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2024江西省五市九校协作体高三下学期第二次联考数学试卷
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填空题:12. -105 13. 2 14.
15.【解答】解:(1)当m=1时,记事件A:“所取子集的元素既有奇数又有偶数”.
则集合{1,2,3,4,5}的非空子集数为25﹣1=31,
其中非空子集的元素全为奇数的子集数为23﹣1=7,
全为偶数的子集数为22﹣1=3,
所以所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率P(A)=.……………………(5分)
(2)当m=2时,î的所有可能取值为0,1,2,3,4,
P(î=0)==,
P(î=1)=2×=,
P(î=2)=2×=,
P(î=3)==,
P(î=4)=2×=,
∴î的分布列为:
……所以î的数学期望E(î)=+=.…………(13分)
16.【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=lnx﹣(x﹣1),
其定义域为,
令f′(x)>0,解得0<x<1,
∴函数f(x)的增区间为(0,1).………………………………………………………………(4分)
(2)①由f(x)=lnx﹣a(x﹣1),得,
若a≤0,则f′(x)>0,f(x)单调递增;………………………………………………………(6分)
若,
当时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当a≤0时,f(x)单调递增,x∈(0,1]时,f(x)max=f(1)=0,满足题意;…………(8分)
当时,在x∈(0,1]时,f(x)max=f(1)=0,满足题意;…………………………(10分)
当时,即a>1,在,
令g(x)=x﹣lnx﹣1,则,
当x>1时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
∴g(x)>g(1)=0,即a﹣lna﹣1>0,不满足题意,
综上,a的取值范围是{a|a≤1};……………………………………………………………………(15分)
17.【解答】解:(1)设BC1∩B1C=O,连接OA,
∵侧面BB1C1C为菱形,
∴BC1⊥B1C,且O为B1C及BC1的中点,
又AC⊥AB1,∴OA=OC=OB1,
又AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB,即BC1⊥OA,
而OA,B1C为平面AB1C内的两条相交直线,∴BC1⊥平面AB1C1.…………………………(6分)
(2)∵AB⊥B1C,BC1⊥B1C,AB∩BC1=B∴B1C⊥平面ABO,∵AO⊂平面ABO,∴B1C⊥AO,即OA⊥OB1,
从而OA,OB,OB1两两互相垂直.
以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长度,建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz
∵∠CBB1=60°,∴△CBB1为等边三角形,
∵AB=BC,∴,
∴,
设是平面B1AA1的法向量,
则,即,取x=1,得,
设是平面C1AA1的法向量,
则,同理可取,
∵cs<,>==,∴二面角B1﹣AA1﹣C1的余弦值为.…………………(15分)
18. 解析】(1)由题意可设双曲线,
则,解得,
所以双曲线的方程为.………………………………………………………(4分)
(2)(i)设,直线的方程为,
由,消元得.
则,且,
;…………………(9分)
或由韦达定理可得,即,
,
即与的比值为定值.
(ii)设直线,
代入双曲线方程并整理得,
由于点为双曲线的左顶点,所以此方程有一根为,.
由韦达定理得:,解得.
因为点A在双曲线的右支上,所以,解得,即,
同理可得,
由(i)中结论可知,
得,所以,
故,
设,其图象对称轴为,
则在上单调递减,故,
故的取值范围为.………………………………(17分)
另解:由于双曲线的渐近线方程为,
如图,过点作两渐近线的平行线与,由于点A在双曲线的右支上,
所以直线介于直线与之间(含轴,不含直线与),
所以.
同理,过点作两渐近线的平行线与,
由于点在双曲线的右支上,
所以直线介于直线与之间(不含轴,不含直线与),
所以.
由(i)中结论可知,
得,所以,
故
19. 【详解】(1)根据“数列”的定义,则,故,
因为成立,成立,不成立,
所以不是“数列”.……………………………………………………………………(3分)
(2)由是首项为的“数列”,则,,
由是等比数列,设公比为,
由,
则,
两式作差可得,
即
由是 “数列”,则,对于恒成立,
所以,
即对于恒成立,
则,即,
解得,,,
又由,,则,即
故所求的,数列的通项公式……………………………………………………(9分)
(3)设函数,则,令,
解得,当时,,
则在区间单调递减,
且,
又由是 “数列”,
即 ,对于恒成立,
因为,则,
再结合,
反复利用,
可得对于任意的,,
则,
即,则,
即,,,,
相加可得,
则,
又因为在上单调递增,
所以,
又,所以,
即,
故.………………………………………………………………………………(17分)
î
0
1
2
3
4
…………(10分)
P
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