2024宁波高三下学期二模物理试题含解析

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（每题3分，共39分）
1. 物理关系式不仅反映了物理量之间的关系，也反映了单位间的关系，如关系式既反映了电压、电流和电阻之间的关系，也反映了V（伏）与A（安）和（欧）的乘积等效。现有物理量单位：m（米）、s（秒）、N（牛）、J（焦）、W（瓦）、C（库）、F（法）、A（安）、（欧）和T（特）．由它们组合成的单位都与电压单位V（伏）等效的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【详解】A．由可知单位与电压单位V等效，由可知单位与电压单位V不等效，故A错误；
B．由可知单位与电压单位V等效，由可知单位与电压单位V等效，故B正确；
C．由可知单位与电压单位V等效，由可知单位是力的单位，故C错误；
D．由可知单位是电流单位，由可知单位是力的单位，故D错误。
故选B。
2. 某研究小组在实验室内做外力作用下落体运动的研究，得到物体在竖直向下运动时的速度随下降高度变化关系，如图所示。已知，重力加速度。则（ ）
A. 物体做匀变速直线运动B. 下落过程中物体加速度不断减小
C. 下落过程中物体的机械能一直减小D. 物体在和处的机械能可能相等
【答案】D
【解析】
【详解】AB．由图可知，物体速度随位移均匀变化，可得
又
即物体的加速度与速度成正比，依题意物体速度一直在增加，所以加速度不断增加。故AB错误；
CD．依题意，，重力加速度，则物体所受外力与重力反向，竖直向上，由牛顿第二定律可得
外力先做负功，机械能减小，当 时，外力与重力同向，机械能开始增大，物体在和处的机械能可能相等，故C错误，D正确。
故选D。
3. 在力学发展的过程中，许多物理学家的科学发现推动了物理学的进步。对以下几位物理学家所作科学贡献的表述中，与事实不相符的是（ ）
A. 伽利略首先建立平均速度、瞬时速度和加速度等描述运动的概念
B. 胡克提出如果行星的轨道是圆形，太阳与行星间的引力与距离的平方成反比
C. 卡文迪许是测量地球质量的第一人
D. 伽利略根据理想斜面实验，得出自由落体运动是匀变速直线运动
【答案】D
【解析】
【详解】A．伽利略首先建立平均速度、瞬时速度和加速度等描述运动的概念，故A正确；
B．胡克提出如果行星的轨道是圆形，太阳与行星间的引力与距离的平方成反比，故B正确；
C．卡文迪许是测量地球质量的第一人。故C正确；
D．伽利略将斜面实验结论合理外推，证明了自由落体运动是匀变速直线运动，故D错误。
本题选与事实不相符的，故选D。
4. 如图所示，物块A放在直角三角形斜面体B上面，B放在弹簧上面并紧挨着竖直墙壁，初始时A、B静止．现用力F沿斜面向上推A，但A、B仍未动．下列说法正确的是（ ）
A. 施力后A、B之间的摩擦力一定比施力前大
B. 施力后B与墙面间的弹力可能与施力前相等
C. 施力后B与墙面间的摩擦力可能与施力前相等
D. 施力后A对B的作用力可能比施力前小
【答案】D
【解析】
【详解】A．对A物体，开始受重力、B对A的支持力和静摩擦力平衡，当施加F后，仍然处于静止，开始A所受的静摩擦力大小为，若，则A、B之间的静摩擦力大小还是等于，所以A、B之间的摩擦力可能不变，选项A错误；
B．以整体为研究对象，开始时B与墙面的弹力为零，施加力F后，B与墙面的弹力变为，弹力增大，选项B错误；
C．对整体分析，因为AB不动，弹簧的形变量不变，则弹簧的弹力不变，开始弹簧的弹力等于A、B的总重力，施加F后，弹簧的弹力不变，总重力不变，根据平衡条件可知B与墙之间一定有摩擦力，摩擦力大小等于力F在竖直方向的分力，方向竖直向下，选项C错误；
D．对A分析可知，施力前A受重力和B对A的作用力处于平衡，B对A的作用力大小等于A的重力，施力后A受重力、推力以及B对A的作用力，推力和B对A的作用力的合力等于A的重力，根据力的合成可知，B对A的作用力可能小于A的重力，再由牛顿第三定律可知，施力后A对B的作用力可能比施力前小，选项D正确。
故选D。
5. 如图所示，厨师在展示厨艺时，将蛋糕放置在一水平托盘上，并控制托盘做竖直平面内半径为的匀速圆周运动，托盘始终保持水平。蛋糕可视为质点，与托盘之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。若蛋糕始终与托盘保持相对静止，则托盘做匀速圆周运动的最大速率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设托盘给蛋糕最大静摩擦力为f，支持力为N，对于右上方可以列
两个式联立，当
时，速度有最大值，则解得
故选B。
6. 如图所示，将三根完全相同的轻质细杆，两两互成，连接到同一个顶点O，另一端分别连接到竖直墙壁上的A、B、C三个点，BC连线沿水平方向，是等边三角形，O、A、B、C点处，分别是四个可以向各个方向自由转动的轻质光滑饺链（未画出）。在O点用细绳悬挂一个质量为m的重物，则AO杆对墙壁的作用力为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】如图
根据题意，设，由于三根完全相同的轻质细杆，两两互成，则
过O、O'、A分别作AE、AB、BC的垂线，如上图，则
可得
由于ABC是等边三角形且，则
可得
，
对O点受力分析，可知BO与CO对O点的合力（设为F）沿EO方向。则O点受力可简化如下
由平衡条件得
联立解得
故选C。
7. 如图，用三根绝缘细绳把三个带同种电荷的小球悬挂在点。小球静止时，恰好位于同一竖直面。细绳与竖直方向的夹角分别为，已知小球的质量分别为，电荷量分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若小球的质量，则一定有
B. 若小球的质量，则可能有
C. 若小球所带电荷量，则一定有
D. 若小球所带电荷量，则一定有
【答案】B
【解析】
【详解】AB．对A受力分析，如图所示
为绳子的拉力，为B、C两球对A球的库仑力的合力，由平衡条件可知
同理对B、C分析，有
，
当，时，先假设，则由①②③可知
三个小球在水平面的受力如图所示
为O点在该水平面内的投影，设，则有
，，
由库仑定律可知，AB间的库仑力大于AC和BC间的库仑力，画出各球的受力分析图，则有
该结论与④式矛盾，所以假设是错误的。综上可知，当，，时，有。可以推理得知，为了保持平衡，C球应该更靠近点，此时有，故A错误，B正确；
CD．由①②③可知，的关系一定和小球的质量有关，故C、D错误。
故选B。
8. 2020年7月31日，北斗闪耀，泽沐八方。北斗三号全球卫星导航系统（如图甲所示）建成暨开通仪式在北京举行。如图乙所示为55颗卫星绕地球在不同轨道上运动的图像，其中T为卫星的周期，r为卫星的轨道半径，1和2为其中的两颗卫星。已知引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A. 地球的半径为B. 地球质量为
C. 卫星1和2运动的线速度大小之比为D. 卫星1和2向心加速度大小之比为
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】A．设地球质量为M，由万有引力提供向心力有
两边同时取对数，整理可得
当时，有
可知x0并不代表地球半径，选项A错误；
B．对比图像可知
解得
选项B错误；
C．由可得
选项C错误；
D．根据以及图乙可求得，卫星1和2向心加速度之比为，选项D正确。
故选D。
9. 如图所示，在直角坐标系中，先固定一不带电金属导体球，半径为，球心坐标为。再将一点电荷A固定在原点处，带电量为。、是轴上的两点，、两点对称地分布在轴两侧，点、、到坐标原点的距离均为，与金属导体球外表面相切于点，已知金属导体球处于静电平衡状态，为静电力常数，则下列说法正确的是（ ）
A. 图中各点的电势关系为
B. 金属导体球左侧感应出负电荷，右侧感应出正电荷，用一根导线分别连接左右两侧，导线中有短暂的电流
C. 金属导体球上的感应电荷在外表面处的场强大小，方向垂直于金属球表面
D. 金属导体球上的感应电荷在球心处产生的电场强度为，方向沿轴负方向
【答案】D
【解析】
【详解】A．由于感应电荷对场源电荷的影响，点电荷A左边电场小于右边的电场强度，根据
U=Ed
定性分析可知c点的电势小于a点的电势，b、c在同一等势面上，根据沿着电场线方向电势逐渐降低，可得
综上可得
故A错误；
B．金属导体球左侧感应出负电荷，右侧感应出正电荷，由于金属球是等势体，用一根导线分别连接左右两侧，导线中没有短暂的电流，故B错误：
C．点电荷A在d处的场强大小
金属导体球内部电场强度为零，则金属导体球内表面与d相同的点电场强度大小为，金属导体球外表面场强不为零，则金属导体球上的感应电荷在外表面处的场强大小不等于，故C错误；
D．点电荷A在处的场强大小
方向沿轴正方向，金属导体球内部电场强度为零，则金属导体球上的感应电荷在球心处产生的电场强度为，方向沿轴负方向，故D正确。
故选D。
10. 如图所示，磁感应强度大小为的匀强磁场中一矩形线圈绕垂直于磁场的轴匀速转动，转动角速度为，产生的电能通过滑环由单刀双掷开关控制提供给电路中的用电器。线圈的面积为，匝数为，线圈的总阻值为，定值电阻，理想变压器的原、副线圈匝数比为，电压表为理想电表。线圈由图示位置转过的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A. 若开关打到“1”，通过电阻的电荷量
B. 若开关打到“1”，电阻产生的热量
C. 若开关打到“2”，电压表的示数为
D. 若开关打到“2”，电阻产生的热量
【答案】C
【解析】
【详解】A．若开关打到“1”，线圈由图示位置转过的过程中，平均感应电动势为
又有
，
可得
故A错误；
BCD．根据题意可知，线圈由图示位置转过的过程的时间为
线圈转动产生感应电动势的最大值为
有效值为
若开关打到“1”，感应电流的有效值为
电阻产生的热量
若开关打到“2”，设电压表读数为，流过的电流为，则原线圈两端电压为
流过原线圈的电流为
则原线圈的等效电阻为
则有
则电压表读数
电阻产生的热量
故BD错误，C正确。
故选C。
11. 质量为的滑块沿倾角为、长度为的光滑斜面顶端静止滑下。斜面质量为，并静置于光滑水平面上，重力加速度为。滑块可看成质点，则滑块滑到斜面底端所用的时间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】滑块与斜面组成的系统在水平方向的合力为零，则系统水平方向的动量守恒，有
对滑块竖直方向
由能量关系可知
联立可得滑块滑到斜面底端所用的时间为
故选B。
12. 如图所示为一等腰梯形的特殊玻璃，其上表面长2m，下表面长6m，高2m，现用两束对称光分别从A、B点射入，并于C点聚焦。若C到玻璃下表面的距离D点为2.5m，AB的距离为3m，则该玻璃的折射率取值范围是（ ）
A. （1，）B. （1，）C. （1，2）D. （1，）
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】依题意，作出如图所示光路图
由折射定律可得
由几何知识可得
由题中提供数据可得，，，为了便于计算，设，则可得
由于，当时，代入上式，求得
故该玻璃的折射率取值范围是（1，），故选A。
13. 如图所示，在水平地面上用彼此平行、相邻间距为l的水平小细杆构成一排固定的栅栏。栅栏上方有一个质量为m、半径为的匀质圆板，圆板不会与地面接触。一根细长的轻绳穿过板的中央小孔C，一半在图的背面，一半在图的正面，绳的两头合在一起记为P端。在P端用力沿水平方向朝右拉动圆板，使板沿栅栏无跳动、无相对滑动地朝右滚动。圆板水平方向朝右的平均速度可近似处理为圆板中心C在最高位置时的速度大小v，设v是不变量。略去绳与板间所有接触部位的摩擦，施加于P端的平均拉力T为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】取栅栏中相邻两根小细杆A，B，板心C从位于杆A的正上方到位于杆B的正上方。圆板绕杆定轴转动惯量为
C位于A正上方时圆板动能为
C到达A、B杆连线中点正上方前瞬间，速度为，动能为
将圆板与杆完全非弹性碰撞后瞬间，绕杆的转动角速度记为，据角动量守恒，有
可得
则有
此时圆盘动能为
C转动B杆正上方时，速度又增为，由机械能定理得
联立以上各式，消去，可得
取近似
又有
代入上式，并忽略高阶小量，得
故A正确，BCD错误。
二、多选题（每题3分，共6分，全对得3分，部分选对得2分，有错不给分）
14. 在磁感应强度为B的匀强磁场中，一个静止的放射性原子核（X）发生了衰变放出了一个粒子。放射出的粒子（He）及生成的新核Y在与磁场垂直的平面内做圆周运动。粒子的运动轨道半径为R，质量为m和电荷量为q。下面说法正确的是（ ）

A. 衰变后产生的粒子与新核Y在磁场中运动的轨迹（箭头表示运动方向）正确的是图甲
B. 新核Y在磁场中圆周运动的半径
C. α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，环形电流大小为
D. 若衰变过程中释放的核能都转化为α粒子和新核的动能，则衰变过程中的质量亏损为
【答案】BD
【解析】
【详解】A．由于原子核X静止，根据动量守恒定律可知，放射出的粒子（He）及生成的新核Y在衰变初始位置的速度相反，根据左手定则可知，两者圆周运动的轨迹外切，根据
解得
由于衰变过程动量守恒，即大小相等，即电荷量越大，轨道半径越小，可知粒子的轨道半径大一些，可知衰变后产生的粒子与新核Y在磁场中运动的轨迹（箭头表示运动方向）正确的是图丙，故A错误；
B．根据质量数与电荷数守恒，该核反应方程为
由于质量为m和电荷量为q，则新核Y的质量为和电荷量为，根据上述有
，
由于动量守恒，即有
解得
故B正确；
C．α粒子圆周运动的周期
则α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，环形电流大小为
故C错误；
D．若衰变过程中释放的核能都转化为α粒子和新核的动能，则有
根据质能方程有
结合上述解得，衰变过程中的质量亏损为
故D正确。
故选BD。
15. 为振源，由平衡位置开始上下振动，产生一列简谐横波沿直线传播，、两点之间的距离为．点的左侧为一种介质，右一侧为另一种介质，波在这两种介质中传播的速度之比为3：4．某时刻波正好传到右侧处，且、均在波峰位置．则（ ）
A. 开始振动时方向可能向下也可能向上
B. 波在左侧的周期比在右侧时大
C. 右侧的波长为
D. 左侧的波长为
【答案】AD
【解析】
【分析】本题考查机械波传播的特点，以及机械波波长相关计算．
【详解】A．的起振方向与振源的起振方向相同，但题目未说明振源起振方向，所以的起振方向无法判断，即可能向下也可能向上，A正确；
B．机械波传播过程中，波的周期与振源振动周期相同，与介质无关，所以左右两侧周期相同，B错误；
C．若起振方向向下，则：
得 ，
若起振方向向上，则：
得，即有两种情况，C错误；
D．由 可知：
起振方向向下时，，起振方向向上时，，因、均在波峰，所以、之间有整数个波长，即 或都是整数，由数学知识可知，两式包含所有奇数，即可表示为 ，解得，D正确；故选AD．
三、实验题（每题7分，共14分）
16. 粘滞性是流体内部阻碍各流体层之间相对滑动的特性，又称内摩擦。液体内部以及液体与容器壁之间均存在粘滞力（又称内摩擦力），粘滞系数是表征流体内摩擦大小的物理量。在工程机械、石油石化和医药等领域，常常需要对试样的粘滞系数进行准确测量。对于粘滞系数较大且较透明的液体，常采用落球法测量其粘滞系数。较深透明容器中盛有密度为的均匀、静止的粘性液体，液面近似为无限宽广（忽略容器壁影响），密度为、半径为的均质小球以较慢的速度在该液体中下落（无转动），其受到的粘滞阻力满足斯托克斯公式：，上式中为小球的运动速度，即为该液体的粘滞系数。
（1）在液面处以静止状态释放小球，小球下落初段为变速运动，最终会趋于收尾速度。请给出小球下落过程速度的表达式（含，时间，和重力加速度）______并给出收尾速度的表达式（含和重力加速度）______。
（2）若用落球法测量甘油的粘滞系数时，测得小球的直径为，小球的密度为，小球在甘油中近似匀速下落的时间为，甘油的密度为，重力加速度为。请写出甘油的粘滞系数的计算公式______
（3）用落球法测量液体粘滞系数时，以下哪些因素在其他条件相同时会影响实验结果的准确性______
A. 小球的直径B. 液体的温度均匀性
C. 容器的尺寸D. 释放小球位置的上下偏差
（4）通常液体的粘滞系数强烈地依赖于温度，本题图是某三种液体样品的粘滞系数与温度的关系曲线。请写出你能从图中总结出的经验规律，并对图中粘滞系数与温度关系给出一种微观解释______。
（5）关于落球法测量液体粘滞系数实验的原理和可能出现的误差，下列说法中正确的是______
A. 小球在液体中下落时，受到的重力与浮力之差等于粘滞阻力
B. 小球在液体中下落时，应尽量选择较大的匀速区间和较小的容器直径
C. 小球释放时，应尽量选择圆管容器截面中心位置
D. 本实验应选择表面光滑些的小球
【答案】（1） ①. ②.
（2） （3）ABC
（4）见解析 （5）CD
【解析】
【小问1详解】
[1][2]小球进入透明液体后，根据牛顿第二定律
即
整理可得
两边积分可得
初始条件为（t=0,v=0）代入可得
当的速度为收尾速度
【小问2详解】
当达到最大速度后，小球匀速下降的位移s与时间的关系为
因此粘滞系数的计算公式
【小问3详解】
A．利用粘滞系数计算公式
可知小球的直径不同会影响实验结果的准确性，故A正确；
B．温度不同时，同种液体的粘滞系数会有所不同，会影响实验结果的准确性，故B正确；
C．容器的尺寸的大小、小球释放位置距离容器壁的远近，会影响液体流动的速度，从而影响实验结果的准确性，故C正确；
D．由于小球最终都会达到收尾速度，因此释放小球位置的上下偏差不会影响粘滞系数的结果，故D错误。
故选ABC。
【小问4详解】
从图中总结出的规律是：粘滞系数随温度升高而减小，室温下粘滞系数越大的液体随温度升高减小的更快，三种液体的粘滞系数大小关系始终不变，曲线没有交点。
微观解释：液体的粘滞力是相邻层间存在速度差时产生的一种内摩擦力。温度升高时，液体中分子的热运动加剧，分子间的距离增大，分子间的吸引力减小，从而降低了液体内部的摩擦力。因此，液体的粘滞系数随温度升高而降低，流动性增加。
【小问5详解】
A．小球在液体中匀速下落时，受到的重力与浮力之差等于粘滞阻力，A错误；
B．小球在液体中下落时，应尽量选择较大的匀速区间和较大的容器直径，B错误
C．为了减少不同方向液体流动速度不同，引起粘滞阻力的偏差，小球释放时，应尽量选择圆管容器截面中心位置，C正确；
D．为了减少小球本身粗糙而引起的阻力，本实验应选择表面光滑些的小球，D正确；
故选CD。
17. 1911年荷兰物理学家昂纳斯首次发现当温度降到时，汞的电阻突然降到零。此后，科学家们持续开展超导研究，不断提升超导材料的转变温度。2023年3月杂志发表了美国罗切斯特大学研究团队的成果，他们宣布在（1万大气压）下实现了材料近室温超导转变，随后我国研究人员也在杂志上发文，否定了的高压室温超导的结论。室温超导一旦实现，将会引起一场新的科技革命，推动人类文明的进步。超导体在临界温度下会进入超导态，表现出零电阻、完全抗磁性等性质。
（1）一般通过超导材料的电阻—温度关系确定超导体的临界温度。本题图是某种超导材料的电阻—温度曲线。通常把将样品电阻降至时的温度定义为超导转变临界温度是超导转变开始时样品的正常态电阻，如本题图a所示。本题图b是一种材料的升降温曲线（升降温速率），本题图c是其局部放大曲线。请在本题图c上用上、下箭头标注对应的升、降温测量曲线______，并选择升温的电阻—温度曲线，确定该材料的超导转变临界温度______。
（2）本题图是超导体处于超导态的曲线。进入超导态后，超导体可承受的电流是否有上限______
A.有上限； B.无上限。
（3）测量超导材料的电阻—温度曲线时温度变化范围大，常采用热电偶测温。
热电偶测温的工作原理如下：金属导线和的一端焊在一起用作测温端。它们的另一端各与同种材料的两根导线连接，并将连接点放入温度已知的恒温槽里，用作参考端。用高精度电压表或电位差计从材料导线的两个引出端即可测量热电偶由下式表示的温差电动势：，式中是塞贝克系数，由材料组分决定，是测温端温度，是参考端温度。实验室常用的低温热电偶是型热电偶，由铜和铜镍合金两种材料组成。根据事先标定好的数据，由温差电动势可以获得待测端温度。
（4）在实验过程中，测温端经常会断开，是否可以使用电烙铁及焊锡将两端焊在一起进行汞超导转变温度测量______
A.可以； B.不可以。
（5）厂家一般提供的是基于参考端为的热电偶的温差电势—温度转换表，实际应用时，参考端一般浸入冰水混合物。如果在高、低海拔地区分别用该热电偶测量同样的温度，测量误差哪个大______
A.高海拔地区； B.低海拔地区
（6）参考端的温度还可用测量精度高但范围窄的热敏电阻温度计进行测量。本题图是一种热敏电阻的伏安曲线，选用该电阻制作的温度计，应该让其工作在什么电流区间？本题图b是该热敏电阻的电阻—温度特性曲线，该热敏电阻具有下列哪些特点______
A.正电阻温度系数； B.负电阻温度系数；
C.低温区对温度灵敏； D.高温区对温度灵敏。
【答案】 ①. ②. #### ③. A ④. B ⑤. A ⑥. BC##CB
【解析】
【详解】（1）[1][2]对应的升、降温测量曲线，如图
由图结合题意该材料的超导转变临界温度约为。
（2）[3]从图可见电流最后趋于一稳定值，所以进入超导态后，超导体可承受的电流有上限。
故选A。
（4）[4]铁及锡的熔点比较低，不能使用电烙铁及焊锡将两端焊在一起进行汞的超导转变温度测量。
故选B。
（5）[5]高海拔地区温度比低，所以在高、低海拔地区分别用该热电偶测量同样的温度，高海拔地区测量误差大。
故选A。
（6）[6]由图可见该热敏电阻的电阻随温度升高，逐渐减小，所以有负电阻温度系数。并且可见在低温区，相同的变化温度，电阻变化越大，所以低温区对温度灵敏。
故选BC。
四、解答题（共39分）
18. 如图，两个侧壁绝热、顶部和底部都导热的相同气缸直立放置，气缸底部和顶部均有细管连通，顶部的细管带有阀门K，两气缸的横截面积均为，容积均为，气缸中各有一个绝热活塞，左侧活塞质量是右侧的1.5倍。开始时K关闭，两活塞下方和右活塞上方均充有气体（可视为理想气体），活塞下方气体压强为，左活塞在气缸正中间，其上方为真空，右活塞上方气体体积为。现使气缸底与一热源接触，热源温度恒为，平衡后左活塞升至气缸某一位置；然后打开K，经过一段时间，重新达到平衡。已知外界温度为，不计活塞体积及与气缸壁间的摩擦。求：
（1）开始时右活塞上方气体压强；
（2）接触恒温热源后且未打开K之前，左活塞上升的高度H；
（3）打开阀门K后，重新达到平衡时左气缸中活塞上方气体的体积。

【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【详解】（1）对左侧活塞，由平衡得
对右侧活塞，由平衡得
解得
（2）打开k前，下部分气体由等压变化得
解得
（3）打开k后，设上部分气体压强为，下部分气体压强为，对上部分气体，由等温变化得
对下部分气体，由于左侧上部分压强变大，则左侧活塞下降，右侧活塞上升，直到顶端，此时下部分气体的压强
由等温变化
解得
此时右侧活塞运动到气缸的顶部，所以左气缸中活塞上方气体的体积
19. 如图所示，静置于光滑平面的一质量为 的物体上有一个向下凹陷的旋转椭球面。其竖直方向截面的椭圆的半长轴为b，半短轴为a。在其边缘从静止释放一个质量为m的小球。忽略所有可能的摩擦。
（1）当小球从静止释放后相对地面的位移为x的时候，求小球相对于地面的速度大小。
（2）请接着求出小球的加速度。
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】考虑小球向右的水平位移为q，椭圆坑向左的水平位移为
考虑到水平方向上动量守恒
所以我们可以得到小球相对地面的运动轨迹方程
继续考虑水平方向动量守恒
同时考虑到系统机械能守恒
又同时考虑到速度方向总是沿着切线
联立后就得到
#6
其中
显然
所以
考虑到
又有
带入后得到
20. 磁悬浮列车是一种高速运载工具。它具有两个重要系统。一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触。另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组（线圈）中，通上三相交流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力。为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由，我们求解下面的问题。设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度B随时间t和空间位置x变化规律为式中、、均为已知常量，坐标轴x与轨道平行。在任一时刻t，轨道平面上磁场沿x方向的分布是不均匀的，如图所示。图中Oxy平面代表轨道平面，“×”表示磁场的方向垂直Oxy平面指向纸里，“· ”表示磁场的方向垂直Oxy平面指向纸外。规定指向纸外时B取正值。“×”和“· ”的疏密程度表示沿着x轴B的大小分布。一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框MNPQ处在该磁场中，已知与轨道垂直的金属框边MN的长度为，与轨道平行的金属框边MQ的长度为d，金属框的电阻为R，不计金属框的电感。
（1）试求在时刻t，当金属框的MN边位于x处时磁场作用于金属框的安培力，设此时刻金属框沿x轴正方向移动的速度为。
（2）试讨论安培力的大小与金属框几何尺寸的关系。
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【详解】（1）题给的磁场随时间和空间的变化具有周期性，在某时刻，磁场的空间分布为

在时刻，磁场的空间分布为

比较上面两式，不难看出，和这两个时刻的磁场的空间分布规律是相同的，只是时刻原位于处的磁场，经历时间，在时刻，出现在处。即整个磁场的分布经时间间隔沿x轴的正方向平移了一段距离

平移速度
（1）
平移速度为恒量。由此可见，题给出的磁场可视为一在空间按余弦规律分布的非均匀磁场区域以速度沿x轴的正方向平移。如果金属框移动的速度小于磁场区域平移的速度，那么通过金属框的磁通将随时间发生变化，从而在金属框中产生感应电流，感应电流将受到磁场的安培力作用。
由题已知，在时刻t，金属框移动的速度为，金属框MN边位于坐标x处，PQ边位于坐标处。设此时金属框的磁通为（规定由纸内到纸外为正）；经过一很短的时间间隔，整个磁场分布区域向x方向移动了一段距离，金属框向x方向移动了一段距离，其结果是：MN边左侧穿过面积为的磁通移进了金属框，PQ边左侧穿过面积为的磁通移出了金属框，故在时刻，通过金属框的磁通为

在时间间隔内，通过金属框的磁通增量为
（2）
规定框内的感应电动势沿顺时针方向（沿回路MNPQM方向）为正，由电磁感应定律，可得t时刻的感应电动势
（3）
规定金属框内的感应电流沿顺时针方向（沿回路MNPQM方向）为正，可得t时刻的感应电流为
（4）
磁场对于上下两边NP和MQ的安培力的大小相等，方向相反，二者的合力为零。规定向右的力为正，则磁场作用于金属框MN边的安培力为；由于PQ边和MN边的电流方向相反，磁场作用于金属框PQ边的安培力为 ，故金属框的安培力的合力
（5）
由（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式及题给定的磁场分布规律，得
（6）
利用三角学公式，得
（7）

称为安培力的幅度。从（7）式可以看出，安培力在的幅度内随时间变化，但其值不会小于零，表示磁场作用于金属框的安培力始终向右。
（2）讨论安培力的大小与线框几何尺寸的关系就是讨论与线框几何尺寸的关系。与金属框长度l的平方成正比，与金属框的宽度d有关。
当， 即
（8）
得
（9）
当，即
（10）
达最大值
（11）
当d取其它值时，介于0与最大值之间。
21. 图甲中为带电粒子发射源，从中可持续不断地射出质量、电荷都相同的带正电的粒子流，它们的速度方向都沿图中虚线，速度的大小具有一切可能值但都是有限的.当粒子打在垂直于的屏上时，会在屏上留下永久性的痕迹.屏内有一与虚线垂直的坐标轴，其原点位于屏与虚线的交点处，的正方向由指向.虚线上的、两处，各有一电子阀门和.阀门可以根据指令开启或关闭.开始时两阀门都处于关闭状态，挡住粒子流.、是两块较大的平行金属平板，到虚线的距离都是，板接地，在两板间加上如图乙所示的周期为的交变电压，的正向最大值为，负向最大值为.已知当带电粒子处在两平板间的空间时，若两平板间的电压为，则粒子在电场作用下的加速度、电压的半周期和平板到虚线的距离满足以下关系：
.
已知、间的距离、到金属板左端的距离、金属板的长度以及金属板右端到屏的距离都是.不计重力的作用.不计带电粒子间的相互作用.打开阀门前粒子被阀门吸收，不会影响以后带电粒子的运动.只考虑、之间的电场并把它视为匀强电场.
（1）假定阀门从开启到关闭经历的时间比小得多，可忽略不计.现在某时刻突然开启阀门，又立即关闭；经过时间，再次开启阀门，又立即关闭；再经过时间，第次开启阀门的同时开启阀门，立即同时关闭、.若以开启阀门的时刻作为图乙中的时刻，则求屏上可能出现的粒子痕迹的坐标.
（2）假定阀门从开启到关闭经历的时间，现在某时刻突然开启阀门，经过时间立即关闭；从刚开启的时刻起，经过时间，突然开启阀门，经过时间关闭.若以刚开启阀门的时刻作为图乙中的时刻，则从处射出的具有最大速率的粒子射到屏上所产生的痕迹的坐标为多少？具有最小速率的粒子射到屏上所产生的痕迹的坐标为多少？
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】（1）当阀门第次开启时，具有各种速率的粒子（称为第一批粒子）从处进入、之间，在第次开启时刻，第一批粒子中速率为的粒子正好射到处，被阀门挡住.与此同时，第二批具有各种速率的粒子从处进入、之间.在阀门第次开启的时刻，第一批进入、之间的粒子中速率为的粒子与第二批进入、间的粒子中速率为的粒子同时到达处，因此时阀门已开启，这些粒子都从处沿虚线射向两平行板，而第三批进入、之间的粒子在它们到达处时，被挡住.由此可知，能从处射向两平行板的粒子具有和两种不同的速率.
根据题意，粒子从处射出的时刻为，故速率为的粒子在时刻进入两平行板之间，由图乙可知，两板间的电压为
.
粒子在两板间的电场作用下的加速度为，粒子通过两板经历的时间为
.
在时间内粒子在方向获得的分速度和位移分别为
，
.
因，故，表明速率为的粒子能穿出平板，粒子穿出平板后做匀速运动.在从射出平板至射到屏的时间内，粒子在方向的位移为
.
粒子在屏上产生的痕迹的坐标为
.
速率为的粒子在时刻
进入两平行板之间，由本题图乙可知，两板间的电压为
.
粒子在电场作用下的加速度为，粒子通过两板经历的时间为
.
因为两板间的电压在时间内由变为，粒子的加速度亦将从变成，由此可求得在时间内粒子在方向获得的分速度和位移分别为
，
.
因，故，表明速率为的粒子亦能穿出平板.粒子穿出平板后做匀速运动.在从射出平板至射到屏的时间内，粒子在方向的位移
.
粒子打在屏上产生的痕迹的坐标为
.
即粒子在屏上产生的痕迹是两个点，它们的坐标分别为和.
（2）由于阀门从开启到关闭要经历一段时间，在阀门开启到关闭经历的时间间隔内的不同时刻，都有各种不同速率的粒子从处进入、之间，有的早进入，有的晚进入.由于阀门从开启到关闭也要经历一段时间，粒子可能在最早的时刻即的时刻从处射出，也可能在最晚的时刻即时刻从处射出.在刚开启的时刻从处射入、之间，并在时刻从处射出的粒子的速率最小，这最小速率为
.'
在阀门刚要关闭时刻从处进入、之间，并在的时刻从处射出的粒子的速率最大，这最大速率为
.
在时刻从处射出的速率为的粒子在时刻
进入两平板之间，在时刻
离开两平板.由本题图乙可知，在到时间内，两板间的电压为，在到时间内，两板间的电压为，与电压对应的粒子的加速度分别为和.在粒子通过平板的时间内，粒子在方向获得的分速度和位移分别为
，
.
粒子穿出平板后做匀速运动.从射出平板至射到屏的时间内，粒子在方向的位移为
.
粒子在屏上产生的痕迹的坐标为
.
根据题意，代入数据得
.
在时刻从处射出的速度为的粒子在时刻
进入两平板之间，在时刻
离开两平板，由本题图乙可知，在到时间内，两板间的电压为，在到时间内，两板间的电压为，与电压对应的粒子的加速度分别为和.在粒子通过平板的时间内，粒子在方向获得的分速度和位移分别为
，
.
粒子穿出平板后做匀速运动，在从射出平板至射到屏的时间内，粒子在方向的位移为
.
粒子在屏上产生的痕迹的坐标为
.
根据题意，代入数据得：.
由以上分析可知，速率最小和速率最大的粒子打在屏上产生的痕迹是位于轴上的同一点.
本题是第届全国中学生物理竞赛的决赛试题.
本题信息量大，研究的对象也不是十分确定，粒子的运动过程覆盖了几个不同条件的子过程，试题本身的运算量也很大，是一道难度偏高的试题.
如果从竞赛大纲所约定的内容看，复赛与决赛在知识层面上并没有太大的差别.但从历年的竞赛试题来看，当年的决赛试题肯定是要比复赛试题难上一个档次的，而这个难度，很多上年份便体现在试题涉及过程的多少，计算量的大小，模型的复杂程度上.
必须说明一点，复赛与决赛难度在不同的年份往往是不具备可比性的，不排除某个年份的复赛试题的总体难度要高于其他年份的决赛试题的难度的可能性，但这并不影响竞赛的选拔功能，同学们对此不应过于纠结，应保持良好的心态.