安徽省安庆市第一中学2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（Word版附解析）

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满分：150 命题：高一年级数学组
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复平面内，点表示复数，则的虚部是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先得到，则，再求出其虚部即可.
【详解】由复数的几何意义得，从而，其虚部为.
故选：C
2. 已知，，与的夹角是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数量积定义即可计算.
【详解】由题意，.
故选：C
3. 风筝起源于春秋时期，是中国传统手工艺的代表，被称为人类最早的飞行器．如图所示，在一个简易风筝面的示意图中，AC垂直平分BD，E为垂足，，，则（ ）
A. 8B. C. D. -8
【答案】A
【解析】
【分析】设，可得，，根据勾股定理求出AD，由余弦定理求出，再由同角三角函数的基本关系求解．
【详解】设，则，，，
则，．
在中，由余弦定理可得．
所以，．
故选：A
4. 已知的重心为O，若向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的重心性质，将表示为，对照系数即可求得.
【详解】
如图，设E是的中点，由于O是三角形的重心，
所以．
则.
故选:D．
5. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A. ，，B. ，，
C ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】由余弦定理可判定选项A，利用正弦定理和大边对大角可判断选项B，C，D.
【详解】对于A，已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A错误；
对于B，根据正弦定理得，，
又，，B有两解，故B符合题意；
对于C，由正弦定理：得：，
C只有一解，故C不符合题意.
对于D，根据正弦定理得，，
又，，D只有一解，故D不符合题意.
故选：B
6. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能
A. 不能作出这样的三角形B. 作出一个锐角三角形
C. 作出一个直角三角形D. 作出一个钝角三角形
【答案】D
【解析】
【详解】设三角形的面积为S，其三边长分别是a,b,c,其相应边上的高分别为，，，则S=a×，即a=26S；同理可得另两边长b=22S,c=10S．
由余弦定理得csA＝==<0，即A为钝角．
所以能作出一个钝角三角形．
7. 在中，，，边上的中线，则的面积S为( )
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案．
【详解】如图所示，
延长到点使，连接，
又∵，∴(SAS)，
∴的面积等于的面积．
在中，由余弦定理得，
又，则，
∴．
故选：C．
8. 已知圆的半径为1，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：
如图所示：设，则
所以当且仅当时取“=”，故最小值为
考点：向量的数量积的应用
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量在向量方向上的投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】向量在向量方向上的投影向量为，根据此公式可求，再逐项求出夹角后可得正确的选项.
【详解】由题设可得，故，
而，与夹角，故，故，
对于A，，因，故，故A正确.
对于B，，因，故，故B错误.
对于C，，因，故，故C错误.
对于D，，因，故，故D错误.
故选：AD.
10. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若复数的共轭复数为，则
B. 若是关于的方程的一个根，则
C. 若复数满足，则的最大值为
D. 已知是方程在复数域的一个根，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据对数的定义与运算法则计算即可.
【详解】对于A，设，则，对；
对于B，对于实系数方程存在复数根，则必为一对共轭复数，故，错；
对于C，令，由复数模的几何意义，可表示为，
即在圆心为，半径为1的圆上，数形结合易知的最大值为2，对；
对于D，，则有或，
所以为的一个根，即，且，
当时，，对.
故选：ACD
11. 的三个内角所对边的长分别为，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，满足，的面积为6，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，对已知条件结合正弦定理可说明其正确；
B选项，通过内切圆半径和面积法推出；
C选项，由A先等价推出，由三角形面积公式可算出；
D选项，根据的取值结合和正弦定理可计算.
【详解】
如图，设内切圆圆心为，则到三边的距离均为，于是，即，则，得到，B选项正确；
由可得，
结合正弦定理可得，，即，A选项正确；
根据诱导公式，，，
，按照整体展开得到，，而，于是，即，故，由三角形面积公式，，解得，C选项正确；
由正弦定理结合B选项，，即，D选项错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为___________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据公式计算求解即可
【详解】设的外接圆的半径为，则根据正弦定理可知，
，又，
所以，
故答案为：2
13. 如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：与夹角为α，且，与的夹角为45°．若，求的值______．
【答案】##
【解析】
【分析】以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，根据向量的夹角和45°结合三角函数的概念表示出点A，B，C的坐标，即向量，，的坐标，然后把向量的坐标代入即可求出的值．
【详解】以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
由知为锐角，则，，
所以，
，
∴点B，C的坐标分别为，，
∴，，
又，
∴，
∴，解得，
∴．
故答案为：
14. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到，再利用基本不等式即可得解.
【详解】由余弦定理得，
两式相减得，
因为，所以，
由正弦定理得，
即，
所以，
则，
因为在中，不同时为，，故，
所以，
又，所以，则，故，则，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
又，所以，即的最大值为.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在四边形ABCD中，＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥.
(1)求x与y的关系式；
(2)若⊥，求x、y的值．
【答案】（1）0（2）
【解析】
【分析】(1)利用向量的坐标运算求出与，根据向量平行的充要条件可得结果；（2）利用向量的坐标运算求出与，根据向量垂直的充要条件列方程，结合（1）的结论可得结果.
【详解】(1)因为＝＋＋＝(x＋4，y－2)，所以＝－＝(－x－4，2－y)．
又因为∥，＝(x，y)，所以x(2－y)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.
(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)．
因为⊥，所以·＝0， 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，
所以y2－2y－3＝0，所以y＝3或y＝－1
当y＝3时，x＝－6，当y＝－1时，x＝2，综上可知或
【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
16. 定义一种运算：.
（1）已知为复数，且，求；
（2）已知、为实数，也是实数，将表示为的函数并求该函数的单调递增区间.
【答案】（1）
（2），增区间为
【解析】
【分析】（1），由结合复数相等可求出、的值，再利用复数的模长公式可求得的值；
（2）利用题中运算结合复数的概念可得出，利用三角恒等变换化简可得出关于的函数表达式，再利用正弦型函数的单调性可求得该函数的单调递增 区间.
【小问1详解】
解：设，
因为，
所以，，即，则，因此，.
【小问2详解】
解：为实数，
则，
所以，
，
由可得，
因此，函数的单调递增区间为.
17. 在如图所示的中，有.

（1）求的大小；
（2）直线绕点C顺时针旋转与的延长线交于点D，若为锐角三角形，，求长度的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：移项平方再结合同角三角函数基本关系即可得，则得到大小；方法二：利用二倍角的正弦、余弦公式得，则得到角大小；
（2）利用余弦定理得，再利用正弦定理得，再结合范围和正切函数的性质即可得到范围.
【小问1详解】
方法一：由得，两边同时平方可得：
，由，
整理得，解得或，
又，则.
方法二：，则，
得或，又，则，.
【小问2详解】
由（1）得，则，由题可知，则，
设，则，
由余弦定理有，所以，
由正弦定理有，
所以，
因为为锐角三角形，则得，
所以，则，
所以，
即取值范围为.

18. 近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设.
（1）如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;
（2）“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）
【答案】（1）(米)
（2）2022万元
【解析】
【分析】(1)根据图依次求出三条线段长度即可求出总长度;
(2)将PQ、PR、RQ三边通过图中的关系用关于的等式表示,再记经济总效益,将进行表示,通过辅助角公式化简求出最值即可.
小问1详解】
解:由题,
,同理,故,
由于点P位于弧BC的中点,所以点P位于的角平分线上,
则,
,
因为,,
所以为等边三角形,
则,
因此三条街道的总长度为（米）.
【小问2详解】
由图可知,
,
,
,
在中由余弦定理可知:
,
则,
设三条步行道每年能产生的经济总效益,则
,
当即时取最大值,
最大值为.
答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.
19. 对于一组向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
（1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围；
（2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”?给出你的结论并说明理由；
（3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．
【答案】（1）
（2）存在，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“长向量”的定义，列不等式，求的取值范围即可得；
（2）由题意可得，亦可得，故只需使，计入计算即可得；
（3）首先由，，均是向量组，，的“长向量”，变形得到，设,由条件列式，变形为，转化为求的最小值.
【小问1详解】
由题意可得：，则，解得：；
【小问2详解】
存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下：
由题意可得，
若存在“长向量”，只需使，
又，
故只需使
，即，即，
当或时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，；
【小问3详解】
由题意，得，，即，
即，同理，
，
三式相加并化简，得：，
即，，所以，
设，由得：，
设，则依题意得：，
得，
故，
，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
故.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，理解“长向量”的定义，前两问均是利用定义解题，第三问注意转化关系，关键是转化为.