2023-2024学年浙江省丽水市五校高中发展共同体高一（下）联考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省丽水市五校高中发展共同体高一（下）联考数学试卷（4月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在△ABC中，BC=a，CA=b，则AB等于( )
A. a+bB. −a−bC. a−bD. b−a
2.若复数z满足z(2−i)=2i，i是虚数单位，则在复平面内z对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2 3，则角B的值为( )
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
4.已知复数z=a+bi(a,b∈R)，i是虚数单位，若z−2z−=2+3 3i，则复数z的虚部为( )
A. 3B. 2 3C. 3iD. 2 3i
5.已知向量a=(−4,3)，则与向量a方向相反的单位向量是( )
A. (−45,35)B. (45,−35)
C. (−45,−35)D. (45,−35)或(−45,35)
6.已知△ABC三条边上的高分别为3，4，6，则△ABC最小内角的余弦值为( )
A. 78B. 158C. 1124D. 724
7.已知圆O的半径为2，弦AB的长为2，C为圆O上一动点，则|AC+BC|的取值范围是( )
A. [0,2]B. [0,4]
C. [2− 3,2+ 3]D. [4−2 3,4+2 3]
8.在△ABC中，已知AB=2AC，∠BAC=120°，若D，E分别是BC的三等分点，其中D靠近点B，记a=AB⋅AD,b=AD⋅AE,c=AE⋅AC，则( )
A. a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知非零复数z1，z2，其共轭复数分别为z1−,z2−，则下列选项正确的是( )
A. z12=|z1|2B. z1⋅z1−=|z1|2C. |z1z2|=|z1||z2|D. z1−⋅z2=z1⋅z2−
10.已知△ABC的三个内角分别是A，B，C，则下列结论一定成立的是( )
A. cs(A+B)=csC
B. csA+B2=sinC2
C. “a>2b”是“sinA>sin2B”成立的充分不必要条件
D. sinA, sinB, sinC一定能构成三角形的三条边
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知D，E分别在边AB，AC上，且△ABC的重心在DE上，又AD=xAB,AE=yAC，设∠ADE=θ，(S△ABC,S△ADE为相应三角形的面积)，则以下正确的是( )
A. 1x+1y=3B. S△ADES△ABC的最小值为49
C. csinθ=asin(B−θ)+bsin(A+θ)D. ccsθ=acs(B−θ)+bcs(A+θ)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z=m−5ii−1为纯虚数，i是虚数单位，则|z+m|= ______．
13.已知向量a,b满足|a|=2,b=(1,2)，且|a+b|=|2a−b|，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是______．
14.四边形ABCD中，AC与BD交于点P，已知AB=2AD=6，且P是AC的中点，BP=2PD，又sin∠ACD=3 1414，则四边形ABCD的面积是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a,b满足|a|=3,|b|=4,(2a+b)⊥b．
(1)求向量a与b夹角的余弦值；
(2)求|a+12b|的值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2ccsA=2b−a．
(1)求角C的大小；
(2)若c=2 3,b=2，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，M是BC的中点，N是AC上的点，且AN=xAC,AM,BN相交于点P.设AB=a,AC=b．
(1)若x=13，试用向量a,b表示AM,PN；
(2)若AM⊥BN，求实数x的值．
18.(本小题17分)
在锐角△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2−b2sin(A−B)=c2 3csC．
(1)求角C的大小；
(2)求c2a2+b2的取值范围．
19.(本小题17分)
设平面内两个非零向量m,n的夹角为θ，定义一种运算“⊗”：m⊗n=|m||n|sinθ．
试求解下列问题：
(1)已知向量a,b满足a=(2,1),|b|=2,a⋅b=4，求a⊗b的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点A(2,1)，B(−1,2)，C(0,4)，求AB⊗BC的值；
(3)已知向量a=(1csα,2sinα),b=(2sinα,−1csα),α∈(0,π2)，求a⊗b的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：AB=CB−CA=−BC−CA=−a−b=−(a+b)=−a−b，
故选：B．
利用减法的三角形法则可得答案．
本题考查向量的减法及其几何意义，属基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由z(2−i)=2i，得z=2i2−i=2i(2+i)(2−i)(2+i)=−25+45i．
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(−25,45)，位于第二象限．
故选：B．
利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应的点的坐标即可．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为在△ABC中，A=60°，AC=b=4，BC=a=2 3，
所以由正定理得：asinA=bsinB⇒sinB=bsinAa=4× 322 3=1，
由于B∈(0,π)，
所以B=π2．
故选：A．
根据正弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：复数z=a+bi(a,b∈R)，
则z−2z−=(a+bi)−2(a−bi)=−a+3bi=2+3 3，即−a=23b=3 3，解得a=−1b= 3，
所以复数z的虚部为 3．
故选：A．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的概念，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的概念，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：与向量a方向相反的单位向量为：−a|a|=−15(−4,3)=(45,−35)．
故选：B．
可知与向量a方向相反的单位向量为−a|a|，然后根据向量a的坐标即可得解．
本题考查了单位向量的定义，向量坐标的数乘运算，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意，不妨设△ABC的三边a，b，c上对应的高的长度分别为3，4，6，
由三角形的面积公式可得：12×3×a=12×4×b=12×6×c，解得：3a=4b=6c，
设3a=4b=6c=x，
则a=13x，b=14x，c=16x，可得c为三角形最小边，C为三角形的最小内角，
由余弦定理可得：csC=a2+b2−c22ab=19x2+116x2−136x22×13x×14x=78．
故选：A．
不妨设△ABC的三边a，b，c上对应的高的长度分别为3，4，6，由三角形的面积公式可得3a=4b=6c，设3a=4b=6c=x，可得a=13x，b=14x，c=16x，可得C为三角形的最小内角，由余弦定理即可计算得解．
本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：以O为原点建立平面直角坐标系，如图所示：
设A(−1, 3)，B(1, 3)，C(2csα,2sinα)，α∈[0,2π)，
所以AC=(2csα+1,2sinα− 3)，BC=(2csα−1,2sinα− 3)，
所以AC+BC=(4csα,4sinα−2 3)，
(AC+BC)2=16cs2α+16sin2α−16 3sinα+12=28−16 3sinα，
α=π2时，(AC+BC)2取得最小值为28−16 3=(4−2 3)2，
α=3π2时，(AC+BC)2取得最大值为28+16 3=(4+2 3)2，
所以|AC+BC|的取值范围是[4−2 3,4+2 3].
故选：D．
以O为原点建立平面直角坐标系，设A(−1, 3)，B(1, 3)，C(2csα,2sinα)，α∈[0,2π)，利用坐标表示向量，求出AC+BC的模长取值范围即可．
本题考查了平面向量的数量积与模长计算问题，也考查了数形结合思想，是中档题．
8.【答案】C
【解析】解：据题意，建立如图所示坐标系，设AC=2，则AB=4，
由∠BAC=120°，D，E分别是BC的三等分点，
可得A(0,0)，B(4,0)，C(−1, 3)，D(73, 33)，E(23,2 33)，
则a=AB⋅AD=(4,0)⋅(73, 33)=283，
b=AD⋅AE=(73, 33)⋅(23,2 33)=209，
c=AE⋅AC=(23,2 33)⋅(−1, 3)=43，
故c故选：C．
建立直角坐标系，设AC=2，求得B，C，D，E的坐标，利用向量数量积的坐标运算求得a，b，c，比较大小即可．
本题考查平面向量数量积运算，属中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，令z1=i，z12=−1，|z1|2=1，故A错误；
对于B，令z1=a+bi(a,b∈R且a，b不同时为0)，
则z1−=a−bi，
z1⋅z1−=(a+bi)(a−bi)=a2+b2，
|z1|2=a2+b2，故C错误；
对于C，结合复数模的性质可知，|z1z2|=|z1||z2|，故C正确；
对于D，令z1=1，z2=i，
则z1−=1，z2−=−i，
z1−⋅z2≠z1⋅z2−，故D错误．
故选：BC．
根据已知条件，结合特殊值法，以及共轭复数的定义，复数模的性质，即可求解．
本题主要考查复数的概念，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，cs(A+B)=cs(π−C)=−csC，故A错误；
对于B，csA+B2=cs(π2−C2)=sinC2，故B正确；
对于C，若a>2b，则sinA>2sinB≥2sinBcsB=sin2B，
故“a>2b”是“sinA>sin2B”的充分条件，
若sinA>sin2B，则sinA>2sinBcsB，所以a>2bcsB，
当csB<1时，a>2b不成立，
故“a>2b”是“sinA>sin2B”的不必要条件，
综上：“a>2b”是“sinA>sin2B”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，由正弦定理可得 sinA： sinB： sinC= a： b： c，
不妨设a则a+b>c，
故 a< b< c，且( a+ b)2−( c)2=a+b−c+2 ab>2 ab>0，
所以( a+ b)> c，故D正确．
故选：BCD．
对于A，根据三角形内角和定理，三角函数的诱导公式分析可得结论；
对于B，根据三角形内角和定理，三角函数的诱导公式分析可得结论；
对于C，利用二倍角公式与正弦定理，由a>2b，可得sinA>sin2B，反之不成立，可得结论；
对于D，根据正弦定理边化角，结合三角形三边满足的关系即可求解．
本题考查的知识要点：正弦定理，三角函数恒等变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A选项，设△ABC的重心为M，由题意可知，D，E，M三点共线，
所以存在λ使得AM=λAD+(1−λ)AE，则AM=λxAB+(1−λ)yAC，
又AM=23×12(AB+AC)=13(AB+AC)，所以λx=13(1−λ)y=13，
化简得1x+1y=3，故A正确；
对于B选项，S△ADE=12×|AD|×|AE|×sinA,S△ABC=12×|AB|×|AC|×sinA，
又因为AD=xAB,AE=yAC，即|AD|=x|AB|，|AE|=y|AC|，
所以S△ADES△ABC=12×|AD|×|AE|×sinA12×|AB|×|AC|×sinA=xy，
因为1x+1y=3≥2 1xy，当且仅当x=y时等号成立，所以xy≥49，
所以S△ADES△ABC的最小值为49，故B正确；
对于C，D，因为BA=BC+CA，所以DE⋅BA=DE⋅(BC+CA)，即DE⋅BA=DE⋅BC+DE⋅CA，
又因为DE−⋅BA=|DE|⋅|BA|cs∠EDA=c|DE|csθ，
DE⋅BC=|DE|⋅|BC|cs(B−θ)=a|DE|cs(B−θ)，
DE⋅CA=|DE|⋅|CA|cs(A+θ)=b|DE|cs(A+θ)，
所以c|DE|csθ=a|DE|cs(B−θ)+b|DE|cs(A+θ)，
所以ccsθ=acs(B−θ)+bcs(A+θ)，故D正确，C错误．
故选：ABD．
对于A，设△ABC的重心为M，由题意可知，D，E，M三点共线，AM=13AB+13AC，化简判断A；对于B，S△ADE=12×|AD|×|AE|×sinA，S△ABC=12×|AB|×|AC|×sinA，结合AD=xAB,AE=yAC，判断B；对于C，D，借助向量表示得DE⋅BA=DE⋅BC+DE⋅CA，化简，判断C，D．
本题考查了三角形的面积公式、基本不等式和向量数量积公式，属于中档题．
12.【答案】5 2
【解析】解：复数z=m−5ii−1=(m−5i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−m−5+(5−m)i2=−m−52+5−m2i为纯虚数，
则−m−52=05−m2≠0，解得m=−5，
故|z+m|=|−5+5i|= (−5)2+52=5 2．
故答案为：5 2．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，复数模公式，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，复数模公式，属于基础题．
13.【答案】(25,45)
【解析】解：b=(1,2)，
则|b|= 5，
|a+b|=|2a−b|，|a|=2，
则a2+2a⋅b+b2=4a2−4a⋅b+b2，即4+6a⋅b+5=16+5，解得a⋅b=2，
故向量a在向量b上的投影向量的坐标是：a⋅b|b|2×b=25b=(25,45)．
故答案为：(25,45)．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
14.【答案】6 5
【解析】解：因为sin∠ACD=3 1414，所以cs2∠ACD=1−914=514．
由BP=2PD，得AP−AB=2(AD−AP)，整理得AP=13AB+23AD，所以CA=−2AP=−23AB−43AD，
可得CD=CA+AD=−23AB−13AD，设AB⋅AD=x，
则CA⋅CD=(−23AB−43AD)⋅(−23AB−13AD)=49AB2+109AB⋅AD+49AD2=49×36+109AB⋅AD+49×9=20+109x，
而|CA|2=(−23AB−43AD)2=49AB2+169AB⋅AD+169AD2=49×36+169AB⋅AD+169×9=32+169x，
|CD|2=(−23AB−13AD)2=49AB2+49AB⋅AD+19AD2=49×36+49AB⋅AD+19×9=17+49x，
由cs∠ACD=CA⋅CD|CA|⋅|CD|两边平方，得cs2∠ACD=(CA⋅CD)2|CA|2⋅|CD|2=514，即(20+910x)2(32+169x)(17+49x)=514，
化简整理，得x2+30x+216=0，解得x=−18或x=−12，
当x=−18时，AB⋅AD=|AB|⋅ADcs∠BAD=−18，即6×3cs∠BAD=−18，
可得cs∠BAD=−1，∠BAD=180°，不符合题意，舍去．
当x=−12时，同理可得6×3cs∠BAD=−12，即cs∠BAD=−23，可得sin∠BAD= 1−cs2∠BAD= 53(舍负)．
所以S△ABD=12AB⋅ADsin∠BAD=3 5，结合P为AC中点，可得S△CBD=S△ABD=3 5，
因此，四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD=6 5．
故答案为：6 5．
根据同角三角函数的平方关系算出cs2∠ACD=514，然后以向量AB,AD为基底表示出CD,CA，利用平面向量的数量积与夹角公式列式算出AB⋅AD=−12，进而可得sin∠BAD= 53，再根据三角形的面积公式算出S△ABD=3 5，结合P为AC中点算出四边形ABCD的面积．
本题主要考查平面向量的线性运算、向量的数量积与夹角公式、同角三角函数的基本关系与三角形的面积公式等知识，属于中档题．
15.【答案】解：(1)设a与b的夹角为θ，
因为(2a+b)⊥b，所以(2a+b)⋅b=2a⋅b+b2=0，
又|a|=3,|b|=4，所以2×3×4×csθ+16=0，
所以csθ=−23，
所以向量a与b夹角的余弦值为−23．
(2)|a|=3，|b|=4，csθ=−23，
则|a+12b|2=a2+a⋅b+14b2=9+3×4×(−23)+14×16=5，
所以|a+12b|= 5．
【解析】(1)根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解；
(2)将|a+12b|平方并开方，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
16.【答案】解：(1)由2ccsA=2b−a，以及正弦定理可得：2sinCcsA=2sinB−sinA，
即2sinCcsA=2sin(A+C)−sinA=2sinAcsC+2csAsinC−sinA，
即2sinAcsC−sinA=0，又在△ABC中，sinA≠0，所以csC=12，
又C∈(0,π)，所以C=π3；
(2)由余弦定理c2=b2+a2−2bacsC，
得12=4+a2−2a⇒a2−2a−8=0，由a>0得a=4，
所以△ABC的面积S=12basinC=12×2×4sinπ3=2 3．
【解析】(1)根据正弦定理可得角C；(2)根据余弦定理可得a，代入面积公式即可．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为M是BC的中点，
所以AM=12(AB+AC)=12a+12b，
设PN=tBN=t(AN−AB)，
因为AN=13AC，
所以AP=AN+NP=AN−t(AN−AB)=(1−t)AN+tAB=13(1−t)AC+tAB，
即AP=13(1−t)b+ta，
由AP,AM共线，得13(1−t)=t，解得t=14，
所以AP=13(1−t)b+ta=14b+14a，
所以PN=AN−AP=13AC−AP=13b−(14b+14a)=−14a+112b，
综上所述，AM=12a+12b，PN=−14a+112b．
(2)BN=BA+AN=−AB+xAC=−a+xb，
因为AM⊥BN，
所以AM⋅BN=(12a+12b)⋅(−a+xb)=−2+8x+4(12x−12)=0，
解得x=25．
【解析】(1)根据平面向量的基本定理，结合平面向量的线性运算法则，求解即可；
(2)用基底分别表示出AM，BN，再由AM⋅BN=0，可得关于x的方程，解之即可．
本题考查平面向量的运算，熟练掌握平面向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为a2−b2sin(A−B)=c2 3csC，
由余弦定理a2−b2=c2−2bccsA，及正弦定理asinA=bsinB=csinC得
a2−b2c2=c2−2bccsAc2=c−2bcsAc=sinC−2sinBcsAsinC
=sin(A+B)−2sinBcsAsinC=sinAcsB+csAsinB−2sinBcsAsinC
=sinAcsB−csAsinBsinC=sin(A−B)sinC．
所以sin(A−B)sinC=sin(A−B) 3csC，又sin(A−B)≠0，
所以sinC= 3csC⇒tanC= 3，
所以C=π3；
(2)c2a2+b2=a2+b2−aba2+b2=1−aba2+b2=1−1ab+ba，
因为ab+ba≥2，所以0<1ab+ba≤12，
所以c2a2+b2=1−1ab+ba∈[12,1)．
【解析】(1)由已知结合正弦定理及余弦定理先进行化简，再由和差角公式及同角基本关系化简可求tanC，进而可求C；
(2)结合余弦定理对所求式子进行分离变形，然后结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由已知a=(2,1)，得|a|= 5，
所以a⋅b=|a|⋅|b|csθ=4⇒2 5csθ=4，即csθ=2 5，
又0<θ<π，所以sinθ=1 5，
所以a⊗b=|a||b|sinθ=2 5×1 5=2；
(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则|a|= x12+y12，|b|= x22+y22，
所以csθ=a⋅b|a||b|=x1x2+y1y2 x12+y12⋅ x22+y22，
从而sinθ= 1−(x1x2+y1y2 x12+y12⋅ x22+y22)2=|x1y2−x2y1| x12+y12⋅ x22+y22，
所以a⊗b=|a||b|sinθ=|x1y2−x2y1|，
又AB=(−3,1),BC=(1,2)，
所以AB⊗BC=|−3×2−1×1|=7；
(3)由(2)可得：a⊗b=|−1cs2α−4sin2α|=1cs2α+4sin2α，
因为1cs2α+4sin2α=(1cs2α+4sin2α)(cs2α+sin2α)
=5+sin2αcs2α+4cs2αsin2α ≥5+2 sin2αcs2α×4cs2αsin2α=9，
当且仅当sin2αcs2α=4cs2αsin2α⇒tanα= 2时等号成立，
所以a⊗b的最小值的最小值是9．
【解析】(1)根据条件求得csθ=2 5，再根据新运算的定义求解即可；
(2)根据向量的坐标表示求得AB和BC的坐标，求得两向量的模其夹角的正弦值，利用新运算定义求解；
(3)利用新运算的定义将a⊗b表示成关于α的式子，利用三角变换及基本不等式求其最小值．
本题考查平面向量的坐标运算，属中档题．