黑龙江省2024届高三冲刺卷（四）数学试卷

这是一份黑龙江省2024届高三冲刺卷（四）数学试卷，共12页。试卷主要包含了已知为等比数列的前项积,若,且等内容，欢迎下载使用。

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟,满分150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中;只有一项是符合题目要求的。
1.若集合,若,则
A.1B.C.或1D.
2.若复数满足,则在复平面内对应的点在
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知向量,则
A.B.2C.D.3
4.设函数在区间上单调递减,则的取值范围是
A.B.C.D.
5.过直线上一点作圆的两条切线,若两条切线的夹角为,则点的横坐标为
A.1B.2C.3D.4
6.已知为等比数列的前项积,若,且
A.B.C.D.
7.某学校需要从4名女教师和2名男教师中抽调3人参加支教活动,则至少有1名男教师参加的概率为
A.B.C.D.
8.已知函数,且是函数相邻的两个零点,,则下列结论错误的是
A.B.C.D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.已知抛物线的焦点为,点在上,,则的值可能是
A.2B.4C.8D.16
10.图柱的轴截面为正方形,则下列结论正确的有
A.圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等B.圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为
C.圆柱内接圆锥的表面积与图柱表面积比为D.圆柱内切球的体积与圆柱体积比为
11.已知函数的定义域为,若,有,则
A.B.C.为偶函数D.4为函数的一个周期
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若的展开式中的系数为144,则___________.
13.已知为双曲线的左、右焦点,以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点,若,则双曲线的离心率___________
14.为实数,不等式组的解集为,则_____________________.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)已知在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)求在区间的单调区间和极值.
16.（15分）三个人猜拳决定胜利者,三个人分别可以出“石头”,“剪刀”,“布”,其中“石头”赢“剪刀”,“剪刀”赢“布”,“布”赢“石头”,例如,当一个人出“布”,另两个人出“石头”时,只用一回正好决定胜利者;当一人出“石头”,另两人出“布”时,则淘汰出“石头”的人.三人猜拳输的人被淘汰,直到决出一个胜利者为止.
(1)求一次猜拳决出胜利者的概率；
(2)求在第回猜拳决出胜利者的概率.
17.(15分)已知正三棱柱中分别为的中点,.
(1)证明:平面平面;
(2)求与平面所成角的正弦值.
18.(17分)在椭圆上,是椭圆上的左、右顶点,直线与椭圆交于两点.的斜率分别为.
(1)若,求证:直线过定点.
(2)直线交于点,直线交于点,求PQ的最小值.
19.（17分）已知集合对于,定义与的差与间的距离为.
(1)当时,设,求;
(2)证明:,且;
(3)设中有个元素,记中所有两元素间的距离的平均值为,证明,.
2024届高三冲刺卷(四)
数学参考答案及评分意见
1.C【解析】当时,,此时满足条件.当时,,此时满足条件,故选C.
2.A【解析】.故选A.
3.D【解析】由两边平方得,,所以,所以.故选D.
4.D【解析】设,易知函数是增函数,因为在区间上单调递减,所以由复合函数单调性可知,在上单调递减.因为函数在上单调递减,所以,即,故选D.
5.B【解析】圆化为标准方程为,其圆心坐标为,半径为,设两切点分别为B,D,则,又,所以四边形ABCD为边长为2的正方形,所以,设,则,解得,故选B.
6.B【解析】由等比数列的性质,得,所以.故选B.
7.C【解析】“至少有1名男教师”的可能包括“1男2女”,“2男1女”,设“2男1女”为事件,则,设“1男2女”为事件,则,则至少有1名男教师参加的概率为:.故选C.
8.C【解析】,且是函数相邻的两个零点,其周期,故B正确;又,故A正确;令,则,又,故C错误;可知的图象关于直线对称,,故D正确.故选C.
9.AC【解析】因为,由抛物线定义得,解得或,故选.
10.ABD【解析】设圆柱的底面半径为,则圆柱的高为2R,所以内切球的半径为正确;圆柱的表面积为,内切球的表面积为,所以圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为,B正确;圆柱内接圆锥的表面积为,圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为错误;圆柱内切球的体积,圆柱的体积,所以,D正确.故选.
11.ACD【解析】,取,得,因为,所以,A正确;,取,得,所以,B错误;,取,得,即,所以为偶函数,C正确;,取,得,所以,即4为函数的一个周期,D正确;故选ACD.
12.【解析】的展开式的通项公式:.令.解得144,解得.故答案为.
13.2【解析】,所以,所以,.
14.0;0【解析】先证明都不小于零,不妨假设,考虑不等式,不等式组有解集,故此不等式必定有解,设方程的两实数根为,则不等式的解集为,不等式组的解集为不等式的子集,与解集为矛盾,故假设错误,.同理可知,,再证明至少有一个为零,不妨设均为正数,则的图象均开口向上,不等式组的解集应该还有的部分,与已知矛盾,故假设错误,所以中至少有一个为零.显然不全为0,分类讨论如下:
若中的两个为0,不妨设.则不等式组为解集为此时若中的1个为0，不妨设.则不等式组为其中不等式的解集为,不等式的解集为;不等式恒成立,因为,故不等式组的解集为,此时,综上,.
15.解:(1)在点处的切线方程为,
.…………………………………………………………………………………………2分
可得所以…………………………………………………………………4分
解得.……………………………………………………………………………………………5分
(2),令,因为,所以,或,……7分
当时,单调递增,当时,单调递减,
当时,单调递增.……………………………………………………………10分
综上所述,在区间上的单调递增区间为和,单调递减区间为;极大值为,极小值为…………………………………………………………………………………13分
16.解:(1)设为第回猜拳决出胜利者的概率.考虑3个人猜拳,每人有3种选择,共27种可能性,…2分
若一回合决出胜利者,则某人出石头且另外2人出剪刀或某人出剪刀且另外2人出布或某人出布且另外2人出石头,共种可能,……………………………………………………………………………………4分
3个人猜拳一次决出胜利者的概率为,故.………………………………………………………6分
(2)同理,若3个人猜一次拳淘汰1人,则某人出石头且另外2人出布或某人出剪刀且另外2人出石头或某人出布且另外2人出剪刀,概率为,则3个人猜拳既无人淘汰且未决出胜利者的概率为.………………8分
考虑2个人猜拳,每人有3种选择,共9种可能性,出拳相同的情况有3种,出拳不同情况有6种,出拳不同必定决出胜利者,故2个人猜拳一次决出胜利者的概率为.……………………………………………………9分
当时,分类讨论如下:
若到第回合时,仍有3个人猜拳,且在第回合决出胜利者,则概率为:.分
若到第回合时,有2个人猜拳,且在第回合决出胜利者,则在第回合猜拳淘汰1个,概率为:,所以.…………………………………13分
当时，满足该式，综上，……………………………………………15分
17.(1)证明:分别为的中点,所以,四边形为平行四边形,所以,而平面平面,所以平面.…………………………………2分
连接交于,连接OE,显然是的中点,因为为AB的中点,所以,而平面，OE平面,所以平面.…………………………………………………………4分
又平面平面,所以平面平面………………6分
(2)因为为正三角形,所以,因为三棱柱是正三棱柱,所以平面平面,而平面平面,
所以平面,因为平面,所以,
因为三棱柱是正三棱柱,,
所以侧面是矩形,分别为的中点,
建立如图所示的空间直角坐标系.则
……………………………………………………10分
设平面的法向量为,
即,取,解得.……………………………………………………12分
设直线与平面所成角为,
所以.……………………………………………………………15分
18.解:(1)设,直线的方程为,
与椭圆联立得消去整理得,分
,所以.………………………………………4分
由,………………………………………………………………………………5分
得
,………………7分
所以,直线过定点.………………………………………………………………………8分
(2)由(1),,所以,得分
直线AM的方程为,直线BN方程为,
联立得,
所以,
直线AN的方程为,直线BM方程为,
联立得,
所以,
所以……………………………………………………………………………………14分
所以
……………………16分
当且仅当时,取到最小值,所以|PQ|的最小值为8.……………………………………………………17分
19.（1）解：……………………2分
.………………………………………4分
(2)证明:
因为,所以,从而.………………………………………………………………………………………………………………6分
由题意知
当时,||.……………………………………………………………………8分
当时,||.…………………………………………………………10分
所有.……………………………………………………………12分
(3)证明:,其中表示中所有两个元素间距离的和.……………13分
设中所有元素的第个位置的数字共有个个0,………………………………………………14分
中1的个数为的个数为,则.
由于,所以.…………………………………………16分
所以.………………………………………………………17分