2024届湖南长郡中学、浙江杭州二中、江苏南京师大附中三校高三下学期联考数学试题+答案

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考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足，则( )
A.B.C.D.
2.已知，，则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
3.若非空集合,,,满足：,，则( )
A.B.C.D.
4.抛物线上的点到焦点的距离为( )
A.B.2C.D.1
5.球缺指的是一个球被平面截下的一部分，垂直于截面的直径被截后剩下的线段为球缺的高，设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积. 圆锥的高为2，底面半径为1，则以圆锥的高为直径的球在圆锥外的体积为( )
A.B.C.D.
6.已知某4个数据的平均值为6，方差为3，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为( )
A.2B.C.D.
7.已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
8.设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A.椭圆C的离心率
B.
C.面积的最大值为12
D.的最小值为
10.四棱锥的底面为正方形，底面，，，，平面平面，平面，则( )
A.直线与平面有一个交点
B.
C.
D.三棱锥的体积为
11.已知，，数列和的公共项由小到大排列组成数列，则( )
A.
B.为等比数列
C.数列的前项和
D.不是任一等差数列的三项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的二项展开式中的系数为______.
13.已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则_____.
14.已知，函数恒成立，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.某手机公司对一小区居民开展个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下：
(1)求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区月份对这款不满意人数；
(2)工作人员从这个月内的调查表中随机抽查人，调查是否使用这款与性别的关系，得到下表：根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款与性别有关？
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
，
16.已知中，角,,所对的边分别为,,，且.
(1)求；
(2)若，为边上一点，，，求的面积.
17.如图，在直三棱柱中，，，点分别在棱上，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)当三棱柱的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.
18.已知双曲线的渐近线为，焦距为，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为、、、.
(1)求的方程；
(2)证明：；
(3)求的取值范围.
19.已知函数, a∈R.
(1)当时，求在区间内极值点的个数；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：，.月份x
1
2
3
4
5
不满意的人数y
120
105
100
95
80
使用
不使用
女性
48
12
男性
22
18
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828