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海南省海口市2024届高三下学期4月调研考试 数学 Word版含答案
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这是一份海南省海口市2024届高三下学期4月调研考试 数学 Word版含答案，共12页。试卷主要包含了已知椭圆，已知是双曲线，已知函数等内容，欢迎下载使用。
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
2.已知，设甲：，乙：，则（ ）
A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件
3.设，m是两条直线，，是两个平面，则（ ）
A.若，，，则B.若，，，则
C.若，，，则D.若，，，则
4.已知椭圆：的2个焦点与椭圆：的2个焦点构成正方形的四个顶点，则（ ）
A.B.C.7D.5
5.某记者与参加会议的5名代表一起合影留念（6人站成一排），则记者站两端，且代表甲与代表乙不相邻的排法种数为（ ）
A.72B.96C.144D.240
6.已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A.B.C.2D.-2
7.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A.B.C.D.-2
8.已知是双曲线：的右焦点，直线与C交于A，B两点.若的周长为，则C的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知甲、乙两组样本各有10个数据，甲、乙两组数据合并后得到一组新数据，下列说法正确的是（ ）
A.若甲、乙两组数据的平均数都为a，则新数据的平均数等于a
B.若甲、乙两组数据的极差都为b，则新数据的极差可能大于b
C.若甲、乙两组数据的方差都为c，则新数据的方差可能小于c
D.若甲、乙两组数据的中位数都为d，则新数据的中位数等于d
10.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A.B.的图象关于点中心对称
C.D.在上的值域为
11.已知为正项数列的前项和，，，则（）
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则的取值范围是_________.
13.已知圆：，点P在直线：上，过点P作的两条切线，切点分别为A，B.当最大时，___________.
14.在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的正切值为.若存在一个球与该正三棱台的每个面都相切，则此正三棱台的体积为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分】
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围.
16.（15分）
如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形.
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值.
17.（15分）
已知摊物线：的准线与轴的交点为，的焦点为F.经过点E的直线与分别交于A，B两点.
（1）设直线，的斜率分别为，，证明：；
（2）记与的面积分别为，，若，求.
18.（17分）
一次课外活动举行篮球投篮趣味比赛，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分.已知某同学连续投篮n次，总得分为X，每次投进的概率为，且每次投篮相互独立，
（1）时，判断与20的大小，并说明理由；
（2）时，求的概率分布列和数学期望；
（3）记的概率为，求的表达式.
19.（17分
已知函数，等差数列的前项和为，记.
（1）求证：的图象关于点中心对称；
（2）若，，是某三角形的三个内角，求的取值范围；
（3）若，求证：.反之是否成立?并请说明理由.
机密启用前
海口市2024届高三年级调研考试
数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。第9、11题每个正确选项2分；第10题每个正确选项3分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
解：（1）的定义域为，
当时，，所以在，上单调递增；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）由，得.
设，则.
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取最大值.
所以.
16.（15分）
（1）证：因为四边形是正方形，
所以.
因为平面平面，平面，
平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又因为，，，
所以平面.
（2）解：由（1）知，为直线与平面所成的角，
即
正方形的边长为2，
所以，，
所以.
（方法一）过点作，垂足为，
过点作，垂足为，连结.
因为平面，平面，
所以，
又平面，，
所以平面.
所以是在平面内的射影，
所以由三垂线定可知，，
所以是二面角的平面角.
在直角中，，，
所以，
所以，
即二面角的余弦值为.
（方法二）取的中点，连结.
因为，所以，
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面.
取的中点，则，
以，为基底，建立空间直角坐标系.
所以，，，
所以，.
设平面的法向量为，
则即取.
取平面的法向量，
设二面角的大小为，
则.
因为二面角为锐角，所以，
即二面角的余弦值为.
17.（15分）
解：（1）因为抛物线C的准线与x轴的交点为，
所以，即，
所以的方程为.
显然直线的斜率存在且不为0.
设直线：，，，
将直线方程与抛物线方程联立并消去，
得.
所以，，
所以
.
（2）不妨设，.
因为，.
又，解得，.
所以，
所以.
18.（17分）
解：（1）.
理由如下：记该同学投篮30次投进次数为，则.
若每次投进得分都为1分，则得分的期望为.
由题意比赛得分的规则知，连续投进时，得分翻倍，
故实际总得分必大于每次得分固定为1分的数学期望.
所以.
（2）X的可能取值为：0，1，2，3，7，且
；；
；；
.
所以，的概率分布列为
所以.
（3）投篮次得分为3分，有两种可能的情况：
情形一，恰好两次投进，且两次相邻；
情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻.
当时，情形二不可能发生，
故.
当时，情形一发生的概率为，
情形二发生是指，将次未投进的投篮排成一列，共有个空位，
选择其中3个空位作为投进的投篮，故概率为
，
所以
.
综上，
19.（17分）
解：（1）设的图象上任意一点，则，
点关于点，的对称点为.
因为，
所以点，在的图象上，
所以的图象关于点中心对称.
（2）若，，是某三角形的三个内角，
则，
又是等差数列，所以.
所以
.
不妨设，则，所以，
所以，
所以.
（3）因为是等差数列，且，
所以当时，，
所以.
.
所以，若，则成立.
反之不成立.
考虑存在等差数列，满足，则，
所以.
下面证明，存在，可以使得，且.
不妨设，因为，所以.
.
设，其中，
因为，，
所以存在，使得，
所以存在，使得，即，
但此时.
所以反之不成立.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
B
A
C
C
B
A
题号
9
10
11
答案
ABD
AC
ABD
0
1
2
3
7
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
2.已知，设甲：，乙：，则（ ）
A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件
3.设，m是两条直线，，是两个平面，则（ ）
A.若，，，则B.若，，，则
C.若，，，则D.若，，，则
4.已知椭圆：的2个焦点与椭圆：的2个焦点构成正方形的四个顶点，则（ ）
A.B.C.7D.5
5.某记者与参加会议的5名代表一起合影留念（6人站成一排），则记者站两端，且代表甲与代表乙不相邻的排法种数为（ ）
A.72B.96C.144D.240
6.已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A.B.C.2D.-2
7.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A.B.C.D.-2
8.已知是双曲线：的右焦点，直线与C交于A，B两点.若的周长为，则C的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知甲、乙两组样本各有10个数据，甲、乙两组数据合并后得到一组新数据，下列说法正确的是（ ）
A.若甲、乙两组数据的平均数都为a，则新数据的平均数等于a
B.若甲、乙两组数据的极差都为b，则新数据的极差可能大于b
C.若甲、乙两组数据的方差都为c，则新数据的方差可能小于c
D.若甲、乙两组数据的中位数都为d，则新数据的中位数等于d
10.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A.B.的图象关于点中心对称
C.D.在上的值域为
11.已知为正项数列的前项和，，，则（）
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则的取值范围是_________.
13.已知圆：，点P在直线：上，过点P作的两条切线，切点分别为A，B.当最大时，___________.
14.在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的正切值为.若存在一个球与该正三棱台的每个面都相切，则此正三棱台的体积为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分】
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围.
16.（15分）
如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形.
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值.
17.（15分）
已知摊物线：的准线与轴的交点为，的焦点为F.经过点E的直线与分别交于A，B两点.
（1）设直线，的斜率分别为，，证明：；
（2）记与的面积分别为，，若，求.
18.（17分）
一次课外活动举行篮球投篮趣味比赛，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分.已知某同学连续投篮n次，总得分为X，每次投进的概率为，且每次投篮相互独立，
（1）时，判断与20的大小，并说明理由；
（2）时，求的概率分布列和数学期望；
（3）记的概率为，求的表达式.
19.（17分
已知函数，等差数列的前项和为，记.
（1）求证：的图象关于点中心对称；
（2）若，，是某三角形的三个内角，求的取值范围；
（3）若，求证：.反之是否成立?并请说明理由.
机密启用前
海口市2024届高三年级调研考试
数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。第9、11题每个正确选项2分；第10题每个正确选项3分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
解：（1）的定义域为，
当时，，所以在，上单调递增；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）由，得.
设，则.
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取最大值.
所以.
16.（15分）
（1）证：因为四边形是正方形，
所以.
因为平面平面，平面，
平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又因为，，，
所以平面.
（2）解：由（1）知，为直线与平面所成的角，
即
正方形的边长为2，
所以，，
所以.
（方法一）过点作，垂足为，
过点作，垂足为，连结.
因为平面，平面，
所以，
又平面，，
所以平面.
所以是在平面内的射影，
所以由三垂线定可知，，
所以是二面角的平面角.
在直角中，，，
所以，
所以，
即二面角的余弦值为.
（方法二）取的中点，连结.
因为，所以，
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面.
取的中点，则，
以，为基底，建立空间直角坐标系.
所以，，，
所以，.
设平面的法向量为，
则即取.
取平面的法向量，
设二面角的大小为，
则.
因为二面角为锐角，所以，
即二面角的余弦值为.
17.（15分）
解：（1）因为抛物线C的准线与x轴的交点为，
所以，即，
所以的方程为.
显然直线的斜率存在且不为0.
设直线：，，，
将直线方程与抛物线方程联立并消去，
得.
所以，，
所以
.
（2）不妨设，.
因为，.
又，解得，.
所以，
所以.
18.（17分）
解：（1）.
理由如下：记该同学投篮30次投进次数为，则.
若每次投进得分都为1分，则得分的期望为.
由题意比赛得分的规则知，连续投进时，得分翻倍，
故实际总得分必大于每次得分固定为1分的数学期望.
所以.
（2）X的可能取值为：0，1，2，3，7，且
；；
；；
.
所以，的概率分布列为
所以.
（3）投篮次得分为3分，有两种可能的情况：
情形一，恰好两次投进，且两次相邻；
情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻.
当时，情形二不可能发生，
故.
当时，情形一发生的概率为，
情形二发生是指，将次未投进的投篮排成一列，共有个空位，
选择其中3个空位作为投进的投篮，故概率为
，
所以
.
综上，
19.（17分）
解：（1）设的图象上任意一点，则，
点关于点，的对称点为.
因为，
所以点，在的图象上，
所以的图象关于点中心对称.
（2）若，，是某三角形的三个内角，
则，
又是等差数列，所以.
所以
.
不妨设，则，所以，
所以，
所以.
（3）因为是等差数列，且，
所以当时，，
所以.
.
所以，若，则成立.
反之不成立.
考虑存在等差数列，满足，则，
所以.
下面证明，存在，可以使得，且.
不妨设，因为，所以.
.
设，其中，
因为，，
所以存在，使得，
所以存在，使得，即，
但此时.
所以反之不成立.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
B
A
C
C
B
A
题号
9
10
11
答案
ABD
AC
ABD
0
1
2
3
7
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海南省海口市2024届高三下学期4月调研考试数学试题： 这是一份海南省海口市2024届高三下学期4月调研考试数学试题，文件包含海口市数学调研试题参考答案pdf、海南省海口市2024届4月高三年级调研考试数学试题pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
海南省海口市2024届高三上学期摸底考试（一模）数学 Word版含答案： 这是一份海南省海口市2024届高三上学期摸底考试（一模）数学 Word版含答案，共12页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
