数，，其中i是虚数单位，．
（1）若为纯虚数，求a的值；
（2）若，求的虚部．
18．（12分）
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，求的值．
19．（12分）
已知在圆锥SO中，底面的直径，的面积为．
（1）求圆锥SO的内切球的体积；
（2）点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，求它爬行的最短距离．
20．（12分）
在中，，，，，．
（1）试以为基底表示，并求；
（2）D为直线MN上一点，设，若直线CD经过的垂心，求x，y．
21．（12分）
如图，在正方体中，H是的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点．
（1）求证：；
（2）若正方体棱长为2，请在正方体的表面完整做出过A，E，三点的截面，写出作图过程，并求出截面的面积．
22．（12分）
已知平面四边形ABDC中，对角线CB为的平分线，CB与AD相交于点O，，，．
（1）求CO的长；
（2）若，求的面积．
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高一数学试卷参考答案
一、单选题
1．B2．B3．A4．D5．C6．C7．A8．B
二、多项选择题
9．AC10．BC11．CD12．ABD
三、填空题
13．714．15．16．
四、解答题
17．解：（1）
∵为纯虚数，∴且，∴
（2）由题意得，，即，∴
∴，∴的虚部为1．
18．解：（1）由正弦定理得，，∴，，
由余弦定理，，∵，∴．
（2）∵，∴，
即，∴，即．
19．解：（1）设圆锥SO的母线长为l，底面的半径为r，
∵的面积为，∴．解得．
由勾股定理，可得母线，
如图，作出圆锥的轴截面，球与圆锥侧面相切，设球心为D，球的半径为R，
则于E，，
则，可得，
即，解得，∴球的体积．
（2）如图，圆锥的侧面展开图为扇形SAN，
扇形SAN的弧长为，扇形SAN的圆心角，∴，
在中，由余弦定理，，∴，
∵，∴蚂蚁爬行的最短距离为AM的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为．
20．解（1）由题意得，
∵，，
∴，
∴
（2）D为直线MN上一点，设，
则
∴
∵直线CD经过的垂心，所以，即，
∴，解得，
∴，
又，∴，．
21．（1）证明：连接BH，∵FG为的中位线，∴，
∵，，∴，
∵，，，∴
∵，EF，FG都在平面EFG内，∴．
（2）解：如图，四边形为所求截面．
取的中点N，连接，NE，∴，，
取的中点M，连接AM，，∴，，∴，
∴□为过A，E，三点的截面，
又，∴四边形为菱形，
∴．
22．解：（1）在中，由余弦定理得，
解得或（舍去）．∵，∴．
又，解得（负值舍去），
∴．∵，
∴
即．∴．
（2）在中，由正弦定理可得，
即，则，
由于为锐角，∴．∵，∴，
即，∴，
由余弦定理可得，解得．
∵，∴，
∴．
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