2024惠州高三下学期4月一模试题数学含答案

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数学
全卷满分150分，时间120分钟. 2024. 4
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2. 作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3. 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
已知公式eix=csx+isinx，其中i为虚数单位，根据此公式，ieπ4i=（）
A. 22+22iB. −22+22iC. 22−22iD. −22−22i
2. 设正项等比数列{an}的公比为q,若a2,3a1,a3成等差数列，则q=()
A. 12B. 2C. 13D. 3
3. 已知一个圆锥的底面半径为3,其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为()
A. 6πB. 63πC. 93πD. 12π
4. 已知l、n是两条不同的直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是()
A. 若α∥β,l⊂α,n⊂β,则l∥nB. 若α⊥β,l⊂α,则l⊥β
C. 若l∥α,α⊥β,则l⊥βD. 若l⊥α,l∥β,则α⊥β
5. 已知：sin（2α+β）=23，csαcs（α+β）=12，则tanα+tan（α+β）=()
A. 32B. 23C. 34D. 43
6. 为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x(单位：dm3)与水生植物的株数y(单位：株)之间的相关关系，收集了4组数据，用模型y=cekx(c>0)去拟合x与y的关系，设z=lny,x与z的数据如表格所示：得到x与z的线性回归方程z=1.2x+a,则c=()
A. -2B. -1C. e−2D. e−1
7. 某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入到甲，乙，丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰A必须安排在甲区域. 在所有可能的安排方案中随机选取一种，则此时甲区域还有其它军舰的概率为()
A. 1825B. 1225C. 725D. 625
8. 函数fx的定义域为R,f3x−1为奇函数，且fx−1的图像关于x=1对称：若曲线fx在x=1处的切线斜率为2,则曲线fx在x=2023处的切线方程为()
A. y=-2x+4046B. y=2x+4046
C. y=2x-4046D. y=-2x-4046
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 已知函数fx=2sin（13x+φ）（｜φ｜＜π2），直线x=-π为fx图象的一条对称轴，则下列说法正确的是()
A. φ=π6
B. fx在区间［-π，-π2］上单调递增
C. fx在区间[-π,π]上的最大值为2
D. 若fx+θ为偶函数，则θ=2π+3kπ(k∈Z)
10. 掷一枚质量均匀的骰子，记事件A:掷出的点数为偶数；事件B:掷出的点数大于2. 则下列说法正确的是()
A. P(A)C. P(AB)>P(AB)D. P(B|A)>P(A|B)
11. 已知M、N是抛物线C:x2=2py(p>0)上两点，焦点为F,(抛物线上一点P(t,1)到焦点F的距离为32，下列说法正确的是()
A. p=1
B. 若OM⊥ON,则直线MN恒过定点(0,1)
C. 若△MOF的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为12
D. 若MF=2FN,则直线MN的斜率为±24.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切，则双曲线的离心率为
13. 已知正四面体ABCD中，AP=12AB,AQ=13AC,AR=14AD,记三棱锥A-PQR和三棱锥A-BCD的体积分别为V1、V2,则V1V2=
14. 设满足方程（2alna-b）2+（c2-mc+3+d）2=0的点(a,b),(c,d)的运动轨迹分别为曲线M、N,若在区间［1e，e］,曲线M,N有两个交点(其中e=是自然对数的底数),则实数m的最大值为
四、解答题(本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分13分)
已知函数f(x)=ax3+bx2(x∈R)的图象过点P(-1,2),且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直。
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增，求实数m的取值范围，
16. (本小题满分15分)
在△ABC中，已知a,b,c分别为角A,B,C的对边. 若向量m=(a,csA),向量n=(csC,c),且m·n=36csB.
(1)求csB的值；
(2)若a,b,c成等比数列，求1tanA+1tanC的值.
17. (本小题满分15分)
全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱. 每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况整理成如下2×2列联表：
(1)完成2×2列联表，并依据小概率值α=0. 01的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关；
(2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0. 3,0. 5,0. 2,相应球队赢球的概率分别为0. 7,0. 8,0. 6.
(i)当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
(ii)当甲球员上场参加比赛时，已知球队赢球的条件下，求甲球员打中锋的概率. (精确到0. 01)
附：x2=n（ad−bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）n=a+b+c+d,
18. (本小题满分17分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为12,经过点F1且倾斜角为θ（0＜θ＜π2）的直线l与椭圆交于A、B两点(其中点A在x轴上方)△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，将平面xy沿x轴折叠，使y
轴正半轴和x轴所确定的半平面(平面
AF1F2)与y轴负半轴和x轴所确定的半
折叠前折叠后
平面(平面BF1F2)互相垂直.
(1)若θ=π3，求异面直线AF1和BF2所成角的余弦值；
(ii)是否存在θ（0＜θ＜π2）,使得△ABF2折叠后的周长为与折叠前的周长之比为1516？若
存在，求tanθ的值；若不存在，请说明理由。
19. (本小题满分17分)
约数，又称因数. 它的定义如下：若整数a除以整数m(m≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数. 设正整数a共有k个正约数，记为a1,a2,…,ak-1,ak(a1当k=4时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；
(2)当k≥4时，若a2-a1，a3-a2,…,ak-ak-1构成等比数列，求证：a=a2k−1（k≥4）
(3)记A=a1a2+a2a3+…+ak-1ak,求证：A3
4
-6
7
z
2
2.5
4.5
7
甲球员是否上场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
40
45
未上场
3
合计
42
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
xa
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828