2024年上海市 长宁区九年级数学中考二模试卷含答案

这是一份2024年上海市 长宁区九年级数学中考二模试卷含答案，共8页。试卷主要包含了本试卷含三个大题,共25题， 解， 证明， 过点作，垂足为点N等内容，欢迎下载使用。

考生注意:
1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本调研卷上答题一律无效.
2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤.
一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）
【每小题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】
1．下列是最简二次根式的是
（A）； （B）； （C）； （D）．
2．关于一元二次方程根的情况，正确的是
（A）有两个相等的实数根； （B）有两个不相等的实数根；
（C）有且只有一个实数根； （D）没有实数根．
3．下列函数中， 函数值y随自变量x的值增大而增大的是
（A）； （B）；
（C）； （D）．
4．为了解某公司的收入水平，随机挑选五人的月工资进行抽样调查，月工资（单位：元）分别
是3000，4000，5000，6000，50000，那么能够较好的反映他们收入平均水平的是
（A）中位数； （B） 标准差； （C）平均数； （D）众数．
A
B
C
D
O
第5题图
5．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC=CD，下列说法错误的是
（A）； （B）∠AOD=3∠BOC；
（C） AC=2CD； （D）OC⊥BD ．
6．下列命题是假命题的是
（A）对边之和相等的平行四边形是菱形；
（B）一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形；
（C）一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形；
（D）被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算： ▲ ．
8．截至2023年底，全国高铁营业里程约为45000公里，这个数45000用科学记数法表示为 ▲ ．
9．函数的定义域为 ▲ ．
10．方程的解是 ▲ ．
11．已知方程，如果设，那么原方程转化为关于的整式方程为 ▲ ．
公共交通32%
自行车
12%
私家车
26%
步行
第14题图
12．如果二次函数的图像向右平移3个单位后经过原点，那么的值为 ▲ ．
13．在1，2，3中任取两个不重复的数字组成一个两位数，
那么这个两位数是素数的概率是 ▲ ．
为了解某校六年级300名学生来校的方式，随机调查了
该校六年级50名学生同一天来校的方式，并绘制了如
A
B
C
D
E
第15题图
图所示的饼状图，那么估计该校六年级300名学生中这
一天步行来学校的共有 ▲ 名．
15．如图，在中，点D在边AB上，且，点E
是AC的中点，联结DE，设向量，，如果
用、表示，那么 ▲ ．
A
B
C
D
E
F
第16题图
16．如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上
（点F不与点C重合），且∠EAF=45°，那么的值为 ▲ ．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，将△ABC绕着
点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，如果
点A在DE的延长线上，且CE//AB，那么∠CAE的余弦值
A
B
C
第18题图
为 ▲ ．
我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．
如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，如果△ABC的
重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半
径r的取值范围是 ▲ ．
三、解答题（本大题共7题, 满分78分）
【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】
19．（本题满分10分）
计算：．
20．（本题满分10分）
A
B
C
D
O
第21题图
解方程组：
21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图，⊙O经过平行四边形ABCD的顶点B、C、D，
点O在边AD上，AO=3，OD=5．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求∠D的正弦值．
22．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题3分,第（3）小题4分）
春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动
设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为元，请根据条件回答下列问题：
（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款元，求关于的函数解析式
（不必写出函数定义域）；
（2）购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，
实际付款金额相等，求的值；
（3）顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动
更合算，求的取值范围．
23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
A
B
C
D
F
E
第23题图
已知：在梯形中，//，，点在边上（点不与点重合），
点在边上，且．
（1）求证： ；
（2）联结，与交于点，如果，
求证：四边形为等腰梯形．
24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴分别交于点（点在点 D
A
B
E
O
x
C
y
F
第24题图
左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，
直线AF分别与y轴、线段BC交于点D、E．
①当CF=DF时，求CD的长；
②联结AC，如果△ACF的面积是△CDE面积的3倍，
求点F的坐标．
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）
已知在△中，，，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作⊙O，交边于点（点不与点、重合）．
（1）当AD=4时，判断点B与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点C作CE⊥OD，交OD延长线于点E. 以点E为圆心，EC为半径作⊙E，
延长CE，交⊙E于点.
①如图1，如果⊙O与⊙E的公共弦恰好经过线段EO的中点，求CD的长；
②联结、，如果与△BOC的一条边平行，求⊙E的半径长．
A
B
C
A
B
C
D
E
O
C′
A
B
C
图1
备用图
第25题图
备用图
2023学年第二学期初三数学参考答案和评分建议
2024.4
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．C； 2．B； 3．D； 4．A； 5．C； 6．D．
二．填空题：（本大题共12题，满分48分）
7．； 8．； 9．； 10．； 11．； 12．；
13．； 14．90； 15．； 16．； 17．； 18．或．
三、解答题（本大题共7题, 满分78分）
19. 解： 8分
1分
= 4 1分
20. 解：由 = 2 \* GB3 ②得： 2分
∴原方程组化为： 或 2分
解得： 4分
∴原方程组解为 . 2分
21. 解：（1）作，垂足为点，联结.
∵平行四边形中， ∴ 1分
∵在⊙O中，过圆心O， ∴ 1分
∵中， ∴ 1分
∵ ∴ 1分
∴平行四边形面积为. 1分
（2）作，垂足为点.
∵平行四边形中，， ∴
∵ ∴ ∴
∵∴四边形为矩形 1分
∴ ∴ 2分
∵中， ∴ 1分
∴ 1分

22. 解：（1） 3分
（2） 2分
（符合题意） 1分
答：的值为.
（3）由题可知：
当时， ， ， ； 2分
当时， ， ， ； 2分
或
答：的取值范围为或 .
23. 证明：（1），.
， . 1分
， .
， 1分 ，即 1分
2分
（2），.
又， 1分
. 1分
， .
. 1分

，. 1分
1分
与不平行， . 1分
1分
24. 解：（1）对称轴为直线 2分
1分 1分
（2）① 分别作，垂足为点；作，垂足为点.
，可得，. 1分

. 1分
设
（符合要求） 1分 1分
②分别作，垂足为点；作，垂足为点.

设

= 1 \* GB3 ① 1分

= 2 \* GB3 ② 1分
由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②，解得或（舍），. 2分
25. 解：（1）过点O作，垂足为点H.
∵过圆心，，∴. 1分
∵，∴.∴，∴. 1分
H
∵，∴. 1分
∴. ∴点B在内. 1分
（2）过点C作，垂足为点M.
∵，，∴
∵ ，∴. 1分
∵，∴.又∵，∴.
.∴在中，，.
设，则∴ ∴ 1分
①两圆的交点记为P、Q，联结PE、PO
∵⊙O、⊙E相交，PQ是公共弦，∴OE垂直平分PQ，即.
∵PQ经过OE中点，∴PQ垂直平分OE，∴，即. 1分
∴.
在中，，∴ .∴.
∴ ∴ .∴. 1分
②由于点A在直线AB上，所以不可能与OB平行.
(i). 过点作，垂足为点N.
∵，∴.∵，∴
∵，∴.
∵，∴.∴.
∵，∴.
∵，∴.
∵，∴，∴.
在中，，.
∴.∴.∴. 3分
(ii). 延长OE交延长线于点F.
∵，∴.∴.
∵，，∴.
∴.∴.
∵，∴，∴，
，.∴. 3分
综上所述：. 商店
优惠方式
甲
所购商品按原价打八折
乙
所购商品按原价每满300元减80元