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    2024江西省五市九校协作体高三下学期第二次联考数学试卷

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    2024江西省五市九校协作体高三下学期第二次联考数学试卷

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    这是一份2024江西省五市九校协作体高三下学期第二次联考数学试卷,文件包含数学试卷pdf、2数学参考答案docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共11页, 欢迎下载使用。


    填空题:12. -105 13. 2 14.
    15.【解答】解:(1)当m=1时,记事件A:“所取子集的元素既有奇数又有偶数”.
    则集合{1,2,3,4,5}的非空子集数为25﹣1=31,
    其中非空子集的元素全为奇数的子集数为23﹣1=7,
    全为偶数的子集数为22﹣1=3,
    所以所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率P(A)=.……………………(5分)
    (2)当m=2时,î的所有可能取值为0,1,2,3,4,
    P(î=0)==,
    P(î=1)=2×=,
    P(î=2)=2×=,
    P(î=3)==,
    P(î=4)=2×=,
    ∴î的分布列为:
    ……所以î的数学期望E(î)=+=.…………(13分)
    16.【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=lnx﹣(x﹣1),
    其定义域为,
    令f′(x)>0,解得0<x<1,
    ∴函数f(x)的增区间为(0,1).………………………………………………………………(4分)
    (2)①由f(x)=lnx﹣a(x﹣1),得,
    若a≤0,则f′(x)>0,f(x)单调递增;………………………………………………………(6分)
    若,
    当时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
    当a≤0时,f(x)单调递增,x∈(0,1]时,f(x)max=f(1)=0,满足题意;…………(8分)
    当时,在x∈(0,1]时,f(x)max=f(1)=0,满足题意;…………………………(10分)
    当时,即a>1,在,
    令g(x)=x﹣lnx﹣1,则,
    当x>1时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
    ∴g(x)>g(1)=0,即a﹣lna﹣1>0,不满足题意,
    综上,a的取值范围是{a|a≤1};……………………………………………………………………(15分)
    17.【解答】解:(1)设BC1∩B1C=O,连接OA,
    ∵侧面BB1C1C为菱形,
    ∴BC1⊥B1C,且O为B1C及BC1的中点,
    又AC⊥AB1,∴OA=OC=OB1,
    又AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB,即BC1⊥OA,
    而OA,B1C为平面AB1C内的两条相交直线,∴BC1⊥平面AB1C1.…………………………(6分)
    (2)∵AB⊥B1C,BC1⊥B1C,AB∩BC1=B∴B1C⊥平面ABO,∵AO⊂平面ABO,∴B1C⊥AO,即OA⊥OB1,
    从而OA,OB,OB1两两互相垂直.
    以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长度,建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz
    ∵∠CBB1=60°,∴△CBB1为等边三角形,
    ∵AB=BC,∴,
    ∴,
    设是平面B1AA1的法向量,
    则,即,取x=1,得,
    设是平面C1AA1的法向量,
    则,同理可取,
    ∵cs<,>==,∴二面角B1﹣AA1﹣C1的余弦值为.…………………(15分)
    18. 解析】(1)由题意可设双曲线,
    则,解得,
    所以双曲线的方程为.………………………………………………………(4分)
    (2)(i)设,直线的方程为,
    由,消元得.
    则,且,
    ;…………………(9分)
    或由韦达定理可得,即,

    即与的比值为定值.
    (ii)设直线,
    代入双曲线方程并整理得,
    由于点为双曲线的左顶点,所以此方程有一根为,.
    由韦达定理得:,解得.
    因为点A在双曲线的右支上,所以,解得,即,
    同理可得,
    由(i)中结论可知,
    得,所以,
    故,
    设,其图象对称轴为,
    则在上单调递减,故,
    故的取值范围为.………………………………(17分)
    另解:由于双曲线的渐近线方程为,
    如图,过点作两渐近线的平行线与,由于点A在双曲线的右支上,
    所以直线介于直线与之间(含轴,不含直线与),
    所以.
    同理,过点作两渐近线的平行线与,
    由于点在双曲线的右支上,
    所以直线介于直线与之间(不含轴,不含直线与),
    所以.
    由(i)中结论可知,
    得,所以,

    19. 【详解】(1)根据“数列”的定义,则,故,
    因为成立,成立,不成立,
    所以不是“数列”.……………………………………………………………………(3分)
    (2)由是首项为的“数列”,则,,
    由是等比数列,设公比为,
    由,
    则,
    两式作差可得,

    由是 “数列”,则,对于恒成立,
    所以,
    即对于恒成立,
    则,即,
    解得,,,
    又由,,则,即
    故所求的,数列的通项公式……………………………………………………(9分)
    (3)设函数,则,令,
    解得,当时,,
    则在区间单调递减,
    且,
    又由是 “数列”,
    即 ,对于恒成立,
    因为,则,
    再结合,
    反复利用,
    可得对于任意的,,
    则,
    即,则,
    即,,,,
    相加可得,
    则,
    又因为在上单调递增,
    所以,
    又,所以,
    即,
    故.………………………………………………………………………………(17分)
    î
    0
    1
    2
    3
    4
    …………(10分)
    P

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