2025高考物理一轮考点突破训练第6章机械能专题强化7功能关系能量守恒定律考点1功能关系的理解和应用

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1．对功能关系的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能量转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2．力学中几种常见的功能关系及其表达式
►考向1 功能关系的理解和应用
(多选)如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP＝3R，重力加速度为g，则小球从P点到B点的运动过程中( AD )
A．重力势能减少2mgR
B．机械能减少2mgR
C．动能增加mgR
D．克服摩擦力做功eq \f(3,2)mgR
[解析] 小球从P点到B点的运动过程中，重力做功为WG＝mg·2R＝2mgR，故重力势能减少2mgR，A正确；小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力，根据牛顿第二定律，有mg＝meq \f(v\\al(2,B),R)，解得vB＝eq \r(gR)，从P点到B点过程，重力势能减小量为2mgR，动能增加量为eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)＝eq \f(1,2)mgR，故机械能减少量为2mgR－eq \f(1,2)mgR＝eq \f(3,2)mgR，从P点到B点过程，克服摩擦力做功等于机械能减少量，则克服摩擦力做的功为eq \f(3,2)mgR，故B、C错误，D正确。

功能关系的选用原则
(1)总的原则是根据做功与能量转化的一一对应关系，确定所选用的定理或规律，若只涉及动能的变化用动能定理分析。
(2)只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。
(3)只涉及机械能的变化用除重力和系统内弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。
(4)只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析。
►考向2 利用动力学观点和能量观点解答多过程问题
如图所示为一弹射游戏装置，由安装在水平轨道AB左侧的弹射器、半圆轨道CDE、水平轨道EF、四分之一圆弧轨道FO4、IO2、对称圆弧轨道GO4、HO2等组成。CDE半径r1＝0.9 m，EF长度L＝4.5 m，FO4、IO2半径r2＝0.6 m，GO4、HO2半径r3＝0.3 m、圆心角θ＝37°。C点略高于B点且在同一竖直线上，其余各段轨道平滑连接。可视为质点的滑块质量m＝1 kg，锁定在弹射器上的A点，解除锁定后滑块在水平轨道AB上运动了l＝0.2 m，从B点贴着C点进入半圆轨道，滑块在C点对半圆轨道的压力恰好为零。除水平轨道AB、EF外其余轨道均光滑，滑块与水平轨道AB间的动摩擦因数μ1＝0.2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。求：
(1)弹射器的弹性势能Ep；
(2)若滑块从G点飞出后从H点进入轨道，滑块在G点速度vG的大小；
(3)若滑块在运动过程中不脱离轨道且经过了F点，滑块与水平轨道EF的动摩擦因数μ的范围。
[解析] (1)对滑块在C点，有mg＝meq \f(v\\al(2,C),r1)
对滑块从A点到C点过程中，有
Ep＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)＋μ1mgl
解得Ep＝4.9 J。
(2)对滑块从G点到H点过程，有
2r3cs θ＝vGsin θ·t
t＝eq \f(2vGcs θ,g)
解得vG＝eq \r(5) m/s。
(3)情景1：若滑块刚好到F点速度为0，对滑块从C点到F点的过程，有2mgr1－μmgL＝0－eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)
解得μ＝eq \f(1,2)；
情景2：若滑块刚好到O4点速度为0，对滑块从C点到O4点过程，有mg(2r1－r2)－μmgL＝0－eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)
解得μ＝eq \f(11,30)
综上所述，若滑块在运动过程中最终不脱离轨道且经过了F点，滑块与水平轨道EF的动摩擦因数μ的范围是eq \f(11,30)≤μ[答案] (1)4.9 J (2)eq \r(5) m/s (3)eq \f(11,30)≤μ
1．分析思路
(1)受力与运动分析：根据物体的运动过程分析物体的受力情况，以及不同运动过程中力的变化情况；
(2)做功分析：根据各种力做功的不同特点，分析各种力在不同运动过程中的做功情况；
(3)功能关系分析：运用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律进行分析，选择合适的规律求解。
2．方法技巧
(1)“合”——整体上把握全过程，构建大致的运动情景；
(2)“分”——将全过程进行分解，分析每个子过程对应的基本规律；
(3)“合”——找出各子过程之间的联系，以衔接点为突破口，寻求解题最优方案。
【跟踪训练】
(对功能关系的理解)(多选)第22届哈尔滨冰雪大世界开门迎客了，近400 m长的极速大滑梯是大人、孩子最喜欢的王牌娱乐项目。一名游客坐在雪橇上下滑了一段路程，重力对他做功3 000 J，他克服阻力做功500 J，则在此过程中这名游客( CD )
A．重力势能增加了3 000 J
B．动能增加了3 000 J
C．动能增加了2 500 J
D．机械能减少了500 J
[解析] 重力做正功，所以游客的重力势能减少了3 000 J，A错误；合力做的功等于动能的增加量，所以动能增加了3 000 J－500 J＝2 500 J，B错误，C正确；游客的机械能等于动能与重力势能的总和，重力势能减少了3 000 J，动能增加了2 500 J，所以机械能减少了500 J，D正确。
(多选)(功能关系中的图像问题)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ 所示，重力加速度取10 m/s2。则( AB )
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
[解析] 物块在下滑过程中重力势能减少，动能增加，故Ⅰ为重力势能随下滑距离s的变化图线，Ⅱ为动能随下滑距离s的变化图线。由题图可知，初状态时物块的机械能为E1＝30 J，末状态时物块的机械能为E2＝10 J，故物块下滑过程中机械能不守恒，A正确；物块下滑过程损失的机械能转化为克服摩擦力做功产生的内能，设斜面倾角为θ，物块质量为m，由功能关系得μmgcs θ·s＝E1－E2，由几何知识知cs θ＝eq \f(4,5)，物块开始下滑时Ep＝E1＝mgh，由以上各式解得μ＝0.5，m＝1 kg，B正确；由牛顿第二定律得mgsin θ－μmgcs θ＝ma，解得a＝2.0 m/s2，C错误；由功能关系得，物块下滑2.0 m时损失的机械能为ΔE＝μmgcs θ·s1＝8 J，D错误。
(动力学观点和能量观点的综合应用)如图所示，AB、FG均为半径R＝0.45 m的四分之一光滑圆弧轨道，半径O1B、O2F均竖直，C点在B点的正下方，C、D两点在同一高度上，DE为倾角θ＝53°、长度L1＝2 m的粗糙斜轨道，EF为粗糙水平直轨道。一物块(视为质点)从A点由静止滑下，从B点水平飞出后恰好落到D点，并且物块落到D点时的速度方向与DE轨道平行，物块经过EF轨道后恰好能到达G点。物块与DE、EF两轨道间的动摩擦因数均为μ＝eq \f(1,3)，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计物块经过E点的能量损失，不计空气阻力。求：(sin 53°＝0.8，结果可保留分数)
(1)C、D两点间的距离x；
(2)物块从B点运动到E点的时间t；
(3)EF轨道的长度L2以及物块最后停止的位置到F点的距离s。
[答案] (1)1.2 m (2)eq \f(11,15) s (3)6 m 1.35 m
[解析] (1)物块从A点由静止滑到B点，由机械能守恒定律有mgR＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，解得vB＝3 m/s
物块从B到D做平抛运动，由速度的合成与分解可知，物块在D点的速度大小vD＝eq \f(vB,cs θ)＝5 m/s
竖直方向的分速度大小vy＝vBtan θ＝4 m/s
竖直方向物块做自由落体运动，
有vy＝gt1，
解得t1＝0.4 s，C、D两点间的距离x＝vBt1＝1.2 m。
(2)物块在斜轨道上的加速度大小a1＝gsin θ－μgcs θ＝6 m/s2，
由L1＝vDt2＋eq \f(1,2)a1teq \\al(2,2)
代入数据解得t2＝eq \f(1,3) s
物块从B点运动到E点的时间
t＝t1＋t2＝0.4 s＋eq \f(1,3) s＝eq \f(11,15) s。
(3)物块由F到G，由机械能守恒定律eq \f(1,2)mveq \\al(2,F)＝mgR，
代入数据解得vF＝eq \r(2gR)＝3 m/s
物块在E点的速度vE＝vD＋a1t2，可得vE＝7 m/s
物块从E到F，由动能定理可得
－μmgL2＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,F)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,E)
代入数据解得L2＝6 m
物块由G点滑下经F点到粗糙水平直轨道上滑行直至停下，由动能定理可得－μmgs＝0－eq \f(1,2)mveq \\al(2,F)
代入数据解得s＝1.35 m。力做功
能的变化
定量关系
合外力做功
动能变化
(1)合外力做正功，动能增加；
(2)合外力做负功，动能减少；
(3)W＝Ek2－Ek1＝ΔEk
重力做功
重力势
能变化
(1)重力做正功，重力势能减少；
(2)重力做负功，重力势能增加；
(3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
弹簧弹力做功
弹性势
能变化
(1)弹力做正功，弹性势能减少；
(2)弹力做负功，弹性势能增加；
(3)W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
除重力和系统内弹簧弹力之外的其他力做功
机械能
变化
(1)其他力做正功，系统的机械能增加；
(2)其他力做负功，系统的机械能减少；
(3)W＝ΔE
一对相互作用的滑动摩擦力的总功
内能
变化
(1)作用于系统的一对滑动摩擦力的总功一定为负值，其绝对值等于系统内能的变化；
(2)|W|＝Q＝Ff·L相对