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2024届高考新结构数学-选择填空强化训练九（2份打包，原卷版+解析版）
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1．在一组样本数据、、、、、、、不全相等）的散点图中，若所有的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为所有样本点都在直线上，所以相关系数满足.
又因为，所以，所以.故选：C.
2．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A. 6B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为；当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为．故选：D．
3．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为，
所以平地降雪厚度的近似值为.故选：C
4．设，若，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】展开式第项，∵，∴，∴.
故选：A.
5．某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（ ）
（附：，，
）
A. 第18名B. 第127名C. 第245名D. 第546名
【答案】B
【解析】因为成绩近似服从正态分布,，则，
且，
所以，
因此该校数学成绩不低于102分的人数即年级排名大约是．
故选：B．
6．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的一个周期为B. 的最大值为
C. 的图象关于直线对称D. 在区间上有3个零点
【答案】D
【解析】A.，故A错误；
B.，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B错误；
C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
D.，即，，即或，解得：，所以函数在区间上有3个零点，故D正确.
故选：D
7．已知球的直径为是球面上两点，且，则三棱锥的体积（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知为正三角形，设其外接圆圆心为M，半径为r，
则，且平面，
所以，故C到平面的距离为，
所以三棱锥的体积为.故选：C
8．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆与射线的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xy中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（ ）
A. 2B. 6C. 2或6D. 1或3
【答案】A
【解析】由题意知，点为过，两点且和轴相切的圆与轴的切点，已知，则线段的中点坐标为，直线斜率为，线段的垂直平分线方程为，即.所以以线段为弦的圆的圆心在直线上，所以可设圆心坐标为，又因为圆与轴相切，所以圆的半径，又因为，所以，解得或，即切点分别为和，两圆半径分别为.由于圆上以线段（定长）为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小，
且过点的圆的半径比过的圆的半径大， 所以，故点为所求，所以当取最大值时，点的横坐标是.故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数，，，则（ ）
A. B. 的实部依次成等比数列
C. D. 的虚部依次成等差数列
【答案】ABC
【解析】因为，，所以，所以，故A正确；
因为，，的实部分别为1，3，9，所以，，的实部依次成等比数列，故B正确；
因为，，的虚部分别为，，1，所以，，的虚部依次不成等差数列，故D错误；
，故C正确.
故选：ABC.
10．已知为坐标原点，点为抛物线：焦点，点，直线：交抛物线于，两点（不与点重合），则以下说法正确的是（ ）
A.
B. 存在实数，使得
C. 若，则
D. 若直线与的倾斜角互补，则
【答案】ACD
【解析】由已知，抛物线：，∴，，焦点，
不妨设为，，设，到准线的距离分别为，，
对于A，∵由标准方程知，抛物线顶点在原点，开口向右，，
∴由抛物线的定义，故选项A正确；
对于B，消去，化简得（），
则，，∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴不存在实数，使得，选项B错误；对于C，，，
∵，∴，∴
又∵由选项B判断过程知，，
∴解得，，或，，，
∴若，则，选项C正确；
对于D，由题意，，，，，
直线与的倾斜角互补时，斜率均存在，且，
∴，代入，，化简得，
由选项B的判断知，，∴，∴，故选项D正确.
故选：ACD.
11．已知函数定义域为R，满足，当时， .若函数的图象与函数的图象的交点为，，，(其中表示不超过的最大整数)，则（ ）
是偶函数 B.
C. D.
【答案】BC
【解析】函数，显然，而，即，因此不是偶函数，A错误；
函数定义域为，满足，当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
因此当时，函数在上递减，
在上递增，当时，取得最大值，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
因此当时，函数，
在同一坐标平面内作出函数的部分图象，如图，
当时，函数的图象有唯一公共点，
因为，因此，，而满足的整数有个，即，B正确；
显然，
所以，C正确；
，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．设集合，，则___________.
【答案】
【解析】在中，由得，即，
又由可得：，解得：，即，故.
故答案为：
13.函数，若，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为的定义域为，
，所以在为增函数，
，所以，
又，在为增函数，所以，即，
因为，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：
14.已知反比例函数图象上三点的坐标分别，与，过B作直线的垂线，垂足为Q.若恒成立，则a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由题意得：反比例函数为，因为点P在反比例函数图象上，所以，，所以
，
记，由题意得：恒成立，
当，则，解得：，由于，故；
下面证明当时，恒成立，即
因为是开口向上的二次函数，所以
；
②，
令，则，开口向下，对称轴为，故在上单调递减，故.
所以当时，恒成立，故a的取值范围是
故答案为：
1．在一组样本数据、、、、、、、不全相等）的散点图中，若所有的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为所有样本点都在直线上，所以相关系数满足.
又因为，所以，所以.故选：C.
2．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A. 6B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为；当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为．故选：D．
3．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为，
所以平地降雪厚度的近似值为.故选：C
4．设，若，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】展开式第项，∵，∴，∴.
故选：A.
5．某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（ ）
（附：，，
）
A. 第18名B. 第127名C. 第245名D. 第546名
【答案】B
【解析】因为成绩近似服从正态分布,，则，
且，
所以，
因此该校数学成绩不低于102分的人数即年级排名大约是．
故选：B．
6．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的一个周期为B. 的最大值为
C. 的图象关于直线对称D. 在区间上有3个零点
【答案】D
【解析】A.，故A错误；
B.，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B错误；
C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
D.，即，，即或，解得：，所以函数在区间上有3个零点，故D正确.
故选：D
7．已知球的直径为是球面上两点，且，则三棱锥的体积（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知为正三角形，设其外接圆圆心为M，半径为r，
则，且平面，
所以，故C到平面的距离为，
所以三棱锥的体积为.故选：C
8．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆与射线的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xy中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（ ）
A. 2B. 6C. 2或6D. 1或3
【答案】A
【解析】由题意知，点为过，两点且和轴相切的圆与轴的切点，已知，则线段的中点坐标为，直线斜率为，线段的垂直平分线方程为，即.所以以线段为弦的圆的圆心在直线上，所以可设圆心坐标为，又因为圆与轴相切，所以圆的半径，又因为，所以，解得或，即切点分别为和，两圆半径分别为.由于圆上以线段（定长）为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小，
且过点的圆的半径比过的圆的半径大， 所以，故点为所求，所以当取最大值时，点的横坐标是.故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数，，，则（ ）
A. B. 的实部依次成等比数列
C. D. 的虚部依次成等差数列
【答案】ABC
【解析】因为，，所以，所以，故A正确；
因为，，的实部分别为1，3，9，所以，，的实部依次成等比数列，故B正确；
因为，，的虚部分别为，，1，所以，，的虚部依次不成等差数列，故D错误；
，故C正确.
故选：ABC.
10．已知为坐标原点，点为抛物线：焦点，点，直线：交抛物线于，两点（不与点重合），则以下说法正确的是（ ）
A.
B. 存在实数，使得
C. 若，则
D. 若直线与的倾斜角互补，则
【答案】ACD
【解析】由已知，抛物线：，∴，，焦点，
不妨设为，，设，到准线的距离分别为，，
对于A，∵由标准方程知，抛物线顶点在原点，开口向右，，
∴由抛物线的定义，故选项A正确；
对于B，消去，化简得（），
则，，∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴不存在实数，使得，选项B错误；对于C，，，
∵，∴，∴
又∵由选项B判断过程知，，
∴解得，，或，，，
∴若，则，选项C正确；
对于D，由题意，，，，，
直线与的倾斜角互补时，斜率均存在，且，
∴，代入，，化简得，
由选项B的判断知，，∴，∴，故选项D正确.
故选：ACD.
11．已知函数定义域为R，满足，当时， .若函数的图象与函数的图象的交点为，，，(其中表示不超过的最大整数)，则（ ）
是偶函数 B.
C. D.
【答案】BC
【解析】函数，显然，而，即，因此不是偶函数，A错误；
函数定义域为，满足，当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
因此当时，函数在上递减，
在上递增，当时，取得最大值，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
因此当时，函数，
在同一坐标平面内作出函数的部分图象，如图，
当时，函数的图象有唯一公共点，
因为，因此，，而满足的整数有个，即，B正确；
显然，
所以，C正确；
，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．设集合，，则___________.
【答案】
【解析】在中，由得，即，
又由可得：，解得：，即，故.
故答案为：
13.函数，若，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为的定义域为，
，所以在为增函数，
，所以，
又，在为增函数，所以，即，
因为，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：
14.已知反比例函数图象上三点的坐标分别，与，过B作直线的垂线，垂足为Q.若恒成立，则a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由题意得：反比例函数为，因为点P在反比例函数图象上，所以，，所以
，
记，由题意得：恒成立，
当，则，解得：，由于，故；
下面证明当时，恒成立，即
因为是开口向上的二次函数，所以
；
②，
令，则，开口向下，对称轴为，故在上单调递减，故.
所以当时，恒成立，故a的取值范围是
故答案为：
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