广西壮族自治区南宁市第三中学、柳州高级中学2024届高三下学期一轮复习诊断性联考数学试卷(含答案)

这是一份广西壮族自治区南宁市第三中学、柳州高级中学2024届高三下学期一轮复习诊断性联考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,集合,则如图中的阴影部分表示( )
A.B.C.D.
2．已知命题,则为( )
A.,B.,
C.,D.,
3．一组数据从小到大的顺序排列如下：9,10,12,15,17,18,22,26,经计算,则分位数是( )
A.18B.20C.21D.22
4．若,则( )
A.B.C.D.
5．已知为奇函数,则( )
A.3B.-3C.0D.-1
6．抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线经过抛物线的焦点.过点且平行于y轴的一条光线射向抛物线上的A点,经过反射后的反射光线与C相交于点B,则( )
A.B.9C.36D.
7．如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做“和差等比数列”.已知是“和差等比数列”,,则满足使不等式的n的最小值是( )
A.8B.7C.6D.5
8．某同学参加学校组织的数学知识竞赛,在5道四选一的单选题中有3道有思路,有2道完全没有思路,有思路的题目每道做对的概率为,没有思路的题目只好任意猜一个答案.若从这5道题目中任选2题,则该同学2道题目都做对的概率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若复数z满足,则下列命题正确的有( )
A.z的虚部是-1B.
C.D.z是方程的一个根
10．在物理学中,把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下,某个简谐运动可以用函数的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.,频率为,初相为
B.函数的图象关于直线对称
C.函数在上的值域为
D.若把图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,再向左平移个单位,则所得函数是
11．在边长为2的正方体中,动点M满足,(x,y,且,,)下列说法正确的是( )
A.当,,时,的最小值为
B.当,时,异面直线与所成角的余弦值为
C.当,且时,则M的轨迹长度为
D.当,时,与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
12．已知向量,,若,则实数m的值为_____________.
13．已知（a为常数）的展开式中所有项的系数和为32,则展开式中的系数为____________.（用数字作答）.
14．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,依此类推,若该数列的前n项和为,若,,则称为“好数对”,如,,则,都是“好数对”,当时,第一次出现的“好数对”是_____________.
四、解答题
15．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求角B的大小;
(2)若,求周长的最大值.
16．某校为了丰富学生课余生活,体育节组织定点投篮比赛.为了解学生喜欢篮球是否与性别有关,随机抽取了男、女同学各100名进行调查,部分数据如表所示：
(1)根据所给数据完成上表,依据小概率值的独立性检验,能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？
(2)篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范.已知这两名男生投进的概率均为,这名女生投进的概率为,每人投篮一次,假设各人投篮相互独立,求3人投进总次数X的分布列和数学期望.
附：
17．在如图所示的五面体中,共面,是正三角形,四边形为菱形,,平面,点M为中点.
(1)证明：平面;
(2)已知,求平面与平面所成二面角的正弦值.
18．已知函数,.
(1)若,求a的值;
(2)当时,证明：.
19．已知曲线.
(1)若点是上的任意一点,直线,判断直线l与的位置关系并证明.
(2)若E是直线上的动点,直线与相切于点A,直线与相切于点B.
①试问是否为定值？若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
②若直线,与x轴分别交于点C,D,证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：因为韦恩图中的阴影部分表示的是属于B不属于A的元素组成的集合,
又,,所以韦恩图中的阴影部分表示的集合是.
故选：C.
2．答案：A
解析：由题意知命题,为存在量词命题,
其否定为全称量词命题：,,
故选：A.
3．答案：B
解析：因为,故分位数是第6个和第7个的平均数,
则,
故选：B.
4．答案：A
解析：,
所以 ,
故选：A.
5．答案：B
解析：由题意可得,
即,且,且,
由于为奇函数,故其定义域关于原点对称,
故,,
此时,定义域关于原点对称,
满足,
即为奇函数,符合题意,故,
故选：B.
6．答案：D
解析：令,则,
则点A的坐标为,C的焦点为,
则,所以直线的方程为,
与抛物线方程联立,消去y得,由韦达定理得,
所以,
所以由抛物线的定义得.
故选：D.
7．答案：C
解析：法一：由题可得：,则,解得,
由,,由,解得,由,解得.
法二：依题意,,得,
则数列是首项为1,公比为3的等比数列,
所以,检验知,当时,成立,
所以n的最小值是6.
故选：C.
8．答案：D
解析：设事件A表示“两道题全做对”,
若两个题目都有思路,则;
若两个题目中一个有思路一个没有思路,则;
若两个题目都没有思路,则;
故.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：,则,故A,B正确;
,故C错误;
而成立,故D正确.
故选：ABD.
10．答案：BCD
解析：由图象可得,,,
频率是,,,,
即,
,,,
对于A,,初相是,故A错误;
对于B,,故B正确;
对于C,因为,所以,
在上的值域为,故C正确;
对于D,把的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到的函数为,
又向左平移个单位,得到的函数为,故D正确;
故选：BCD.
11．答案：AD
解析：对于A,在上取点H,使,在上取点K,使,
因为,,,即,故M点在上,
将平面与平面沿着展开到同一平面内,如图：
连接交于P,此时B,P,D三点共线,取到最小值即的长,
由于,,则,
故,,
即此时的最小值为,A正确;
对于B,由于,时,则,
此时M为的中点,取的中点为N,连接,,,
则,故即为异面直线与所成角或其补角,
又,,,
故,
而异面直线所成角的范围为,
故异面直线与所成角的余弦值为,B错误;
对于C,当时,可得点M的轨迹在内（包括边界）,
由于平面,平面,故,
又,,,平面,故平面,
平面,故,同理可证,
,,平面,故平面,
设与平面交于点P,由于,
为边长为的正三角形,则点A到平面的距离为,
若,则,
即M点落在以P为圆心,为半径的圆上,
P点到三遍的距离为,
即M点轨迹是以P为圆心,为半径的圆的一部分,其轨迹长度小于圆的周长,C错误;
对于D,因为平面,平面,故平面,
因为当,时,,即M在上,
点M到平面的距离等于点B到平面的距离,设点B到平面的距离为d,
则,
为边长为的正三角形,即,
解得,
又M在上,当M为的中点时,取最小值,
设直线与平面所成角为,,
则,即与平面所成角的正弦值的最大值为,D正确,
故选：AD.
12．答案：
解析：因为,
所以,.
又,所以,解得.
故答案为：.
13．答案：15
解析：令,则,即,
则对,有,
令,即,有,即有,
令,即,有,即有,
故展开式中的系数为15.
故答案为：15.
14．答案：
解析：若,,则为2的整数幂,将数列排成如下形式：
……
第k行为,,,第k行的和为,
该数列前项的和为,
令,则,此时可用以2为底的整数幂表示,
当时,有,此时共有项,不满足总项数;
当时,有,此时共有项,不满足总项数;
当时,有,此时共有项,满足总项数;
所以n的最小值为,此时,,
所以当时,第一次出现的“好数对”是,
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)6
解析：（1）因为,由正弦定理可得,
整理得,
由余弦定理可得,
且,所以.
（2）由（1）可知：,整理得,即,
因为,当且仅当时,等号成立,
则,可得,即,
所以周长的最大值为.
16．答案：(1)列联表见解析;与性别有关.
(2)分布列见解析,数学期望为.
解析：（1）依题意,列联表如下：
零假设:该校学生喜欢篮球与性别无关,
,
根据小概率值的独立性检验,推断不成立,
即认为该校学生喜欢篮球与性别有关.
（2）依题意,X的可能值为0,1,2,3,
,
,
,
,
所以X的分布列为：
数学期望.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：连接交与点O,连接,,
由于平面,平面,
平面平面,故,
O为的中点,点M为中点,故,
,则四边形为平行四边形,
则,而平面,平面,
故平面;
（2）由（1）知,取中点为N,连接,,
由题意知是边长为2的正三角形,在中,,,
则,故,
是边长为2的正三角形,则,
又,,平面,则平面,
平面,故,
,,则为正三角形,故,
而,,平面,故平面,
以N为坐标原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
则,,
设平面的法向量为,则,
则,令,则;
,,设平面的法向量为,
则,即,令,则,
故,
设平面与平面所成二面角为,,
故,故平面与平面所成二面角的正弦值为.
18．答案：(1)1
(2)证明见解析
解析：（1）由题意知,,
当时,,在上单调递增,
而,当时,,与题意不符;
当时,,
由可得,在上单调递增,
此时,不符合题意;
当时,由可得,在上单调递增,
由可得,在上单调递减,
故对于任意的,恒成立,符合题意;
当时,,
由可得,在上单调递减,
此时,不符合题意;
综合上述,;
（2）证明：要证,即证;
即,
则,
令,,则,
则,即在上单调递增,
又,,,
故,使得,即,
则,,
则当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
故,
令,
则,
当时,,则,
当时,,则,
故在上单调递增,在上单调递减,
由于,故时,,
故,即,
即当时,成立.
19．答案：(1)相切,证明见解析
(2)①为定值;;②证明见解析
解析：（1）由题意知点是上的任意一点,则,
联立,得,
则,故直线l与相切;
（2）①：为定值
设,,
由（1）知切线AE为,切线BE为,
联立得,则,
又E点在直线上,故,
则,
故,即为定值;
②证明：设,,直线AB的斜率必存在,设为k,倾斜角为,
则,
的斜率存在,不妨设为,倾斜角为,
的斜率存在,不妨设为,倾斜角为,
则,
,
由题意知,为锐角,
则,,
又,故,
所以.
喜欢篮球
不喜欢篮球
合计
男生
40
女生
30
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢篮球
不喜欢篮球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
X
0
1
2
3
P