2021人教版·山西省晋中市太谷区开学考试九年级下册数学试题

这是一份2021人教版·山西省晋中市太谷区开学考试九年级下册数学试题，共14页。试卷主要包含了已知反比例函数的图象经过点，已知二次函数y＝x2+等内容，欢迎下载使用。

1．对式子2a2﹣4a﹣1进行配方变形，正确的是（ ）
A．2（a+1）2﹣3B．（a﹣1）2﹣C．2（a﹣1）2﹣1D．2（a﹣1）2﹣3
2．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
3．不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．从中任意摸一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（2，10）B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）
5．已知反比例函数的图象经过点（﹣2，4），当x＞2时，所对应的函数值y的取值范围是（ ）
A．﹣2＜y＜0B．﹣3＜y＜﹣1C．﹣4＜y＜0D．0＜y＜1
6．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣3
C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣3
7．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（ ）
A．B．C．D．
8．若锐角α满足csα＜且tanα＜，则α的范围是（ ）
A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°
9．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（ ）
A．1：4B．1：5C．1：6D．1：7
10．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ）
A．m＝﹣1B．m＝3C．m≤﹣1D．m≥﹣1
二.填空题（ 共18分）
11．观察表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0最精确的一个近似解是 （精确到0.1）．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB＝30°，AB＝BO，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，若S△ABO＝，则k的值为 ．
13．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则当2＜y＜5时，x的取值范围是 ．
15．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果C，D旋转后分别落在点E，F的位置，那么∠EFD的正切值是 ．
三．解答题（共72分）
16.计算：
（1）sin30°﹣cs45°+tan60°．
（2）（x﹣1）2＝3x﹣3．
17.如图1，将一张△ABC纸片折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠加矩形．
（1）正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图2中画出折痕．
（2）如图3，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个三角形△ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形．
18.为进一步推广“阳光体育”大课间活动，某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整．
（2）随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
19.某一天，小明和小亮来到一河边，想用平面镜和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点C（点C与河对岸岸边上的一棵树的底部点B所确定的直线垂直于河岸）．
小明到F点时正好在平面镜中看到树尖A，小亮在点D放置平面镜，小亮到H点时正好在平面镜中看到树尖A，且F、D、H均在BC的延长线上，小明的眼睛距地面的高度EF＝1.5m，小亮的眼睛距地面的高度GH＝1.6m，测得CF＝1m，DH＝2m，CD＝8.4m，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BC是多少米？
20.如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．
（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；
（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．
21.综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．
折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF．如图①：点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②
（一）填一填，做一做：
（1）图②中，∠CMD＝ ．
线段NF＝
（2）图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．
剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，分别得到图③、图④．
（二）填一填
（3）图③中阴影部分的周长为 ．
（4）图③中，若∠A′GN＝80°，则∠A′HD＝ °．
（5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有 对；
（6）如图④点A′落在边ND上，若＝，则＝ （用含m，n的代数式表示）．
22.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
参考答案
1-5 DDBCC 6-10 DABAD
11.1.7 12.﹣3 13.1 14.0＜x＜1或3＜x＜4 15.
16.【解答】（1）原式＝﹣×+×
＝﹣+
＝；
（2）（x﹣1）2＝3x﹣3，
（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，
解得，x1＝1，x2＝4．
17.【解答】解：（1）如图2中，矩形EFGH即为所求作．
（2）如图3中，△ABC即为所求作．
18.【解答】解：（1）被调查的学生总人数为15÷10%＝150（人），
本次调查中喜欢“跑步”的学生人数为150﹣（15+45+30）＝60（人），所占百分比为1﹣（10%+30%+20%）＝40%，
补全统计图如下：
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，刚好抽到同性别学生的有4种情况，
∴刚好抽到同性别学生的概率为＝．
19.【解答】解：由题意可得：∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH．
∵AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，
∴∠ABC＝∠EFC＝∠CHD＝90°，
∴△ABC∽△EFC，
∴＝，即＝．
∵∠ADB＝∠GDH，∠ABC＝∠GHD＝90°，
∴△ABD∽△GHD，
∴＝，即＝，
解得BC＝9.6m．
答：河宽BC是9.6m．
20.【解答】解：（1）作BD⊥OC于D，
∵△BOC是等边三角形，
∴OB＝OC＝2，OD＝OC＝1，
∴BD＝＝，
∴S△OBD＝OD×BD＝，
S△OBD＝|k|，
∴|k|＝，
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象在一三象限，
∴k＝，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵S△OBC＝OC•BD＝＝，
∴S△AOC＝3﹣＝2，
∵S△AOC＝OC•yA＝2，
∴yA＝2，
把y＝2代入y＝，求得x＝，
∴点A的坐标为（，2）．
21.【解答】解：（1）由折叠的性质得，四边形CDEF是矩形，
∴EF＝CD，∠DEF＝90°，DE＝AE＝AD，
∵将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，
∴DN＝CD＝2DE，MN＝CM，
∴∠EDN＝60°，
∴∠CDM＝∠NDM＝15°，EN＝DN＝2，
∴∠CMD＝75°，NF＝EF﹣EN＝4﹣2；
故答案为：75°，4﹣2；
（2）△AND是等边三角形，理由如下：
在△AEN与△DEN中，，
∴△AEN≌△DEN（SAS），
∴AN＝DN，
∵∠EDN＝60°，
∴△AND是等边三角形；
（3）∵将图②中的△AND沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，
∴A′G＝AG，A′H＝AH，
∴图③中阴影部分的周长＝△ADN的周长＝3×4＝12；
故答案为：12；
（4）∵将图②中的△AND沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，
∴∠AGH＝∠A′GH，∠AHG＝∠A′HG，
∵∠A′GN＝80°，
∴∠AGH＝50°，
∴∠AHG＝∠A′HG＝70°，
∴∠A′HD＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
故答案为：40；
（5）如图③，
∵∠A＝∠N＝∠D＝∠A′＝60°，
∠NMG＝∠A′MN，∠A′NM＝∠DNH，
∴△NGM∽△A′NM∽△DNH，
∵△AGH≌△A′GH
∴图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有4对，
故答案为：4；
（6）∵＝，
设A'N＝am，则A'D＝an，
∵∠N＝∠D＝∠A＝∠A′＝60°，
∴∠NA′G+∠A′GN＝∠NA′G+∠DA′H＝120°，
∴∠A′GN＝∠DA′H，
∴△A′GN∽△HA′D，
∴＝＝，
设A'G＝AG＝x，A'H＝AH＝y，则GN＝4﹣x，DH＝4﹣y，
∴＝＝，
解得：x＝y，
∴＝＝＝；
故答案为：．
22.【解答】解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），
由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3①；
tan∠BCO＝，则cs∠BCO＝；
①当点P（P′）在点C的右侧时，
∵∠P'BC＝∠BCO，
故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；
当点P在点C的左侧时，
设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，
∵∠P'BC＝∠BCO，
∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cs∠BCO＝2×CH×＝，
解得：CH＝，则OH＝3﹣CH＝，故点H（0，﹣），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝x﹣②，
联立①②并解得：，
故点P的坐标为（﹣5，﹣8）；
②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝，
故设直线AP的表达式为：y＝x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，
故直线AP的表达式为：y＝x+1③，
联立①③并解得：，故点N（，）；
设△AMN的外接圆为圆R，
当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），
∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，
∴∠RMH＝∠GAR，
∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，
∴△AGR≌△RHM（AAS），
∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，
∴点M（m+n，n﹣m﹣3），
将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3④，
由题意得：AR＝NR，即（m+3）2+n2＝（m﹣）2+（﹣n）2⑤，
联立④⑤并解得：，
故点M（﹣，﹣）．
x
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x﹣1.1
﹣0.71
﹣0.54
﹣0.35
﹣0.14
0.09
0.34
0.61
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…