湖南省岳阳市临湘市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题．（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下面的图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. 等边三角形B. 平行四边形C. 直角三角形D. 等腰梯形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、等边三角形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、平行四边形是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、直角三角形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、等腰梯形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B
2. 直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（ ）．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．
【详解】解：直角三角形的斜边长为10，
斜边上的中线长为，
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
3. 满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A. AB，BC＝4，AC＝5B. AB：BC：AC＝3：4：5
C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5D. ∠A∠B∠C
【答案】C
【解析】
【分析】依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算，即可得出结论．
【详解】解：A．∵52+42＝25+16＝41＝（）2，
∴△ABC是直角三角形，不合题意；
B．∵（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝252＝（5x）2，
∴△ABC是直角三角形，不合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠C180°＝75°≠90°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
D．∵∠A∠B∠C，
∴∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，
∴△ABC是直角三角形，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
4. 关于▱ABCD的叙述，正确的是（ ）
A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C. 若AC=BD，则▱ABCD是矩形D. 若AB=AD，则▱ABCD是正方形
【答案】C
【解析】
【详解】解：A、若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、若AC=BD，则▱ABCD是矩形，故本选项符合题意；
D、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
故选：C
5. 如图，在中，下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断选项，即可．
【详解】∵在中，
∴，，
∵AD//BC，
∴，
无法得出∠1=∠3，
∴A，B，C正确，D错误，
故选D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边互相平行且相等，对角线互相平分，是解题的关键．
6. 如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依据分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O，即可得到EF垂直平分AB，进而得出结论．
【详解】由作图可知，EF垂直平分AB，
，故A选项正确；
，故B选项正确；
，故C选项错误；
，故D选项正确，
故选C．
【点睛】本题考查不基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题．
7. 如图，矩形中，交于点，分别为的中点．若，则的长为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质和含角的直角三角形的性质得出，进而求出，再依据中位线的性质推知，即可得到答案．
【详解】解：四边形是矩形，交于点，，
，
，即，
，
分别为的中点，
是的中位线，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系．
8. 如图所示，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E．若AB＝8，则△DEB的周长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】先利用“角角边”证明△ACD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AE，CD＝DE，然后求出BD+DE＝AE，进而可得△DEB的周长．
【详解】解：∵DE⊥AB，∠C＝90°
∴∠C＝∠AED＝90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△ACD和△AED中，
∵，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE，CD＝DE，
∴BD+DE＝BD+CD＝BC＝AC＝AE，
BD+DE+BE＝AE+BE＝AB＝8，
∴△DEB的周长为8．
故选：B．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，涉及到等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ACD≌△AED．
9. 如图，，平分，交于，交于，若，则等于（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】过D点作于G点，通过，DE⊥DF，可得，进而有，，即可得，易证得，即可求解．
【详解】解：过D点作于G点，如图，
∵平分，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，，
在中，有，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行的相关的性质、等腰三角形的判定和性质以及特殊角的三角函数等知识，利用角平分线的性质是解答本题的关键．
10. 如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】易得第二个矩形的面积为（）2，第三个矩形的面积为（）4，依此类推，第n个矩形的面积为（）2n-2．
【详解】已知第一个矩形的面积为1；
第二个矩形的面积为原来的（）2×2-2=；
第三个矩形的面积是（）2×3-2=；
…
故第n个矩形的面积为：= ．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
二、填空题．（本题共8小题，每小题3分，满分24分）
11. 在中，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】Rt△ABC 中，∠A与∠B互余，∠A=50°，则∠B=90°-∠A=40°．
【详解】解：在Rt△ABC 中，，
∵∠A与∠B互余，
∴∠B=90°-∠A=40°，
故答案为：40°
【点睛】此题考查了直角三角形中两锐角互余，熟记直角三角形的性质是解题的关键．
12. 如图，禁令标志是交通标志中的一种，是对车辆加以禁止或限制的标志，如禁止通行、禁止停车、禁止左转弯、禁止鸣喇叭、限制速度、限制重量等．如图，该禁令标志的内角和是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角和，根据公式可得到正多边形的内角和，正确计算是解题的关键．
【详解】解：由图可得，该标志为正八边形，
即，
故答案为：．
13. 在中，若，则的度数为______度．
【答案】65
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形邻角互补求解即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
14. 如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据“”所需要的条件即可得到答案．
【详解】解：和有一条公共直角边，
根据“”证明，应添加的直接条件是．
故答案为：．
15. 如图，在平行四边形中，，，，则的长为________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、用勾股定理解三角形，先根据已知条件得到的各个边长，满足勾股定理，即为直角三角形，即可得到，即可得到结果，得到为直角三角形是解题的关键．
【详解】解：∵在平行四边形中，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
即，
∵，
∴，
故答案为：5．
16. 矩形的一条对角线长为，两条对角线组成的对顶角中，有一组是，则矩形的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等，首先根据题意画出图形，然后由两条对角线相交所成的钝角为，证得是等边三角形，即可求得的长，然后由勾股定理求得，最后求这个矩形的面积即可．
【详解】解：如图，矩形中，，

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17. 如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°．
【答案】135
【解析】
【分析】由正方形性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACB＝∠BAC＝45°
∴∠2+∠BCP＝45°
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠BCP＝45°
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP
∴∠BPC＝135°
故答案为：135．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键．
18. 如图：是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达B时，P、Q两点停止运动，当点P到达B时，P、Q两点停止运动．设点P运动的时间为．当t为________时，是直角三角形．
【答案】1或2##2或1
【解析】
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解答此题的关键；分两种情况：；．然后在直角三角形中根据的表达式和的度数进行求解即可．
【详解】解：在，
根据题意得：，，
若是直角三角形，则或，
当时，，
即，
∴，
当时，，
∴，
∴．
∴当或时，是直角三角形．
故答案为：1或2．
三、解答题．（本题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 已知一个多边形的内角和比外角和的4倍还多，求这个多边形的边数．
【答案】11
【解析】
【分析】考查了多边形内角与外角，任何多边形的外角和都是360度，不随边数的变化而变化．设这个多边形的边数是n，依题意得，解方程即可得出答案．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，依题意得，
，
，
，
∴这个多边形的边数是11．
20. 如图连接四边形的对角线，已知，，，，．

（1）求证：是直角三角形；
（2）求四边形面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求得，再利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）利用四边形的面积是两个三角形的面积之和求解即可．
【小问1详解】
证明：，，，
，
，，
，
是直角三角形，；
【小问2详解】
解：由（1）知，，，，
．
【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的运用，解题的关键是根据勾股定理求得，进而利用勾股定理的逆定理解答．
21. 如图， 是的中位线，延长 至点 ，使 ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）若，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）为直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，求出，根据平行四边形的判定可得结论；
（2）根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出，可得，，然后利用三角形内角和定理求出即可．
【小问1详解】
证明：是的中位线，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：为直角三角形；
理由：四边形是平行四边形，
，
，
，
是的中位线，
．
，
∴，，
∵，
∴，即，
为直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
22. 如图，把边长为的等边三角形绕边的中点O旋转，得到．
（1）四边形是什么样的四边形？说明理由．
（2）求四边形两条对角线的长度．
（3）求四边形的面积．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析
（2），．
（3）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理．
（1）直接利用中心对称的性质，结合菱形的判定方法得出答案；
（2）直接利用中心对称的性质利用勾股定理得出答案；
（3）直接利用菱形面积对角线乘积的一半得出答案．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，
理由：把边长为的等边绕边的中点旋转，得到，
，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：把边长为的等边绕边的中点旋转，得到，
，，
，
，
四边形的两条对角线的长度分别为和；
【小问3详解】
解：四边形的面积为：．
23. 如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行20海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向.(参考数据：≈1.732.)
(1)若小岛A到这艘轮船航行路线BC的距离是AD，求AD的长；
(2)已知在小岛周围17海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险?
【答案】（1）AD≈17.32（海里）；（2）轮船不改变航向继续向前行驶，轮船无触礁的危险．
【解析】
【分析】（1）如图，直角△ACD和直角△ABD有公共边AD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用AD表示出CD与BD，根据CB＝BD﹣CD即可列方程，从而求得AD的长；（2）利用（1）中所求，与17海里比较，确定轮船继续向前行驶，有无触礁危险．
【详解】（1）如图所示．
则有∠ABD＝30°，∠ACD＝60°．∴∠CAB＝∠ABD，∴BC＝AC＝20海里．在Rt△ACD中，设CD＝x海里，
则AC＝2x，AD＝x，在Rt△ABD中，AB＝2AD＝2x，
BD＝＝3x，
又∵BD＝BC+CD，
∴3x＝20+x，
∴x＝10．
∴AD＝x＝10≈17.32（海里）；
（2）∵17.32海里＞17海里，
∴轮船不改变航向继续向前行驶，轮船无触礁的危险．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、直角三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．
24. 如图，是的角平分线，、分别是和的高．
（1）求证：垂直平分；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）6
【解析】
【分析】（1）先利用角平分线的性质得，利用“”证明得到，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论．
（2）先利用三角形面积和可求得的长，根据（1）中的全等可得，可得的长．
【详解】（1）∵是的角平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
而，
∴垂直平分；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定方法、线段垂直平分线的判定、直角三角形30°角的性质．
25. 如图，中，点O为边上的一个动点，过点O作直线，设交的外角平分线于点F，交内角平分线于E．
（1）求证：；
（2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论；
（3）若边上存在点O，使四边形是正方形，猜想的形状并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）当点O在边运动到中点时，四边形是矩形；理由见解析
（3）是直角三角形，且时，四边形是正方形；证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出，，进而得出答案；
（2）根据，可得四边形平行四边形，再证明利用矩形的判定得出即可；
（3）利用正方形的性质得出，再利用平行线的性质得出，即可得出答案；
【小问1详解】
证明：∵交的平分线于点 E，交的外角平分线于点F，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：当点O在边运动到中点时，四边形是矩形．
证明：当O为的中点时，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，
∴四边形是矩形．
【小问3详解】
解：是直角三角形，且时，四边形是正方形．
理由：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】此题考查了正方形的判断和矩形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，需要知道平行线的特征和角平分线的性质是解题的关键．
26. 【问题呈现】
如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系．
【问题初探】
（1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题引申】
（2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ；
【问题解决】
（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ．
【答案】（1），见解析；（2）；（3）4或2
【解析】
【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形及菱形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系．
（1）利用正方形性质得出角与线段的关系，易证得，可得出，即可得出结论；
（2）取的中点，连接，利用菱形的性质，可得出是等边三角形，易证，得出，由，即可得出；
（3）分两种情形：如图中，当点靠近点时，过点作于，连接，作交于．解直角三角形求出，，可得结论．如图中，当点靠近点时，同法可求．
【详解】解：（1）结论：．
理由：如图1中，
正方形对角线，交于点，
，，
，
，
在和中
，
，
，
；
（2）（1）中的结论变为，理由如下：
如图2中，取的中点，连接，
四边形为的菱形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
（3）如图中，当点靠近点时，过点作于，连接，作交于．
是等边三角形，，
，，
在中，，
，
由（2）可知，，
．
如图中，当点靠近点时，同法可得，，
，
综上所述，满足条件的的值为4或2．
故答案为：4或2．