2023-2024学年北京市西城区第八中学九年级下学期开学考试数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市西城区第八中学九年级下学期开学考试数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图是一个拱形积木玩具，其主视图是( )
A. B. C. D.
2.2022年北京打造了一届绿色环保的冬奥会．张家口赛区按照“渗、滞、蓄、净、用、排”的原则，在古杨树场馆群修建了250000立方米雨水收集池，用于收集雨水和融雪水，最大限度减少水资源浪费．将250000用科学记数法表示应为( )
A. 0.25×105B. 2.5×105C. 2.5×104D. 25×104
3.如图，∠AOB=160∘，∠COB=20∘.若OD平分∠AOC，则∠AOD的大小为
( )
A. 20°B. 70°C. 80°D. 140°
4.若一个多边形的每个外角都是30∘，则这个多边形的边数为
( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
5.不透明的袋子中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是( )
A. 25B. 35C. 23D. 12
6.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
( )
A. a<−1B. a7.北京2022年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代表团入场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图1是中国体育代表团的引导牌，观察发现，图2中的图案可以由图3中的图案经过对称、旋转等变换得到．下列关于图2和图3的说法中，不正确的是( )
A. 图2中的图案是轴对称图形
B. 图2中的图案是中心对称图形
C. 图2中的图案绕某个固定点旋转60°，可以与自身重合
D. 将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，可以设计出图2中的图案
8.某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O，A，由线段AB及优弧AB⌢围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是( )
①在M处放置2台该型号的灯光装置；②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置；③在P处放置2台该型号的灯光装置．
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题（本题共7小题，共21分）
9.若代数式2x−3有意义，则实数x的取值范围是 ．
10.已知 211.分解因式：3x2−3y2= ．
12.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点．若∠APB=60∘，则∠AOP的大小为 ．
13.若关于x的一元二次方程x2−4x+m=0没有实数根，则m的取值范围是 ．
14.在平面直角坐标系xOy中，直线y=ax与双曲线y=kx交于点A−1,2和点B，则点B的坐标为 ．
15.甲、乙在下图所示的表格中从左至右依次填数．如图，已知表中第一个数字是1，甲、乙轮流从2，3，4，5，6，7，8，9中选出一个数字填入表中(表中已出现的数字不再重复使用).每次填数时，甲会选择填入后使表中数据方差最大的数字，乙会选择填入后使表中数据方差最小的数字．甲先填，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果．
三、解答题（本题共13小题，共100分）
16.如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等．
17.计算： 3tan60∘− 8+− 2−1−π0．
18.解不等式组：4x−1<3x,5x+32>x.
19.已知m2−2mn−3=0，求代数式m−n2+m+nm−n−m2的值．
20.《元史·天文志》中记载了元朝著名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四海测验”.这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”与现在人们所说的“北纬”完全吻合．利用类似的原理，我们也可以测量出所在地的纬度．如图1所示．
①春分时，太阳光直射赤道．此时在M地直立一根杆子MN，在太阳光照射下，杆子MN会在地面上形成影子．通过测量杆子与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子MN所成的夹角α；
②由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的，所以根据太阳光与杆子MN所成的夹角α可以推算得到M地的纬度，即∠MOB的大小．
(1)图2是①中在M地测算太阳光与杆子MN所成夹角α的示意图．过点M作MN的垂线与直线CD交于点Q，则线段MQ可以看成是杆子MN在地面上形成的影子．使用直尺和圆规，在图2中作出影子MQ(保留作图痕迹)；
(2)依据图1完成如下证明．
证明：∵AB/​/CD，
∴∠MOB=_________=α(___________________________)(填推理的依据)
∴M地的纬度为α．
21.如图，在▵ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且DE=DF．
(1)求证：四边形BECF是菱形；
(2)若AD=BC=6，AE=BE，求菱形BECF的面积．
22.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+bk≠0的图象由函数y=12x的图象平移得到，且经过点−2,0．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x>m时，对于x的每一个值，函数y=3x−4的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．
23.数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器(如图所示)的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系．
具体研究过程如下，请补充完整：
(1)建立模型：设该容器的表面积为Scm2，底面半径为xcm，高为ycm，则
330=πx2y， ①
S=2πx2+2πxy， ②
由①式得y=330πx2，代入②式得
S=2πx2+660x. ③
可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是x>0．
(2)探究函数：
根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算(精确到个位)，得到了S与x的几组对应值：
在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
(3)解决问题：根据图表回答，
①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______.(填“大”或“小”)；
②若容器的表面积为300cm2，容器底面半径约为______cm(精确到0.1)．
24.如图，⊙O是▵ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D为AC⌢的中点，⊙O的切线DE交OC延长线于点E．
(1)求证：DE//AC；
(2)连接BD交AC于点P，若AC=8，csA=45，求DE和BP的长．
25.为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下图是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图．
(1)①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是______分，他两次活动的平均成绩是______分；
②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“○”圈出代表乙的点；
(2)为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，A，B，C三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图(数据分成6组：70≤x<75，75≤x<80，80≤x<85，85≤x<90，90≤x<95，95≤x≤100)：
已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是______；
(3)假设有400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的 学生人数为_______．
26.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−2axa≠0的图象经过点A−1,3．
(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；
(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A，点m,y1在一次函数y=2x+b的图象上，点m+4,y2在二次函数y=ax2−2ax的图象上．若y1>y2，求m的取值范围．
27.在Rt▵ABC中，∠ABC=90∘，∠BAC=30∘．D为边BC上一动点，点E在边AC上，CE=CD.点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．
(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；
(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断(1)中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．
28.在平面直角坐标系xOy中，对于点Px1,y1，给出如下定义：当点Qx2,y2满足x1+x2=y1+y2时，称点Q是点P的等和点．已知点P2,0．
备用图
(1)在Q10,2，Q2−2,−1，Q31,3中，点P的等和点有________；
(2)点A在直线y=−x+4上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标；
(3)已知点Bb,0和线段MN，对于所有满足BC=1的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据从前面看到的图形是主视图，即可求解．
【详解】解：根据题意得：其主视图是
．
故选：C
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握从前面看到的图形是主视图是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a× 10n 的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】解：250000=2.5 ×105 ，
故选B
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a× 10n 的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】【分析】先求出∠AOC，根据角平分线定义求出∠AOD即可．
【详解】解：∵∠AOB=160°，∠COB=20°，
∴∠AOC=∠AOB−∠COB=140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD= 12 ∠AOC=70°，
故选：B．
【点睛】本题考查了角的计算和角平分线．掌握角平分线的的运用，能求出各个角的度数是解此题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】根据已知条件和多边形的外角和求出边数即可．
【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于 30∘ ，
又∵多边形的外角和等于 360∘ ，
∴多边形的边数是 360∘30∘=12 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的外角和，能熟记多边形的外角和等于 360∘ 是解此题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】先求出球的总数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵不透明的袋子里装有2个红球，3个黑球，
∴从袋子中随机摸出一个，摸到红球的概率为 22+3=25 ；
故选：A
【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据点在数轴上的位置，确定−1【详解】解：观察数轴可知−1∴a>−1，故A错误．
|a|<|b|，故B正确．
a +b>0，故C错误．
b− a>0，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负与绝对值，根据有理数的符号法则，正确得出各式的符号是解题关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断A、B选项，作出对称轴，根据旋转的性质，即可判断C、D选项．
【详解】
如图，图2中的图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故A、B正确；
这3条对称轴将图2平均分成了六份，其中每份所占的圆心角的度数为 360∘÷6=60∘
图2中的图案绕对称轴的交点旋转60°，可以与自身重合，故C正确；
将图3中的 图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，不能设计出图2中的图案，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义、旋转的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了圆、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角的性质，从而完成求解．
【详解】解：①在M处放置2台该型号的灯光装置，如图：
摄像装置的视角为 ∠CAB,∠CBA ，
∵ ∠CAB=∠CMB,∠AMC=∠CBA ，
∴在M处放置2台该型号的灯光装置，能使表演区完全照亮；
②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置
∵ ∠CMB=∠CAB,∠ANC=∠ABC ，
∴在M，N处各放置1台该型号的灯光装置；
③在P处放置2台该型号的灯光装置，如图：
∵ ∠CPB=CAB ，不能找到一个角和 ∠CBA 相等
∴由图可知，在P处放置2台该型号的灯光装置，不能使表演区完全照亮；
故选：A．
9.【答案】x≠3
【解析】【分析】根据分母不等于0解答．
【详解】∵ 2x−3 有意义，
∴x−3≠0，
∴x≠3．
故答案为x≠3．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解决此类问题的关键是分母不等于0．
10.【答案】2或3(写一个即可)
【解析】【分析】根据算术平方根的定义可知，所以满足 2【详解】解：∵ 2< 4=2, 11> 9=3
2∴m可以是2，或3
故答案是2，或3.答案不唯一．
【点睛】本题考查了无理数的估值，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
11.【答案】3(x+y)(x−y)
【解析】【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可得解．
【详解】解： 3x2−3y2=3x2−y2=3x+yx−y ，
故答案为： 3(x+y)(x−y) ．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先要提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.【答案】60°
【解析】【分析】先由切线的性质及切线长定理求出 ∠PAO=90∘,∠APO=30∘ ，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】 ∵ PA，PB是 ⊙O 的切线，A，B为切点
∴∠PAO=90∘,∠APO=12∠PAB
∴∠APO+∠AOP=90∘
∵∠APB=60∘
∴∠APO=30∘
∴∠AOP=60∘
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理、直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键．
13.【答案】m>4
【解析】【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：△<0，
∴ Δ=−42−4m=164m<0 ，
∴m>4
故答案为m>4
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．
14.【答案】(1,−2)
【解析】【分析】先将A点坐标分别代入两个解析式中求解得到正比例函数与反比例函数的解析式，然后联立求解即可得到交点坐标．
【详解】解：将 A−1,2 代入 y=ax 得 −a=2
解得 a=−2
∴ y=−2x
将 A−1,2 代入 y=kx 得 −k=2
解得 k=−2
∴ y=−2x
联立直线与双曲线得 y=−2xy=−2x
∴ −2x=−2x
整理得 x2=1
解得 x=1 或 x=−1
∴方程组的解为 x=1y=−2 或 x=−1y=2
∴ B1,−2
故答案为： 1,−2 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数与反比例函数的交点坐标．解题的关键在于求出函数解析式．
15.【答案】解：满足条件的三角形有4个，如图所示：(只要画出一种即可)

【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法画出图形即可．
本题考查作图——应用与设计图纸，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】9，5，2，8
【解析】开始数据是1，甲先填入的数据使方差最大，说明甲填入的是最大的数字9，乙填入的数据使方差最小，说明乙填入的数据是中间数字5，以此类推即可算出答案．
【详解】由题意可知，开始数字是1，
∵甲填入数字后数据方差最大，
∴甲先填入9，
又∵乙填入数字后数据方差最小，
∴乙再填入5，
又∵甲填入的数字使此时的方差最大，
∴甲填入的数字应为2，
∴最后乙填入的数字是8，
∴依次填入的数字是9，5，2，8．
故答案为：9，5，2，8．
【点睛】本题考查方差的概念和应用．熟练掌握方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小是解题的关键．
17.【答案】解：原式 = 3× 3−2 2+ 2−1
=2− 2

【解析】【分析】先分别根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简、绝对值的性质及0指数幂的计算法则，计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质是解答此题的关键．
18.【答案】解：解不等式 4x−1<3x ，
得：x<4，
解不等式 5x+32>x ，
得：x>−1，
所以原不等式组的解集是−1
【解析】【分析】先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键．
19.【答案】解： m−n2+m+nm−n−m2
= m2−2mn+n2+m2−n2−m2
= m2−2mn ，
∵ m2−2mn−3=0 ，
∴ m2−2mn=3 ，
∴ m−n2+m+nm−n−m2 = m2−2mn=3 ．

【解析】【分析】将 m−n2+m+nm−n−m2 化简得 m2−2mn ，再将 m2−2mn−3=0 变形 m2−2mn=3 代入即可．【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是整体代入思想的运用．
20.【答案】【小问1详解】
解：如图所示：
作法：①作射线NM，以M为圆心，MN的长为半径作圆，与射线NM交于点B，则MN=MB；
②分别以N，B为圆心，大于 12NB 的长为半径作圆，两圆交于点E，F，作直线EF，与CD交于点Q，则MQ即为所求．
【小问2详解】
证明：∵ AB/​/CD ，
∴ ∠MOB= ∠OND =α (两直线平行，内错角相等)(填推理的依据)
∴M地的纬度为 α ．

【解析】【分析】(1)过M点作线段MN的垂线，与CD的交点即为Q点；
(2)同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的，所以有两直线平行，同位角相等可得答案．
【点睛】本题考查过线段的一个端点作已知线段的垂线，属于知识的应用类型的题目，准确理解题意，结合学习过的尺规作图准确判断作图方法是解题的关键．
21.【答案】【小问1详解】
∵ AB=AC ，D是BC的中点，
∴BD=CD,AD⊥BC ，
∵DE=DF ，
∴ 四边形BECF是菱形；
【 小问2详解】
设 DE=x ，
∵ AD=BC=6 ， AE=BE ， BD=CD ，
∴AE=BE=6−x ， BD=3 ，
∵AD⊥BC ，
∴∠BDE=90∘ ，
在 中， BD2+DE2=BE2 ，
即 32+x2=(x−6)2 ，
解得 x=94 ，
∴ DE=94 ，
∴ 菱形BECF的面积 =12⋅BC⋅DE⋅2=6×94=272 ．

【解析】【分析】(1)先由等腰三角形“三线合一”的性质得到 BD=CD,AD⊥BC ，再结合已知即可证明结论；
(2)设 DE=x ，根据题意，求出 BE=6−x ， BD=3 ，再根据勾股定理列出方程求解，最后计算菱形的面积即可．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定定理和性质定理，勾股定理，菱形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．
22.【答案】【小问1详解】
∵ 一次函数 y=kx+bk≠0 的图象由函数 y=12x 的图象平移得到
∴k=12
将点 −2,0 代入 y=12x+b ，得 0=12×(−2)+b
解得 b=1
∴ 这个一次函数的解析式为 y=12x+1
【小问2详解】
∵ 当 x>m 时，对于x的每一个值，函数 y=3x−4 的值大于一次函数 y=12x+1 的值
∴3x−4>12x+1
解得 x>2
∴m≥2

【解析】【分析】(1)先根据直线平移时k的值不变得到 k=12 ，再将点 −2,0 代入一次函数的解析式，求解即可；
(2)先根据题意得出x的范围，再由 x>m 得到m的范围即可．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移、待定系数法求一次函数解析式及一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握知识点以及运用数形结合的思想是解题的关键．
23.【答案】解：①(2)中的表格中数据可知，当 x=2.5 时， S=303 ，当 x=4.5 时， S=274 ，根据函数图象可知，当 x>4 时， S 随 x 的增大增大，当 x<3 时， S 随 x 的增大而减小，
∴ x=2.4 时， 277∴ 半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大
故答案为：大
②根据函数图象可知，当 S=300 时， x≈2.5 或 5.4
故答案为： 2.5 或 5.4

【解析】【分析】①根据(2)中的表格中数据与函数图象分析可得当 x=2.5 时， S=303 ，当 x=4.5 时， S=274 ，进而可比较当 x=2.4 与 x=4.4 时， S 的值的大小，
②根据函数图象求解即可
【点睛】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键．
24.【答案】【小问1详解】
连接OD，
∵点D是 AC⌢ 的中点，
∴OD⊥AC，
∵DE是⊙O切线，
∴DE⊥OD，
∴DE // AC
【小问2详解】
设OD与AC交点为 F，连接AD，则∠CAD=∠CBD，
∵DE // AC，
∴∠E=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠E，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠EDO=90°，
∴△ABC∽△EOD，
∴ ODBC=DEAC ，
∵ cs∠BAC=ACAB=45 ，AC=8，
∴AB=10，
∴ BC= AB2−AC2=6 ，OD=5，
∴ 56=DE8
∴ DE=203 ，
∵ OF=12BC=3 ，
∴DF=OD−OF=5−3=2，
∵ AF=12AC=4 ，
∴ AD= AF2+DF2=2 5 ，
∴ cs∠CAD=AFAD=42 5=2 5 ，
∴ cs∠CBD=BCBP=6BP=2 5 ，
∴ BP=3 5

【解析】【分析】(1)连接OD，用垂径定理的推论和切线性质定理证明；
(2)设OD与AC交点为F，连接AD，根据∠BAC的余弦值和勾股定理求出AB，BC的长，证明∠E=∠BAC，∠EDO=∠ACB，得到△ABC∽△EOD，根据相似比求出DE的长；根据三角形中位线定理求出OF的长，得到DF的长，用勾股定理求出AD的长，最后用∠CAD=∠CBD的余弦值求出BP的长
【点睛】本题主要考查了垂径定理，切线性质定理，平行线的判定，圆周角定理推论，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是连接OD，AD，熟练运用上述性质和判定定理解答
25.【答案】【小问1详解】
解：①由统计图可以看出横坐标为85的直线上只有一个点，其纵坐标为90，因此这两次的平均分是(85+90)÷=87.5，
故答案为：90，87.5．
②如图所示，符合题目要求的范围在直线x=80的左边，直线y=90以上，在图中圈出的就是所求．
【小问2详解】
由统计图可以看出，70≤x<75的点有7个，75≤x<80的点有2个，80≤x<85的点有1个，85≤x<90的点有1个，90≤x<95的点有5个，95≤x≤100的点有4个，
∴B作图正确．
【小问3详解】
解：400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为：
400×5+420=180 (人)．

【解析】【分析】(1)①根据图象直接得到，再求平均即可；②符合题目要求的范围在直线x=80的左边，直线y=90以上，圈出即可；
(2)根据统计图数出落在各区间的频数，再与在直方图上表示的数对照即可求解；
(3)用总人数乘以抽样中两次活动平均成绩不低于90分的占比即可．
【点睛】本题考查了看图知识，求平均数，频数分布直方图，解题的关键是掌握频数分布直方图知识．
26.【答案】【分析】(1)把点 A−1,3 代入，即可求解；
(2)先求出一次函数的解析式为 y=2x+5 ，再根据题意列出不等式，即可求解．
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵二次函数 y=ax2−2axa≠0 的图象经过点 A−1,3 ．
∴ 3=a+2a ，解得：a=1，
∴该二次函数的解析式为 y=x2−2x ，
∵ y=x2−2x=x−12−1 ，
∴图象顶点的坐标为(1,−1)；
【 小问2详解】
解：∵一次函数 y=2x+b 的图象经过点A，
∴ 3=−2+b ，解得：b=5，
∴一次函数的解析式为 y=2x+5 ，
∵点 m,y1 在一次函数 y=2x+b 的图象上，点 m+4,y2 在二次函数 y=ax2−2ax 的图象上．
∴ y1=2m+5 ， y2=m+42−2m+4 ，
∵ y1>y2 ，
∴ 2m+5>m+42−2m+4 ，即 m2+4m+3<0 ，
解得： −3
【解析】【分析】(1)把点 A−1,3 代入，即可求解；
(2)先求出一次函数的解析式为 y=2x+5 ，再根据题意列出不等式，即可求解．
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
27.【答案】【小问1详解】
解： PE⊥PF ， PEPF= 33 ．
理由如下：由题意知 D,B,F 三点重合
∴ CD=BC ， PF=PD=PB
∵ ∠ABC=90∘,∠BAC=30∘
∴ ∠ACB=60∘ ， BC=12AC
∵ CE=CD
∴ CE=CD=BC=12AC
∴ E 为线段 AC 的中点
∵ P 是 AD 中点
∴ PE 是 △ADC 的中位线
∴ PE=12CD=12BC ， PE⊥PF
∴ PF=12AB= 32BC
∴ PEPF=12BC 32BC= 33 ．
【小问2详解】
解： PE⊥PF ， PEPF= 33 的关系仍成立．
证明：如图2，连接 DE ，作 PM⊥BC 于 M ， PG//x 轴，过 E 作 GN⊥BC 交 BC 于 N ，交 PG 于 G ，
由题意知， PM 是 ▵ABD 的中位线， BD=FB ， ▵CDE 是等边三角形，四边形 PMNG 是矩形，设 DC=c ， FD=BD=b
∴ BC=BD+DC=b+c ， AB= 3b+c ， PM= 32b+c ， BM=b2 ， FM=32b ， DN=12DC=12c ， EN= 32c ， GE=PM−EN= 32b ， PG=MN=12b+c ， FN=FB+BD+DN=2b+12c
在 中，由勾股定理得 PF2=FM2+PM2=32b2+ 32b+c2=94b2+3b+c24
在 中，由勾股定理得 PE2=GE2+PG2= 32b2+12b+c2=34b2+b+c24
在 Rt▵EFN 中，由勾股定理得 EF2=EN2+FN2= 32c2+2b+12c2=34c2+4b+c24=3b2+b+c2
∴ PE2PF2=34b2+b+c2494b2+3b+c24=13
∴ PEPF= 33
∵ PE2+PF2=94b2+3b+c24+34b2+b+c24=3b2+b+c2=EF2
∴ ∠EPF=90∘
∴ PE⊥PF ．
28.在平面直角坐标系xOy中，对于点 Px1,y1 ，给出如下定义：当点 Qx2,y2 满足 x1+x2=y1+y2 时，称点Q是点P的等和点．已知点 P2,0 ．
备用图
(1)在 Q10,2 ， Q2−2,−1 ， Q31,3 中，点P的等和点有________；
(2)点A在直线 y=−x+4 上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标；
(3)已知点 Bb,0 和线段MN，对于所有满足 BC=1 的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的值．
【答案】(1) Q1 ， Q3
(2) A(3,1)
(3) b=2−4 2 或 b=2+4 2
【解析】
【分析】(1)根据定义判断即可；
(2)设点 P(2,0) 的等和点为 (m,n) ，则 2+m=n ，设 A(t,−t+4) ，则 A 点的等和点为 (m,n) ，则 t+m=−t+4+n ，即可求 A(3,1) ；
(3)由题意可得 P 点的等和点在直线 y=x+2 上， B 点的等和点在直线 y=x+b 上，设直线 y=x+b 与 y 轴的交点为 B′(0,b) ，再由 BC=1 ，可得 C 点在以 B 为圆心，半径为1的圆上，则点 C 的等和点是两条直线之间的区域，以 B′′ 为圆心，1为半径作圆，过点 B′′ 作 y=x+2 的垂线交圆与 N 点，交直线于 M 点，由 MN 的最小值为5，可得 B′M 最小值为4，在 Rt▵B′MP′ 中， B′P=PB=4 2 ，可求 OB=4 2+2 ，同理当 B 点在 y 轴左侧时 OB=2−4 2 ，
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解新定义，将所求问题与圆相结合是解题的关键．
【小问1详解】
Q1(0,2) ，则 2+0=0+2 ，
∴Q1(0,2) 是点 P 的等和点；
Q2(−2,−1) ，则 2+(−2)≠0+(−1) ，
∴Q2(−2,−1) 不是点 P 的等和点；
Q3(1,3) ，则 2+1=0+3 ，
∴Q3(1,3) 是点 P 的等和点；
故答案为： Q1 ， Q3 ；
【小问2详解】
设点 P(2,0) 的等和点为 (m,n) ，
∴2+m=n ，
设 A(t,−t+4) ，则 A 点的等和点为 (m,n) ，
∴t+m=−t+4+n ，
∴t=3 ，
∴A(3,1) ；
【小问3详解】
∵P(2,0) ，
∴P 点的等和点在直线 y=x+2 上，
∵B(b,0) ，
∴B 点的等和点在直线 y=x+b 上，
设直线 y=x+b 与 y 轴的交点为 B′(0,b) ，
∵BC=1 ，
∴C 点在以 B 为圆心，半径为1的圆上，
∴ 点 C 的等和点是两条直线之间的区域，
如图，以 B′ 为圆心，1为半径作圆，过点 B′ 作 y=x+2 的垂线交圆与 N 点，交直线于 M 点，
∵MN 的最小值为5，
∴B′M 最小值为4，
在 Rt▵B′MP′ 中， B′P=4 2 ，
∴PB=4 2 ，
∴OB=4 2+2 ，
同理当 B 点在 y 轴左侧时 OB=2−4 2 ，
∴b=2−4 2 或 b=2+4 2 ．

【解析】【分析】(1)由题意知 D,B,F 三点重合，则 CD=BC ， PF=PD=PB ，含30°的直角三角形中 BC=12AC ，由 CE=CD ，可知 CE=CD=BC=12AC ， PE 是 △ADC 的中位线，有 PE⊥PF ， PE=12CD=12BC ， PF=12AB= 32BC ，然后求出比值即可；
(2)如图2，连接 DE ，作 PM⊥BC 于 M ， PG//x 轴，过 E 作 GN⊥BC 交 BC 于 N ，交 PG 于 G ，由题意知， PM 是 ▵ABD 的中位线， BD=FB ， ▵CDE 是等边三角形，四边形 PMNG 是矩形，设 DC=c ， FD=BD=b ，则 BC=BD+DC=b+c ， AB= 3b+c ， PM= 32b+c ， BM=b2 ， FM=32b ， DN=12DC=12c ， EN= 32c ， GE=PM−EN= 32b ， PG=MN=12b+c ， FN=FB+BD+DN=2b+12c ，在 中，由勾股定理得 PF2=FM2+PM2 ，求出用 a,b 表示的 PF2 的值，在 中，由勾股定理得 PE2=GE2+PG2 ，求出用 a,b 表示的 PE2 的值，在 Rt▵EFN 中，由勾股定理得 EF2=EN2+FN2 ，求出用 a,b 表示的 EF2 的值，求出可得 PE2PF2 的值，进而可得 PEPF 的值，根据 PE2+PF2 与 EF2 的数量关系判断 PE 与 PF 的位置关系即可．
【点睛】本题考查了含30°的直角三角形，中位线，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边三角形、矩形的判定与性质等知识．解题的关键在于表示出 PE 与 PF 的长度．
28.【答案】【小问1详解】
Q1(0,2) ，则 2+0=0+2 ，
∴Q1(0,2) 是点 P 的等和点；
Q2(−2,−1) ，则 2+(−2)≠0+(−1) ，
∴Q2(−2,−1) 不是点 P 的等和点；
Q3(1,3) ，则 2+1=0+3 ，
∴Q3(1,3) 是点 P 的等和点；
故答案为： Q1 ， Q3 ；
【小问2详解】
设点 P(2,0) 的等和点为 (m,n) ，
∴2+m=n ，
设 A(t,−t+4) ，则 A 点的等和点为 (m,n) ，
∴t+m=−t+4+n ，
∴t=3 ，
∴A(3,1) ；
【小问3详解】
∵P(2,0) ，
∴P 点的等和点在直线 y=x+2 上，
∵B(b,0) ，
∴B 点的等和点在直线 y=x+b 上，
设直线 y=x+b 与 y 轴的交点为 B′(0,b) ，
∵BC=1 ，
∴C 点在以 B 为圆心，半径为1的圆上，
∴ 点 C 的等和点是两条直线之间的区域，
如图，以 B′ 为圆心，1为半径作圆，过点 B′ 作 y=x+2 的垂线交圆与 N 点，交直线于 M 点，
∵MN 的最小值为5，
∴B′M 最小值为4，
在 Rt▵B′MP′ 中， B′P=4 2 ，
∴PB=4 2 ，
∴OB=4 2+2 ，
同理当 B 点在 y 轴左侧时 OB=2−4 2 ，
∴b=2−4 2 或 b=2+4 2 ．

【解析】【分析】(1)根据定义判断即可；
(2)设点 P(2,0) 的等和点为 (m,n) ，则 2+m=n ，设 A(t,−t+4) ，则 A 点的等和点为 (m,n) ，则 t+m=−t+4+n ，即可求 A(3,1) ；
(3)由题意可得 P 点的等和点在直线 y=x+2 上， B 点的等和点在直线 y=x+b 上，设直线 y=x+b 与 y 轴的交点为 B′(0,b) ，再由 BC=1 ，可得 C 点在以 B 为圆心，半径为1的圆上，则点 C 的等和点是两条直线之间的区域，以 B′′ 为圆心，1为半径作圆，过点 B′′ 作 y=x+2 的垂线交圆与 N 点，交直线于 M 点，由 MN 的最小值为5，可得 B′M 最小值为4，在 Rt▵B′MP′ 中， B′P=PB=4 2 ，可求 OB=4 2+2 ，同理当 B 点在 y 轴左侧时 OB=2−4 2 ，
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解新定义，将所求问题与圆相结合是解题的关键．
1
x/cm
…
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
…
S/cm2
…
666
454
355
303
277
266
266
274
289
310
336
…