2024湖北省第九届高三下学期4月四调（三模）数学试题含解析

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本试题卷共4页，19小题，全卷满分150分．考试用时120分钟．
祝考试顺利
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设，，，则等于（ ）
A. B. 0C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 下面四个数中，最大的是（ ）
A B. C. D.
4. 数列的首项为1，前n项和为，若，（）则，（ ）
A. 9B. 1C. 8D. 45
5. 复数（）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
7. 能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（ ）
A. 228B. 210C. 240D. 238
8. 抛物线上有四点，，，，直线，交于点，且，．过分别作的切线交于点Q，若，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（ ）
A 0B. 4C. 8D. 16
10. 已知函数有最小正零点，，若在上单调，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，三棱台底面为锐角三角形，点D，H，E分别为棱，，的中点，且，；侧面为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为，则下列说法可能但不一定正确的是（ ）
A. 该三棱台的体积最小值为B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 写出函数的一条斜率为正的切线方程：______．
13. 两个连续随机变量X，Y满足，且，若，则______．
14. 双曲线的左右焦点分别为，，以实轴为直径作圆O，过圆O上一点E作圆O的切线交双曲线的渐近线于A，B两点（B在第一象限），若，与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 数列中，，，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）数列前项和为，且满足，，求．
16. 已知椭圆和的离心率相同，设的右顶点为，的左顶点为，，
（1）证明：；
（2）设直线与的另一个交点为P，直线与的另一个交点为Q，连，求的最大值．
参考公式：
17. 空间中有一个平面和两条直线m，n，其中m，n与的交点分别为A，B，，设直线m与n之间的夹角为，
（1）如图1，若直线m，n交于点C，求点C到平面距离的最大值；
（2）如图2，若直线m，n互为异面直线，直线m上一点P和直线n上一点Q满足，且，
（i）证明：直线m，n与平面的夹角之和为定值；
（ii）设，求点P到平面距离的最大值关于d的函数．
18. 已知函数，，
（1）若对定义域内任意非零实数，，均有，求a；
（2）记，证明：．
19. 欧拉函数在密码学中有重要的应用．设n为正整数，集合，欧拉函数的值等于集合中与n互质的正整数的个数；记表示x除以y的余数（x和y均为正整数），
（1）求和；
（2）现有三个素数p，q，，，存正整数d满足；已知对素数a和，均有，证明：若，则；
（3）设n为两个未知素数的乘积，，为另两个更大的已知素数，且；又，，，试用，和n求出x的值．