2024年通用版高考数学二轮复习专题7.2 等比数列及求和(教师版)

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题型一基本量的计算
例1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在等比数列中，，则“”是“数列的公比为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】结合等比数列的通项公式，充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】设等比数列的公比为，
由，，得，则；
由，，得．
故“”是“数列的公比为”的必要不充分条件．
故选：B
例2．（2023春·高三课时练习）在等比数列中，公比为q，前n项和为.
(1) ，，求n；
(2)，求及.
【答案】(1)6
(2)，
【分析】（1）由等比数列前n项和公式与通项公式可解；
（2）等比数列前n项和公式列方程组，解方程组可解.
【详解】（1）显然，由，即，
解得，又，即，所以.
（2）由知，由题意得 ，
两式相除得，得，，
所以， .
练习1．（2023春·高二课时练习）在等比数列中．
(1)若，，，求和；
(2)已知，，求.
【答案】(1)，.
(2)或
【分析】（1）（2）由等比数列通项公式和前项和公式列方程组求解即可.
【详解】（1）由得，解得，
又由得，解得.
所以，.
（2）显然，则，，
两式相除得，解得，
时可解得，则；
时可解得，则.
所以或
练习2．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{}的前n项和为，若，则=（ ）
A．64B．81C．128D．192
【答案】B
【分析】根据等比数列性质结合求和公式，基本量运算，写出通项公式即得.
【详解】由等比数列的性质可知，所以，
由，得，所以，解得或（舍去），
所以.
故选：B.
练习3．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考期中）已知等比数列满足，，若的前n项和，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】根据等比数列的通项公式求出公比与，再根据等比数列的求和公式列式求解.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，所以，解得，
所以.
因为，所以，
所以,解得.
故选:A.
练习4．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，若其前k项和为86，则________．
【答案】
【分析】由题意可知是以为首项，公比为的等比数列，由等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】由可得：，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以其前k项和为，
故，即.
故答案为：
练习5．（2023·甘肃金昌·统考模拟预测）在等比数列中，是数列的前项和．若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式列方程求解.
【详解】设的公比为，
则，解得，
由，解得，
所以，
解得.
故选：C
题型二等比中项及等比数列项的性质
例3．（2023春·高二课时练习）已知等比数列的前项和为，且，，求.
【答案】或
【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出、的值，利用等比数列求和公式可求得的值.
【详解】解：设等比数列的公比为，则，
由等比数列的性质可知，解得，
当时，，这与矛盾，
所以，，则，所以，，解得.
①当时，，此时；
②当时，，此时.
综上所述，或.
例4．（2023春·高三课时练习）已知数列为等比数列.
(1)若，且，求的值；
(2)若数列的前三项和为168，，求，的等比中项.
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）利用等比数列的性质计算即可；
（2）利用等比数列前n项和公式结合等比通项公式求出，再利用等比中项定义求解即可.
【详解】（1）因为，所以，即，
又，所以；
（2）设等比数列{a}的公比为q，因为，所以.
由已知得，即，解得，
若G是，的等比中项，则有，
所以，所以，的等比中项为.
练习6．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列为等比数列，则（ ）
A．数列，，成等比数列
B．数列，，成等比数列
C．数列，，成等比数列
D．数列，，成等比数列
【答案】BD
【分析】根据比数列的定义，逐一判断选项.
【详解】设等比数列的公比为，
A.由等比数列的性质知，，当时，，故A错误；
B.可知数列，，每项都不为0，且，故B正确．
C.当数列为1，，1，，1……时，，故C错误；
D.数列，，的每一项都不为0，且，故D正确.
故选：BD
练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列、满足.其中是等差数列，若，则_____________.
【答案】1011
【分析】根据等差数列的性质以及对数的运算求得，进而求解结论.
【详解】数列、满足.其中是等差数列，，
为等差数列，设公差为，则，，则，故为等比数列，
，
.
故答案为：1011.
练习8．（2022·高三课时练习）已知等比数列的首项为2，前项满足，，则正整数m＝______.
【答案】4
【分析】利用等比数列的性质先求出公比，再由等比数列前项和列出，即可得到答案
【详解】解：因为等比数列的前项满足，，
所以，所以公比，
所以，解得，
故答案为：4
练习9．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则数列前n项和为______.
【答案】
【分析】由已知求的通项公式，进而可得的通项公式，再求的通项公式并判断数列的性质，应用等差数列前n项和公式求前n项和.
【详解】由题意，，由等比数列的性质可得，解得，
∴，解得，
，则，则数列为等差数列，
，故，
，
故答案为：
练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列的前项和､前项和､前项和分别为､､，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】主要考察等比数列的性质，字母为主，对学生的抽象和逻辑思维能力要求比较高。
【详解】当时，
当时，
对于A, 当时，
故A错，
对于B, 当时，，故B错，
对于C, 当时，，故C错，
对于D, 当时，，
，
当时，
则，故选项正确，
故选：D
题型三等比数列的判定与证明
例5．（2023·山东潍坊·三模）已知数列和满足．
(1)证明：和都是等比数列；
(2)求的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，两式相加、相减，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得，，即可求出和的通项公式，从而得到，再利用分组求和法及等边数列求和公式计算可得.
【详解】（1）因为，，
所以，，
又由，得，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得，，
所以，，
所以，
所以．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．证明：数列是等比数列；
【答案】证明见解析
【分析】由可得，即可证明结论.
【详解】由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
练习11．（2023春·湖北·高三武汉市第四十九中学校联考期中）记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出数列为等比数列的条件是（ ）．
A．B．C．D．是等比数列
【答案】C
【分析】用与的关系，求出通项公式，根据等比数列的定义，即可判断正误.
【详解】对于A，已知，所以，
所以，
，不符合上式，A选项错误；
对于B，已知，当首项为零时，不符合题意，B选项错误；
对于C，已知，所以，
则
所以，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，C选项正确；
对于D，已知是等比数列，则设的通项公式为
则，
不符合等比数列的通项公式，D选项错误；
故选：C.
练习12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，．证明：数列为等比数列；
【答案】证明见解析
【分析】由已知及，求得的递推关系，可证得为等比数列.
【详解】（1）由题意，当时，，得，解得．
由题意知，①
当时，，②
①-②得，因为，所以．
则，∵，∴
所以是以为首项，2为公比的等比数列．
练习13．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知数列满足：.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，利用等比数列的定义证明即可；
（2）先利用（1）中结论求出数列的通项公式，再利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）设，则，且，
因为，所以，
即是以4为首项，2为公比的等比数列，
则数列是等比数列.
（2）由（1）知，则，即，
则，
，
两式相减得：，
所以.
练习14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，若．
(1)证明：为等比数列．
(2)求的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用条件变形化简得到，根据等比数列的定义即可得到证明；
（2）利用（1）中的条件，求出，再结合条件即可得出结果.
【详解】（1）由题意知
，
所以为等比数列．其首项，．
（2）由（1）可知，又，
所以．
练习15．（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期5月质量检测数学试题）（多选）数列中，．则下列结论中正确的是（ ）
A．是等比数列B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由已知递推关系式，可得，则可得到 是等比数列，进而得到，再利用累加法得到，然后逐项判断．
【详解】因为数列中，，所以，即，
则是以为首项，以为公比的等比数列，所以，故A正确；
由累加法得，所以，从而，故B不正确；
当为奇数时，是递增数列，所以，
当为偶数时，是递减数列，所以，所以，故C正确；
又，，所以，故D不正确.
故选：AC.
题型四等比数列前项和的性质
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，且，则___________.
【答案】120
【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案.
【详解】因为在等比数列中，若项数为，则，
所以
.
故答案为：120
例8．（2023春·高二课时练习）在等比数列中，若，则 ________.
【答案】28
【分析】由等比数列性质：也成等比数列可解此题.
【详解】由数列是等比数列，且易知公比，
所以也构成等比数列，即构成等比数列，
从而可得，解得或，
又，
所以.
故答案为：28
练习16．（2022春·辽宁·高三辽阳县第一高级中学校联考阶段练习）（多选）已知等比数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为等比数列
B．数列，，，…为等比数列
C．数列，，，，…为等比数列
D．数列，，，…为等比数列
【答案】AB
【分析】按照等比数列的定义及性质依次判断4个选项即可.
【详解】由等比数列的定义可知，数列每项乘以一个不为0的常数构成的数列为等比数列，A正确；
等比数列中等距离项构成的数列为等比数列，B正确；
因为构成一个等差数列，所以当时不能构成等比数列，C错误；
，此时不能构成等比数列，D错误.
故选：AB.
练习17．（2023春·安徽宿州·高三江西省泰和中学校联考期中）（多选）已知等比数列中，满足，，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是递增数列
C．数列是等差数列D．数列中，，，仍成等比数列
【答案】AC
【分析】根据等比数列的定义以及性质即可根据选项判断ABC,由，成等比数列即可判断D.
【详解】由题意可知，
对于A,,所以，故，所以为等比数列，故A正确，
对于B,，，所以为等比数列，且公比为，首项为1，故是递减数列，
对于C,，所以为公差为1的等差数列，故C正确，
对于D,所以，成等比数列，，，不成等比数列，故D错误，
故选：AC
练习18．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式，求由其奇数项所组成的数列的前项和．
【答案】．
【分析】判断出是等比数列，所以其奇数项也成等比数列，确定其首项和公比，直接利用等比数列的前项公式求和即可．
【详解】由，得．又因为，
所以是等比数列，其公比，首项．
所以的奇数项也成等比数列，公比为，首项为，
所以．
练习19．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）（多选）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）．
A．若数列为等差数列，则恒成立
B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
C．若数列为等比数列，且，，则
D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
【答案】BD
【分析】根据等差数列的性质判定AB选项，根据等比数列的性质判定CD选项.
【详解】若数列为等差数列，不妨设其公差为d,则,
显然当才相等，故A错误，
而，作差可得成立，故B正确；
若数列为等比数列，且，，设其公比为q，
则，作商可得或所以 或，故C错误；
由题意得各项均不为0，而实数范围内，，
即且，结合选项B的计算可得，故D正确.
故选：BD.
练习20．（2023春·山东德州·高二统考期中）已知为等比数列的前n项和，，，则的值为（ ）
A．85B．64C．84D．21
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质，即可计算求解.
【详解】设等比数列的公比为，由题意可知，，得，
，
所以.
故选：A
题型五等比数列中的单调，最值问题
例9．（2023·山西忻州·统考模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， _______________．
【答案】6
【分析】利用题意的等式得到数列的公比，继而求出首项，即可得到通项公式，判断数列的单调性和符号，即可求解
【详解】在等比数列中，，，
所以公比，
所以，解得，故，
易得单调递减，且，
因为，，
所以当时，，当时，，
所以当取得最大值时，．
故答案为：6
例10．（2023·四川自贡·统考三模）等比数列公比为，若，则“数列为递增数列”是“且”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】由等比数列及已知，要为递增数列只需在上恒成立，讨论、、，结合的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.
【详解】由题设且，要为递增数列，只需在上恒成立，
当，不论取何值，总存在，不满足要求；
当，
，则，不满足要求；
，总存在，不满足要求；
当，
，则，不满足；
，若，，显然，即，不满足；
，则在上恒成立，满足.
所以为递增数列有且.
所以，“数列为递增数列”是“且”的充分不必要条件.
故选：B.
练习21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，是等比数列的前n项和，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求的最大值和最小值．
【答案】(1)，；
(2)最大值16，最小值8
【分析】（1）根据给定的条件，求出等差数列的首项及公差，等比数列公比求解作答.
（2）由（1）可得，再分为奇数与偶数时，结合的单调性求解即可.
【详解】（1）设等比数列的公比为，因，，则，解得，即有，
设等差数列的公差为，因，，则，解得，即，
所以数列，的通项公式分别为，.
（2）由（1）知，，
当时，，此时数列是递减的，恒有，此时；
当时，，此时数列是递增的，恒有，此时；
综上可得，的最大值为16，最小值为8.
练习22．（2023·全国·高三专题练习）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．数列无最大值
【答案】B
【分析】由题分析出，可得出数列为正项递减数列，结合题意分析出正项数列前项都大于，而从第项起都小于，进而可判断出各选项的正误.
【详解】当时，则，不合乎题意；
当时，对任意的，，且有，可得，
可得，此时，与题干不符，不合乎题意；
故，故A错误；
对任意的，，且有，可得，
此时，数列为单调递减数列，则，
结合可得，
结合数列的单调性可得
故，
，
∴，
故B正确；
是数列 中的最大值,故CD错误
故选：B.
练习23．（2023·广西·统考模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】利用等比数列的通项公式及函数的单调性，结合数列的单调性即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，有，
由函数单调递增，且，可得.
有，由数列单调递减，
所以取得最大值时的值为9，
故选：B.
练习24．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（ ）
A．数列的最大项为B．数列的最小项为
C．数列为严格递增数列D．数列为严格递增数列
【答案】D
【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误.
【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，；
当为奇数时，，，最大；
综上所述：数列的最大项为，A正确；
对于B，当为偶数时，，，最小；
当为奇数时，；
综上所述：数列的最小项为，B正确；
对于C，，，
，
，，，
数列为递增数列，C正确；
对于D，，，
；
，，，又，
，数列为递减数列，D错误.
故选：D.
练习25．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】BD
【分析】根据给定的条件分析公比q的符号和大小，再逐项分析.
【详解】由题意，同号，即与同号，， 又有…①或…②；
若为①，则有 ，即；
若为②，则有，则不可能大于1，即②不成立；
，并且，，即是递减的正数列， A错误；
所以，B正确；
，即对任意的n都成立，C错误；
当时，，当时，，是的最大值，D正确；
故选：BD.
题型六等比数列的简单应用
例11．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设该马第天行走的里程数为，分析可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求出的值，即可求得的值.
【详解】设该马第天行走的里程数为，
由题意可知，数列是公比为的等比数列，
所以，该马七天所走的里程为，解得.
故该马第五天行走的里程数为.
故选：D.
例12．（2023·广东广州·统考模拟预测）小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由条件确定每年的存款的本息和，再利用错位相减法求六年的本息和即可.
【详解】设第年的存款到取出时的本息和为（千元），，
则，，，，
，，
所以小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数为：
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：D.
练习26．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.” 则此人在第六天行走的路程是__________里（用数字作答）.
【答案】6
【分析】根据题意分析，看成首项，公比的等比数列，已知，继而求出，即可得出答案.
【详解】将这个人行走的路程依次排成一列得等比数列，
，其公比，令数列的前n项和为，
则，而，
因此，解得，
所以此人在第六天行走的路程（里）.
故答案为：6
练习27．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（ ）
A．斗B．斗
C．斗D．斗
【答案】A
【分析】根据等比数列的通项公式与前项和公式计算．
【详解】由题意记10人每人所得玉米时依次为，则时，，，即是等比数列，
由已知，，
（斗）．
故选：A．
练习28．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考期中）某公司为庆祝公司成立9周年，特意制作了两个热气球，在气球上写着“9年耕耘，硕果累累”8个大字，已知热气球在第一分钟内能上升30m，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70m高度至少要经过（ ）
A．3分钟B．4分钟C．5分钟D．6分钟
【答案】B
【分析】设表示热气球在第n分钟内上升的高度，由条件求出数列的通项公式，再由求前项和，由条件求气球上升到70m高度时所需时间即可.
【详解】设表示热气球在第n分钟内上升的高度，
由已知．
所以前秒热气球上升的总高度，
因为，
所以数列为单调递增数列，
又，，
所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70高度，
故选：B．
练习29．（2023·四川·校联考模拟预测）“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且，则这127个正方形的周长之和为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】确定不同边长的正方形的个数，构成等比数列，求出不同正方形的种数，结合正方形的边长构成以8为首项，为公比的等比数列，即可求得答案.
【详解】依题意可知，不同边长的正方形的个数，构成以1为首项，2为公比的等比数列，
故令，即，
即有7种边长不同的正方形，
又因为正方形的边长构成以8为首项，为公比的等比数列，
故边长为8的正方形有1个，边长为的正方形有2个，
边长为4的正方形有4个，边长为的正方形有8个，
边长为2的正方形有16个，边长为的正方形有32个，
边长为1的正方形有64个，
这127个正方形的周长之和为
，
故选：A
练习30．（2023春·湖北孝感·高三校联考阶段练习）为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（ ）元（参考数据：，）
A．35200B．43200C．30000D．32000
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，再由等比数列的通项公式即可得到结果.
【详解】设2022年6月底小王手中有现款为元，
设2022年6月底为第一个月，以此类推，设第个月底小王手中有现款为，第个月月底小王手中有现款为，
则，即，
所以数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，
∴，即，
年所得收入为元.
故选：D.
题型七等差、等比数列的综合应用
例13．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在正项等比数列中，若是与的等差中项，则数列的公比______.
【答案】5
【分析】设正项等比数列的公比为，根据等差中项的性质得到，再根据等比数列通项公式整理得，解得即可.
【详解】解：设正项等比数列的公比为，，
因为是与的等差中项，所以，
即，即，
解得或（舍去）；
故答案为：.
例14．（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）已知是首项为正数，公比不为的等比数列，是等差数列，且，那么（ ）
A．B．C．D．的大小关系不能确定
【答案】C
【分析】由基本不等式可得，由等号取不到可得答案.
【详解】由题意可得四个正数满足，，
由等差数列和等比数列的性质可得，，
由基本不等式可得，
又公比，故，上式取不到等号，
所以，即.
故选：C
练习31．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为等比数列{}的，，；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列的，，．
(1)请写出数列{}，{}的一个通项公式；
(2)若数列{}单调递增，设，数列{}的前n项和为．求证：．
【答案】(1)，（或、、）
(2)证明见解析
【分析】（1）根据表格数据，结合等差、等比数列定义分别写出一个通项公式即可；
（2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求，即可证结论.
【详解】（1）由题意，取，可得公比，则，
取，可得公差，则；
取，可得公差，则；
取，可得公差，则；
取，可得公差，则.
（2）由{}单调递增，
若时，，则，
所以，
两式相减，则，
所以，而，故；
若时，，则，
所以，
两式相减，则，
所以，而，故.
综上，.
练习32．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列、等比数列的性质计算即可；
（2）利用等比数列求和公式及分组求和法计算即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为
由成等比数列可得，
所以，
所以，
因为，所以.①
又，
所以，②
所以，
联立①②得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，
所以
.
练习33．（2023·河南·校联考模拟预测）定义矩阵运算：．已知数列，满足，且．
(1)证明：，分别为等差数列，等比数列．
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据矩阵运算的定义得出关于和的等式，根据消元法得出和在时的通项公式，检验和是否满足时的通项公式，即可证明；
（2）写出数列的通项公式，根据等差数列和等比数列求和公式，分组求和即可．
【详解】（1）证明：因为，
所以，
消去，得，
当时，，则，
当时，由及，得，
所以，
因为，，
所以为公差为1的等差数列，为公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，
则
．
练习34．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）是各项均为正数的等差数列，其公差，是等比数列，若，，和分别是和的前项和，则（ ）
A．B．
C．D．和的大小关系不确定
【答案】B
【分析】分析可知等比数列为正项单调数列，利用等差数列的求和公式以及基本不等式可得出与的大小.
【详解】因为是各项均为正数的等差数列，其公差，
则，且，则，
设等比数列的公比为，则且，即且，
又因为，所以，等比数列为正项单调数列，
由基本不等式可得，，
，，
所以，，
故选：B.
练习35．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知等比数列的公比，前项和为．若，且是与的等差中项.
(1)求；
(2)设数列满足，，数列的前项和为.求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用等比数列的通项公式列出方程求得的值，进而求得数列的通项公式；
（2）根据题意，利用，求得，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）解：由，得，
又由是，的等差中项，可得，即，
则， 即，
可得，解得或，
因为，所以，
将代入，可得，
所以，即.
（2）解：因为数列满足，，
可得，
，
所以当时，，
又因为也满足上式，所以，
则，
所以
.
题型一
基本量的计算
题型二
等比中项及等比数列项的性质
题型三
等比数列的判定与证明
题型四
等比数列前项和的性质
题型五
等比数列中的单调，最值问题
题型六
等比数列的简单应用
题型七
等差、等比数列的综合应用
第一列
第二列
第三列
第一行
1
4
7
第二行
3
6
9
第三行
2
5
8