2024年广东省广州市铁一中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键，根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A中既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
B中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
C中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
D中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
故选：A．
2. 鲁班锁 鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创．如图是鲁班锁中的一个部件，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了立体图形的三视图，根据主视图是从正面看的，结合选项图形，即可作答．
【详解】解：依题意，鲁班锁的主视图是
故选：B
3. 近来，中国芯片技术获得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知，则用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值小于时，是负数．
【详解】解：,
用科学记数法表示为：．
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法绝对值ju较小的数，表示形式为的形式，解题的关键是要注意确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
4. 如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，故选项不能判断，不合题意；
∵，
∴，故选项能能判断，符合题意；
∵，
∴，故选项不能判断，不合题意；
∵，
∴，故选项不能判断，不合题意；
故选：．
5. 如图，在扇形中，，，若弦，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行线的性质与等边对等角的等腰三角形的性质是解题的关键．
先根据平行线的性质求得，，再由等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长．
故选：C．
6. 为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：）分别为，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（ ）
A. 这组数据的平均数B. 这组数据的方差
C. 这组数据的众数D. 这组数据的中位数
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，选择方差即可求解．
【详解】解：依题意，给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是这组数据的方差，
故选：B．
【点睛】本题考查了选择合适的统计量，熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的意义是解题的关键．
7. 下面计算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、二次根式的混合运算以及单项式除以单项式等 ，掌握相关运算法则是解题的关键．先根据相关性质内容逐项分析计算，即可作答．
【详解】解：A、不是同类项，故不能合并，所以该选项是错误的；
B、，所以该选项是正确的；
C、，所以该选项是错误的；
D、，所以该选项是错误的；
故选：B
8. 如图，是的外接圆，且，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接，则的度数是（ ）
A. 60°B. 62°C. 72°D. 73°
【答案】C
【解析】
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质可求∠ACB的度数，然后根据圆周定理求出∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，从而可求出的度数．
【详解】解：连接CD，
则∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
∴∠ACB=，
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD是解题的关键．
9. 如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（ ）

A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】由A、C关于对称，推出，推出，推出当M、N、C共线时，值最小，连接，由图象可知，就可以求出正方形的边长．
【详解】解：如图，连接交于点O，连接，连接交于点．

∵四边形是正方形，
∴A、C关于对称，
∴，
∴，
∵当M、N、C共线时，的值最小，
∴y的值最小就是的长，
∴，
设正方形的边长为，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴（负值已舍），
∴正方形的边长为4．
故选：C．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，轴对称的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键．
10. 如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小形的顶点叫做格点，其中点,,在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，正弦，正切等知识．熟练掌握菱形的性质，正弦，正切是解题的关键．
如图，连接，由菱形的性质可得，，，，设菱形的边长为，则，，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
由菱形的性质可得，，，，
设菱形的边长为，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11. 因式分解：__________________.
【答案】
【解析】
【分析】根据观察可知公因式是x，因此提出x即可得出答案．
【详解】解：x2－xy= x(x－y).
故答案：
【点睛】提公因式法因式分解是本题的考点，通过观察正确找出公因式是解题的关键.
12. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为__________．

【答案】15
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．
先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【详解】解：圆锥的底面周长，
则：，
解得．
故答案为：15．
13. 已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入已知等式，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，
∴
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
14. 如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则___________．

【答案】3
【解析】
【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵在中，为斜边上中线，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与半径为10的交于两点，若，则k的值是_________．
【答案】25
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，圆的性质，两点间的距离公式，判断出是等边三角形是解本题的关键．先设点，根据对称性质得，再证是等边三角形，用两点间的距离公式列出等式，再求解即可得出结论．
【详解】解：设点，
反比例函数的图象与半径为10的交于两点，
所以两点关于直线对称，
，
的半径为10，
，
，即，
，
是等边三角形，
，
，即，
化简得：，
，
，
在反比例函数的图象上，
，
故答案为：25
16. 如图，在中，，，，点D是边上的动点，连接，则的最小值为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查利用轴对称求最小值问题，涉及解直角三角形、勾股定理等知识．作点关于的对称点，连接，作，垂足为，利用勾股定理求得，利用三角函数求得，将转化为，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可．
【详解】解：作点关于的对称点，连接，作，垂足为，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，
∴，
当共线时，有最小值，最小值为的长．
在中，，
∴，
∴，即的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先化简绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，然后计算加减法即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】题目主要考查绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
18. 如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD垂直平分EF，求证：AD是△ABC的角平分线．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理即可证得AD是△ABC的角平分线．
【详解】证明：∵AD垂直平分EF，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线．
【点睛】本题考查了角平分线判定定理，线段垂直平分线性质；熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”和“到角两边距离相等的点都在角的平分线上”是解决问题的关键．
19. 先化简，再求值： ，其中满足．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先对分式进行化简，再根据可得，即可得到分式化简后的值，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
，
，
∵，
∴，
∴原式．
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，．

（1）将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到，请画出．
（2）请画出关于轴对称的．
（3）将着原点顺时针旋转，得到，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质得出对应点的位置进而画出图形；
（2）利用轴对称的性质得出对应点的位置进而画出图形；
（3）画出旋转后的图形，根据即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
如图所示，即为所求；
【小问3详解】
将着原点顺时针旋转，得到，

设所在圆交于点D，交于点E，
，，
，
，，
，
，
，，，
，
故线段在旋转过程中扫过的面积为．
【点睛】本题考查平移、轴对称变换作图和旋转的性质以及扇形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
21. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；
（2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
【答案】（1）1，2；（2）°；（3）见解析；（4）见解析，
【解析】
【分析】（1）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；
（2）根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角；
（3）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整；
（4）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率．
【详解】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40，
∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵2+14+10=26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部．
故答案为：1，2
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：
故答案为：72°.
（3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人
补全统计图如图所示．
（4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，．
故答案为：．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．解题时注意：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
22. 某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；
（1）直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：
（2）求p与x之间满足的函数关系式；
（3）当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？
（4）在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）其中为正整数
（3）第15场和第35场
（4）第21场获得的利润最大，最大利润为145万元
【解析】
【分析】（1）根据第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，即可解答；
（2）根据题意设出相应的函数表达式，然后通过表格中的数据求出表达式中的未知量即可；
（3）把分别代入（2）中两个解析式中即可求解；
（4）分别表示出利润的相关函数，再在自变量取值范围内研究哪一场获得的利润最大，最大利润是多少．
【小问1详解】
解：∵第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，
∴与的函数关系式为．
【小问2详解】
解：设基本价为，
①第1场～第20场，且为正整数，
设与的函数关系式为，
依题意得，解得，
∴．
第21场～第40场，即且为正整数时，
设与的函数关系式为，即．
依题意得，解得，
∴，
综上所述，其中为正整数；
【小问3详解】
解：当时，，
解得；
，解得．
故当产品销售单价为13万元时，销售场次是第15场和第35场
【小问4详解】
解：设每场获得的利润为（万元）．
当且为正整数时，
，
∵在对称轴的左侧，随的增大而增大，
∴当时，最大，最大利润为（万元）．
当且为正整数时，，
∵随的增大而减小，
∴当时，最大，最大利润为（万元），
∵，
∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数，是函数的综合运用，解题的关键是：理解题意，会求出各函数的解析式，在根据函数的图象及性质解答，题目较难．
23. 如图，为经过圆心的一条线段，且与交于点．
（1）过在的上方作的切线，切点为，过作，垂足为，与交于点． 请尺规作图，不用写作图的详细步骤．
（2）求证：平分；
（3）若，，求的半径．
【答案】（1）作图见解析；
（2）证明见解析； （3）．
【解析】
【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，为半径画圆，交于点，作射线，由直径所对的圆周角是直角可得，即为的切线，再根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出；
（）证明可得，又由，得到，进而得到，即可求证；
（）连接，证明，得到，由根据，得到，求出即可求解；
本题考查了过圆外一点作圆的切线，过直线外一点作已知直线的垂线，圆周角定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，正确画出图形是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：如图，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分
【小问3详解】
解：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴的半径为．
24. 已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）当且 ．
①求抛物线的解析式．
②若，且，的最大值和最小值分别为，，且，求的值．
③若该抛物线经过，两点，且，求的取值范围．
（2）当时，函数有最小值，直接写出的值．
【答案】（1）①，②，③或；
（2））的值为或
【解析】
【分析】（1）①利用待定系数法解答即可；
②利用二次函数图象的性质和待定系数法解答即可；
③利用分类讨论的思想方法分：当，都在对称轴的左侧时，当，都在对称轴的右侧时，当点在对称轴是右侧，点在对称轴的左侧时，当点在对称轴是左侧，点在对称轴的右侧时，四种情形解答，利用二次函数图象的性质列出不等式组解答即可；
（2）利用二次函数的极值和抛物线与轴的交点之间的距离列出等式解答即可．
【小问1详解】
解：①，
，
将代入得：
，
抛物线的解析式为；
②，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，，
对应的函数的图象在轴的左侧，此时抛物线的顶点为最低点，
，为函数最小值，即，
，
，
将代入得：
，
解得：（舍或，
．
③抛物线对称轴为直线，
当，都在对称轴的左侧时，
在对称轴的左侧，随的增大而减小，，
，
解得：．
当，都在对称轴的右侧时，
在对称轴的右侧，随的增大而增大，，
，
解得：．
当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，
，
解得：，
点关于抛物线对称轴的对称点，
抛物线开口向上，，
，，
解得：．
当点在对称轴是左侧，点在对称轴的右侧时，
，
此不等式无解，
此种情形不存在，
综上，若该抛物线经过，两点，且，的取值范围：或；
【小问2详解】
的值为或．理由：
函数有最小值，
，．
．
设，．，，则，是方程的两根，
，，
．
或，
或．
当时，，
解得：或0（不合题意，舍去），
当时，，
解得：或0（不合题意，舍去），
综上，的值为或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的极值，二次函数与一元二次方程的联系，利用抛物线上点的坐标的特征解答是解题的关键．
25. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．

【初步感知】
（1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．
【深入探究】
（2）①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系一般结论（直接写出结论，不必证明）
【拓展运用】
（3）如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．
【答案】（1）见解析 （2）①，证明过程略；②当点F在射线上时，，当点F在延长线上时，
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，当时，，即，证明，从而得到即可解答；
（2）①过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到；
②分类讨论，即当点F在射线上时；当点F在延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答；
（3）如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，可利用建系的方法表示出的坐标，再利用中点公式求出，最后利用勾股定理即可求出的长度．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

当时，，即，
，
，，,
，，即，
，
，
在与中，
，
，
，
；
【小问2详解】
①
证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点，

当时，，即，
是的中点，
，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，且，
，
根据（1）中的结论可得，
；
故线段之间的数量关系为；
②解：当点F在射线上时，
如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，

同①，可得，
，，
，，
同①可得，
，
即线段之间数量关系为；
当点F在延长线上时，
如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，连接

同（1）中原理，可证明，
可得，
，，
，，
同①可得，
即线段之间数量关系为,
综上所述，当点F在射线上时，；当点F在延长线上时，；
【小问3详解】
解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，

如图，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作的垂线段，交于点，过点作的垂线段，交于点，

，
，，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
根据（2）中的结论，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键．x（场）
3
10
25
p（万元）
10.6
12
14.2