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湖南省永州市2024年(届)高三年级高考第三次模拟考试数学试题
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这是一份湖南省永州市2024年(届)高三年级高考第三次模拟考试数学试题，文件包含定三模数学试卷docx、三模数学答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
命题人：眭小军（永州一中） 杜艳秋（永州四中）
谢 军（江华二中） 田九三（祁阳二中）
审题人：席俊雄（永州市教科院）
注意事项：
1．本试卷共150分，考试时量120分钟．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
3．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知集合，，则
A．B．C．D．
2． 样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为
A．14B．15C．16D．18
3． 已知非零数列满足，则=
A．8 B．16C．32D．64
4． 的展开式中第四项的系数为540，则的值为
A．B．C．D．
5． 为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为
A．26B．25C．24D．23
6． 在中，，，,,则的最小值为
A．B．C．D．
7． 已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
8． 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于,两点，点在轴上，，平分，其中一条渐近线与线段交于点,则
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9． 下列说法正确的是
A．已知随机变量，若，则
B．设，，则“”成立的充要条件是“”
C．已知，，则
D．若，，，则事件与相互独立
10．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与抛物线相交于，两点（点在第一象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直
线与抛物线的准线相交于点，则
A．的最小值为2
B．当直线的斜率为时，
C．设直线，的斜率分别为，，则
D．过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，则
11．在平面四边形中，,,为等边三角形，将沿折起，得到三棱锥，设二面角的大小为．则下列说法正确的是
A．当时，，分别为线段，上的动点，则的最小值为
B．当时，三棱锥外接球的直径为
C．当时，以为直径的球面与底面的交线长为
D．当时，绕点旋转至所形成的曲面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知复数，，若（为的共轭复数），则实数的取值范围为 ．
13．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，
，则 ．
14．已知函数的定义域为R，，，且对于，恒有，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举．某校植树节分别在甲，乙两块不同的土地上栽种某品种树苗各500株．甲地土质含有元素，乙地土质不含有元素，其它土质情况均相同，一段时间后，为了弄清楚该品种树苗的成活情况与元素含量是否有关联，分别在甲，乙两块土地上随机抽取树苗各50株作为样本进行统计分析．经统计，甲地成活45株，乙地成活40株．
（1）根据所给数据，完成下面的22列联表（单位：株），并判断依据小概率值=0.10的独立性检验，能否认为该品种树苗成活与元素含量有关联？
（2）若将频率视为概率，从样本中不成活的树苗中随机抽取3株，其中取自甲地的株数为，求的分布列及方差．
22列联表
参考公式：
类别
树苗成活情况
合计
成活
不成活
含元素
不含元素
合计
参考数据：
16．（本题满分15分）如图，在多面体中，底面为直角梯形，，，，．
E
D
F
C
B
（第16题图）
A
（1）证明：；
（2）若，，且多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
17．（本题满分15分）已知函数.
（1）当时，求在的单调区间及极值.
（2）若恒成立，求的取值范围.
18．（本题满分17分）已知数列为等比数列，为等差数列，且,,
．
（1）求，的通项公式；
（2）数列的前项和为，集合 共有5个元素，求实数的取值范围；
（3）若数列中，，，求证：
．
19．（本题满分17分）已知为坐标原点，动点在椭圆上，动点满足，记点的轨迹为．
（1）求轨迹的方程；
（2）在轨迹上是否存在点，使得过点作椭圆的两条切线互相垂直？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点的直线交轨迹于，两点，射线 QUOTE 交轨迹于点，射线 QUOTE 交椭圆于点，求四边形面积的最大值．
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
命题人：眭小军（永州一中） 杜艳秋（永州四中）
谢 军（江华二中） 田九三（祁阳二中）
审题人：席俊雄（永州市教科院）
注意事项：
1．本试卷共150分，考试时量120分钟．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
3．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知集合，，则
A．B．C．D．
2． 样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为
A．14B．15C．16D．18
3． 已知非零数列满足，则=
A．8 B．16C．32D．64
4． 的展开式中第四项的系数为540，则的值为
A．B．C．D．
5． 为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为
A．26B．25C．24D．23
6． 在中，，，,,则的最小值为
A．B．C．D．
7． 已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
8． 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于,两点，点在轴上，，平分，其中一条渐近线与线段交于点,则
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9． 下列说法正确的是
A．已知随机变量，若，则
B．设，，则“”成立的充要条件是“”
C．已知，，则
D．若，，，则事件与相互独立
10．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与抛物线相交于，两点（点在第一象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直
线与抛物线的准线相交于点，则
A．的最小值为2
B．当直线的斜率为时，
C．设直线，的斜率分别为，，则
D．过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，则
11．在平面四边形中，,,为等边三角形，将沿折起，得到三棱锥，设二面角的大小为．则下列说法正确的是
A．当时，，分别为线段，上的动点，则的最小值为
B．当时，三棱锥外接球的直径为
C．当时，以为直径的球面与底面的交线长为
D．当时，绕点旋转至所形成的曲面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知复数，，若（为的共轭复数），则实数的取值范围为 ．
13．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，
，则 ．
14．已知函数的定义域为R，，，且对于，恒有，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举．某校植树节分别在甲，乙两块不同的土地上栽种某品种树苗各500株．甲地土质含有元素，乙地土质不含有元素，其它土质情况均相同，一段时间后，为了弄清楚该品种树苗的成活情况与元素含量是否有关联，分别在甲，乙两块土地上随机抽取树苗各50株作为样本进行统计分析．经统计，甲地成活45株，乙地成活40株．
（1）根据所给数据，完成下面的22列联表（单位：株），并判断依据小概率值=0.10的独立性检验，能否认为该品种树苗成活与元素含量有关联？
（2）若将频率视为概率，从样本中不成活的树苗中随机抽取3株，其中取自甲地的株数为，求的分布列及方差．
22列联表
参考公式：
类别
树苗成活情况
合计
成活
不成活
含元素
不含元素
合计
参考数据：
16．（本题满分15分）如图，在多面体中，底面为直角梯形，，，，．
E
D
F
C
B
（第16题图）
A
（1）证明：；
（2）若，，且多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
17．（本题满分15分）已知函数.
（1）当时，求在的单调区间及极值.
（2）若恒成立，求的取值范围.
18．（本题满分17分）已知数列为等比数列，为等差数列，且,,
．
（1）求，的通项公式；
（2）数列的前项和为，集合 共有5个元素，求实数的取值范围；
（3）若数列中，，，求证：
．
19．（本题满分17分）已知为坐标原点，动点在椭圆上，动点满足，记点的轨迹为．
（1）求轨迹的方程；
（2）在轨迹上是否存在点，使得过点作椭圆的两条切线互相垂直？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点的直线交轨迹于，两点，射线 QUOTE 交轨迹于点，射线 QUOTE 交椭圆于点，求四边形面积的最大值．
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
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