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2023-2024学年湖南师大附中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年湖南师大附中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在下列命题中，正确的是( )
A. 若|a|>|b|，则a>bB. 若|a|=|b|，则a=b
C. 若a=b，则a与b共线D. 若a≠b，则a一定不与b共线
2.已知m∈R，i是虚数单位，当−23A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.使“x2+5x−6<0”成立的一个充分不必要条件是( )
A. −54.如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一个三等分点，且DF>FB，若AF=xAE+yDC，则x+y=( )
A. 1
B. 45
C. 54
D. 56
5.已知a=0.33，b=30.3，c=，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>b>aD. c>a>b
6.已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，且在[−π6,3π4]上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. (0,12]B. [12,1)C. (0,23]D. [23,1)
7.如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，则AB的长为( )
A. 5 3B. 5 6C. 6 2D. 10
8.已知f(x)=(a−1)x,x≤12,x+ax−2,x>12(a>1)的值域为D，D⊆[25,+∞)，则a的取值范围是( )
A. (1,2)B. [2925,2]C. [3625,2]D. (2,5)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 复数2−2i的虚部为−2i
B. 若i为虚数单位，则i2023=−i
C. 在复数集C中，方程x2+x+1=0有两个解，依次为−12+ 32i,−12− 32i
D. 复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z所对应的点Z的集合是以点(0,1)为圆心，2为半径的圆
10.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D是边AC上，且AC=3AD，点E是BC边上任意一点(包含B，C点)，则AE⋅BD的取值可能是( )
A. −56B. −16C. 0D. 16
11.直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足BP=2PC，点M，N在过点P的直线l上，若AM=mAB，AN=nAC，(m>0,n>0)，则下列结论正确的是( )
A. 1m+2n为常数B. m+2n的最小值为3
C. m+n的最小值为169D. m，n的值可以为：m=12，n=2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设a∈R，复数a+i1−2i(i是虚数单位)的共轭复数是2−5i，则a= ______．
13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若AB⋅AC=6AO⋅EC，则ABAC的值是 ．
14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且2ccsB=2a+b，若△ABC的面积S= 3c，则ab的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△OAB中，OA⋅OB=0,|OA|=2,|OB|=4，E点满足AE=tAB(t∈R)，D在边OB的中点．
(1)当t=12时，求直线AD与OE相交所成的较小的角的余弦值；
(2)求|AE−AO|的最小值及相应的t的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=(sinx+csx)2+2acs2x−a．
(1)若函数f(x)的图象关于直线x=π8对称，求实数a的值；
(2)当a=1时，
①求函数f(x)的单调增区间；
②若f(x0)=2，求tanx0的值．
17.(本小题15分)
已知锐角△ABC的三个内角A，B，C满足sinBsinC=(sin2B+sin2C−sin2A)tanA．
(1)求角A的大小及角B的取值范围；
(2)若△ABC的外接圆的圆心是O，且OB⋅OC=12，求OA⋅(AB+AC)的取值范围．
18.(本小题17分)
某足球场长72m、宽60m，球门宽6m，球门CD位于底线中央.当足球运动员沿斜向直线AB带球突破时，A为球场边线的中点，B为底线上一点，路线如图，若BC=12m．
(1)求cs∠CAB；
(2)若P是球员起脚射门的点，试问PBAB是多少时，P对球门的张角最大？并求此时P到底线的距离．
19.(本小题17分)
设A是有序实数对构成的非空集，B是实数集，如果对于集合A中的任意一个有序实数对(x,y)，按照某种确定的关系f，在B中都有唯一确定的数z和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个二元函数，记作z=f(x,y)，(x,y)∈A，其中A称为二元函数f的定义域.因为平面向量与有序实数对有一一对应的关系，设a=(x,y)，则二元函数也可以记为f(a)．
(1)已知f(x,y)= x2+y2,a=(x1,y1),b=(x2,y2)，若f(a)=1,f(b)=2,x1x2+y1y2=1，求f(a+b)；
(2)非零向量u=(x0,y0)，若对任意的(x,y)∈D，D⊆A，h>0，记a=(x,y)，都有f(a)(3)设二元函数f的定义域为D，如果存在实数M满足：
①∀(x,y)∈D，都有f(x,y)≥M，
②∃(x0,y0)∈D，使得f(x0,y0)=M．
那么，我们称M是二元函数f的最小值.求f(x,y)=y+sin2x+(1y−y)cs2x,(x,y)∈{(x,y)|,x∈R,12≤y≤2}的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.由于向量不能比较大小，因此不正确；
B.若|a|=|b|，则a与b不一定相等，单位圆上的不共线的单位向量不相等；
C.若a=b，则a与b一定共线，正确；
D.若a≠b，则a与b可以共线，例如a=−b时，此两个向量可以共线．
故选：C．
A.由于向量不能比较大小，即可判断出；
B.若|a|=|b|，则a与b不一定相等，单位圆上的不共线的单位向量不相等；
C.若a=b，则a与b一定共线；
D.例如a≠b，a=−b时，此时a与b两个向量可以共线．
本题考查了向量的相等与模的相等的关系、向量共线与向量相等的关系等基础知识，考查了推理能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：m(3−i)+(2+i)=(3m+2)+(1−m)i，
又∵−23∴3m+2>0，1−m>0，
∴所对应的点在第一象限．
故选：A．
变形后，结合−23本题考查复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：x2+5x−6<0等价于−6记M={x|−6设所求的充分不必要条件是N，则N⫋M，
对比选项可知，选项A符合题意．
故选：A．
先解一元二次不等式x2+5x−6<0，再根据充分必要条件与集合的联系，即可得解．
本题考查充分必要条件的应用，一元二次不等式的解法，理解充分必要条件与集合的联系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题意知，点F为线段BD上的一个三等分点，所以DF=23DB，
所以AF=AD+DF=AD+23DB=AD+23(DA+AB)
=13AD+23AB=13(AE+ED)+23DC=13AE−16DC+23DC
=13AE+12DC=xAE+yDC，
因为AE,DC不共线，所以x=13,y=12，所以x+y=56．
故选：D．
由题意知DF=23DB，DE=12DC，根据平面向量基本定理，将AF用AE,DC线性表示，根据两个向量相等即可求出x，y的值，求和即可．
本题考查了平面向量基本定理应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由指数幂的运算性质，可得0<0.33<0.30=1，即0又由1=30<30.3<30.5= 3<2，即1又由对数的运算，可得c=>，即c>2，
所以c>b>a．
故选：C．
根据指数幂与对数函数的图象与性质，求得a，b，c的取值范围，即可求解．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：∵函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，∴φ=π2，f(x)=cs(ωx+π2)=−sinωx．
在[−π6,3π4]上，ωx∈[−ωπ6,3ωπ4]，函数f(x)单调递减，
∴−ωπ6≥−π2，3ωπ4≤π2，求得ω≤23，
故选：C．
由题意，利用三角函数的奇偶性，和单调性，求得ω的取值范围．
本题主要考查三角函数的奇偶性，和单调性，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：在△ADC中，cs∠ADC=102+62−1422×10×6=−12，
因为0<∠ADC<π，所以∠ADC=2π3，
∴∠ADB=π3，
在△ADB中，ABsin∠ADB=ADsinB⇒AB=5 6．
故选：B．
利用余弦定理正弦定理可得答案．
本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：①若a>2，x≤12时，指数函数f(x)=(a−1)x在(−∞,12]上单调递增，
此时f(x)⊆(0, a−1]，则(0, a−1]⊆D，结合(0, a−1]⊆[25,+∞)不成立，
可知此时D⊆[25,+∞)不成立，排除选项D．
②若a=2,f(x)=1,x≤12,x+2x−2,x>12,
当x≤12时，f(x)=1；当x>12时，f(x)=x+2x−2≥2 2−2，当且仅当x= 2时，等号成立，
此时函数f(x)的值域D=[2 2−2,+∞)，满足D⊆[25,+∞)；排除选项A；
③若1当x>12时，f(x)=x+ax−2≥2 a−2，当且仅当x= a>12时，等号成立，
结合函数f(x)的值域D满足D⊆[25,+∞)，可知 a−1≥25,2 a−2≥25,1综上所述，3625≤a≤2，即实数a的取值范围是[3625,2]．
故选：C．
首先考虑a>2时，根据指数函数的单调性得到f(x)的值域，此时(0, a−1]⊆[25,+∞)不成立；再考虑a=2时，根据基本不等式求出函数值域D⊆[25,+∞)，然后考虑112时函数f(x)的值域，进而得到关于a不等式组，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查基本初等函数的值域求法、分段函数的性质、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：复数2−2i的虚部为−2，故A错误；
i4×505+3=i3=−i，故B正确；
∵x2+x+1=(x+12)2+34=(x+12+ 32i)(x+12− 32i)，
因此在复数集C中，方程x2+x+1=0有两个解，依次为−12+ 32i,−12− 32i，故C正确；
复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z对应的点Z的集合是以点(0,−1)为圆心，2为半径的圆面，故D错误．
故选：BC．
根据复数的定义可判断A；根据i的性质可判断B；根据复数方程的根可判断C；根据复数的几何意义可判断D．
本题考查复数的运算，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的坐标运算，属于一般题．
做出辅助线，建立坐标系，写出各点的坐标，求得AE·BD=23x−12，由−12⩽x⩽12求出AE·BD的取值范围，即可得到答案．
【解答】
解：设BC的中点为O，以点O为坐标原点，BC、OA所在直线分别为x、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，
由于△ABC是边长为1的等边三角形，且AC=3AD，
所以B(−12,0)，A(0, 32)，D(16, 33)，
设E(x,0)，则−12⩽x⩽12，
所以AE=(x,− 32)，BD=(23, 33)，
所以AE·BD=23x−12(−12≤x≤12)，
所以−56⩽23x−12⩽−16，
即AE·BD∈[−56,−16]，
故选AB．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查平面向量的基本定理，涉及向量的线性运算和基本不等式的性质以及应用．
根据题意，由平面向量基本定理依次分析选项，综合即可得答案．
【解答】
解：根据题意，如图：依次分析选项：
对于A，P是斜边BC上一点，且满足BP=2PC，则AP=13AB+23AC，
若AM=mAB，AN=nAC，
则AP=13mAM+23nAN，
又由M、P、N三点共线，则13m+23n=1，变形可得1m+2n=3；
故1m+2n为常数，A正确；
对于B，m+2n=13(1m+2n)(m+2n)
=13(5+2mn+2nm)≥13(5+2× 2mn×2nm)=3，
当且仅当2mn=2nm，即m=n=1时等号成立，
则m+2n的最小值为3，B正确；
对于C，m+n=13(1m+2n)(m+n)
=13(3+2mn+nm)≥13(3+2× 2mn×nm)=1+2 23，
当且仅当n= 2m时等号成立，故C错误；
对于D，当m=12，n=2，满足1m+2n=3，
此时M为AB的中点，C为AN的中点，符合题意；D正确；
故选：ABD．
12.【答案】12
【解析】解：由复数a+i1−2i(i是虚数单位)的共轭复数是2−5i，可得a+i1−2i=2+5i，
又由a+i1−2i=(a+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=a−25+1+2a5i，可得a−25+1+2a5i=2+5i，
则a−25=2且1+2a5=5，解得a=12．
故答案为：12．
根据复数的运算法则，求得a+i1−2i=a−25+1+2a5i，结合题意，列出方程组，即可求解．
本题主要考查复数的概念，属于基础题．
13.【答案】 3
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．
首先算出AO=12AD，然后用AB、AC表示出AO、EC，结合AB⋅AC=6AO⋅EC得12AB2=32AC2，进一步可得结果．
【解答】
解：设AO=λAD=λ2(AB+AC)，
AO=AE+EO=AE+μEC=AE+μ(AC−AE)
=(1−μ)AE+μAC=1−μ3AB+μAC，
∴λ2=1−μ3λ2=μ，∴λ=12μ=14，
∴AO=12AD=14(AB+AC)，
EC=AC−AE=−13AB+AC，
6AO⋅EC=6×14(AB+AC)·(−13AB+AC)
=32(−13AB2+23AB⋅AC+AC2)
=−12AB2+AB⋅AC+32AC2，
∵AB⋅AC=−12AB2+AB⋅AC+32AC2，
∴12AB2=32AC2，∴AB2AC2=3，
∴ABAC= 3．
故答案为： 3
14.【答案】48
【解析】【分析】
本题考查正弦、余弦定理的应用问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是综合题．属于中档题．
由题意，利用正弦定理、两角和的正弦公式求得角C，再根据△ABC的面积公式和余弦定理，以及基本不等式求得ab的最小值．
【解答】
解：△ABC中，2ccsB=2a+b，
由正弦定理得2sinCcsB=2sinA+sinB=2sin(B+C)+sinB，
即2sinCcsB=2sinBcsC+2sinCcsB+sinB，
∴2sinBcsC+sinB=0，
∴csC=−12，可得C=2π3；
又△ABC的面积为S=12ab⋅sinC= 34ab= 3c，
∴c=14ab；
再由余弦定理可得：c2=a2+b2−2ab⋅csC，
整理可得：116a2b2=a2+b2+ab≥3ab，
当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥48，
即ab的最小值为48．
故答案为：48．
15.【答案】解：(1)解：因为OA⋅OB=0,|OA|=2,|OB|=4，
以O为原点，以OA，OB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，
又因为AE=12AB，
即E为AB的中点，
可得A(2,0)，B(0,4)，D(0,2)，E(1,2)，
则AD=(−2,2),OE=(1,2)，
设AD与OE的夹角为θ，
则csθ=|AD⋅OE||AD||OE|=|−2×1+2×2|2 2⋅ 5= 1010，
所以直线AD与OE相交所成的较小的角的余弦值是 1010．
(2)因为AE=tAB(t∈R)表示E是直线AB上任意一点，
可得|AE−AO|=|OE|，其最小值就是原点O到直线AB的距离d，
则|AB|d=|OA||OB|，
可得d=2×4 22+42=4 55，
此时|AE|= |OA|2−d2=2 55，
则t=|AE||AB|=15，
即t=15时，|AE−AO|取得最小值4 55．
【解析】(1)根据题意，以O为原点，建立平面直角坐标系，求得AD=(−2,2),OE=(1,2)，结合向量的夹角公式，即可求解；
(2)由AE=tAB(t∈R)，得到|AE−AO|=|OE|，结合|AB|d=|OA||OB|，求得d的值，得到|AE|= |OA|2−d2，结合t=|AE||AB|，即可求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题．
16.【答案】解：(1)f(x)=(sinx+csx)2+2acs2x−a=1+sin2x+acs2x= a2+1sin(2x+φ)+1，
∵f(x)的图像关于直线x=π8对称，则f(π8)为函数的最值，
∴sin(2×π8)+acs(2×π8)=± a2+1⇒a=1．
(2)①当a=1时，有f(x)=sin2x+cs2x+1= 2sin(2x+π4)+1，
由−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ,k∈Z，得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ],k∈Z；
②f(x0)=2⇒sin(2x0+π4)= 22，
则2x0+π4=2kπ+π4或2x0+π4=2kπ+3π4,k∈Z⇒x0=kπ或x0=kπ+π4,k∈Z，
∴tanx0=0或tanx0=1．
【解析】(1)化简函数解析式，再由f(π8)为最值列出方程得解；
(2)①由函数解析式及正弦型函数的单调性求解即可；②由正弦函数性质解方程即可得解．
本题主要考查三角函数中恒等变换的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)锐角△ABC的三个内角A，B，C满足sinBsinC=(sin2B+sin2C−sin2A)tanA．
由正弦定理可得：bc=(b2+c2−a2)tanA，
即b2+c2−a22bctanA=12，由余弦定理有csAtanA=12，
则sinA=12，由A为锐角，故A=π6，∵△ABC是锐角三角形，∴B<π2,B+A>π2,⇒π3(2)设外接圆的半径为r，由已知OB⋅OC=12有|OB||OC|cs∠BOC=12⇒r2cs2A=12，
则r=|OA|=|OB|=|OC|=1，
OA⋅(AB+AC)=OA⋅(OB+OC−2OA)=OA⋅OB+OA⋅OC−2OA2
=cs∠AOB+cs∠AOC−2=cs2C+cs2B−2=cs(5π3−2B)+cs2B−2
=32cs2B− 32sin2B−2= 3cs(2B+π6)−2，
由(1)π3则cs(2B+π6)∈[−1,− 32),
故OA⋅(AB+AC)的取值范围是[−2− 3,−72)．
【解析】(1)利用正弦定理，结合余弦定理求解A，然后求解B的范围．
(2)设外接圆的半径为r，通过OB⋅OC=12求解半径，化简OA⋅(AB+AC)的表达式，结合B的范围，求解即可．
本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，向量的数量积的应用，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．
18.【答案】解：(1)在直角三角形AEC中，AE=36，CE=27，则AC=45，
在直角三角形AEB中，BE=15，AE=36，则AB=39，
在三角形ABC中，BC=12，由余弦定理得cs∠CAB=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=6365；
(2)因为点P在线段AB上，设PBAB=λ(0<λ≤1)，过点P作CE垂线，垂足为H，以E为原点，AE为x轴正方向，EB为y轴正方向，建立平面直角坐标系，
则有A(−36,0)，B(0,15)，C(0,27)，D(0,33)，
AB=(36,15),PB=(36λ,15λ),EP=EB+BP=(−36λ,15−15λ)，
tan∠CPH=27−(15−15λ)36λ=12+15λ36λ，
tan∠DPH=18+15λ36λ，
tan∠DPC=tan(∠DPH−∠CPH)=tan∠DPH−tan∠CPH1+tan∠DPHtan∠CPH
=636λ1+18+15λ36λ×12+15λ36λ=6×36λ(36λ)2+(18+15λ)(12+15λ)
=24λ144λ2+(6+5λ)(4+5λ)=24λ169λ2+50λ+24
=24169λ+24λ+50，
由基本不等式知当且仅当λ=2 613时，上式取等号，即为最大值，
又因为0°<∠DPC<90°，故此时也是∠DPC的最大值，
此时PH=PBAB⋅AE=72 613m，
故球员在距离底线72 613m处射门对球门的张角最大，此时PBAB=2 613．
【解析】(1)在直角三角形AEC中和直角三角形AEB中，求出AC，AB，在三角形ABC中，利用余弦定理求出cs∠CAB；
(2)设PBAB=λ(0<λ≤1)，过点P作CE垂线，垂足为H，以E为原点，AE为x轴正方向，EB为y轴正方向，建立平面直角坐标系，表达出坐标，计算出tan∠CPH和tan∠DPH，求出tan∠DPC=tan(∠DPH−∠CPH)，利用基本等式求出最大值．
本题考查正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形的解法，是中档题．
19.【答案】解：(1)由已知有f(a)=|a|=1,f(b)=|b|=2,a⋅b=1，
则f(a+b)=|a+b|= a2+2a⋅b+b2= 7；
(2)x,y∈R,h>0,a=(x,y),u=(1,1)，
∴a+hu=(x+h,y+h),x+y+2h>x+y，
又∵f(x,y)=ex+y+ex−y，
∴f(a+hu)−f(a)=ex+h+y+h+ex+h−y−h−ex+y−ex−y=ex+y+2h−ex+y>0，
故f在{(x,y)|x，y∈R}上沿向量(1,1)方向单调递增；
(3)由题意可类似的知道f(x,y)的最大值的含义，
f(x,y)=y+sin2x+(1y−y)cs2x
=1y(y2sin2x+2ysinxcsx+cs2x)=1y(ysinx+csx)2
=y2+1ysin2(x+φ)，其中tanφ=1y，
(或者直接使用柯西不等式，
(ysinx+csx)2≤(y2+1)(sin2x+cs2x)，当且仅当y1=sinxcsx时取等号．)
故f(x,y)≤y+1y，当x+φ=kπ+π2,k∈Z时取等号，(或当tanx=y时取等号)，
又12≤y≤2，
根据对勾函数单调性易知当y=12或2时，函数f(x,y)取最大值为52．
【解析】(1)由向量数量积的坐标运算结合二元函数的定义求解即可；
(2)根据二元函数在定义域上沿u方向单调递增的定义求解即可；
(3)根据f(x,y)的最大值的含义求解即可．
本题属于新概念题，考查了向量的线性运算、指数的基本运算及三角函数性质，理解定义是关键，属于中档题．
1.在下列命题中，正确的是( )
A. 若|a|>|b|，则a>bB. 若|a|=|b|，则a=b
C. 若a=b，则a与b共线D. 若a≠b，则a一定不与b共线
2.已知m∈R，i是虚数单位，当−23
3.使“x2+5x−6<0”成立的一个充分不必要条件是( )
A. −5
A. 1
B. 45
C. 54
D. 56
5.已知a=0.33，b=30.3，c=，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>b>aD. c>a>b
6.已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，且在[−π6,3π4]上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. (0,12]B. [12,1)C. (0,23]D. [23,1)
7.如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，则AB的长为( )
A. 5 3B. 5 6C. 6 2D. 10
8.已知f(x)=(a−1)x,x≤12,x+ax−2,x>12(a>1)的值域为D，D⊆[25,+∞)，则a的取值范围是( )
A. (1,2)B. [2925,2]C. [3625,2]D. (2,5)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 复数2−2i的虚部为−2i
B. 若i为虚数单位，则i2023=−i
C. 在复数集C中，方程x2+x+1=0有两个解，依次为−12+ 32i,−12− 32i
D. 复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z所对应的点Z的集合是以点(0,1)为圆心，2为半径的圆
10.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D是边AC上，且AC=3AD，点E是BC边上任意一点(包含B，C点)，则AE⋅BD的取值可能是( )
A. −56B. −16C. 0D. 16
11.直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足BP=2PC，点M，N在过点P的直线l上，若AM=mAB，AN=nAC，(m>0,n>0)，则下列结论正确的是( )
A. 1m+2n为常数B. m+2n的最小值为3
C. m+n的最小值为169D. m，n的值可以为：m=12，n=2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设a∈R，复数a+i1−2i(i是虚数单位)的共轭复数是2−5i，则a= ______．
13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若AB⋅AC=6AO⋅EC，则ABAC的值是 ．
14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且2ccsB=2a+b，若△ABC的面积S= 3c，则ab的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△OAB中，OA⋅OB=0,|OA|=2,|OB|=4，E点满足AE=tAB(t∈R)，D在边OB的中点．
(1)当t=12时，求直线AD与OE相交所成的较小的角的余弦值；
(2)求|AE−AO|的最小值及相应的t的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=(sinx+csx)2+2acs2x−a．
(1)若函数f(x)的图象关于直线x=π8对称，求实数a的值；
(2)当a=1时，
①求函数f(x)的单调增区间；
②若f(x0)=2，求tanx0的值．
17.(本小题15分)
已知锐角△ABC的三个内角A，B，C满足sinBsinC=(sin2B+sin2C−sin2A)tanA．
(1)求角A的大小及角B的取值范围；
(2)若△ABC的外接圆的圆心是O，且OB⋅OC=12，求OA⋅(AB+AC)的取值范围．
18.(本小题17分)
某足球场长72m、宽60m，球门宽6m，球门CD位于底线中央.当足球运动员沿斜向直线AB带球突破时，A为球场边线的中点，B为底线上一点，路线如图，若BC=12m．
(1)求cs∠CAB；
(2)若P是球员起脚射门的点，试问PBAB是多少时，P对球门的张角最大？并求此时P到底线的距离．
19.(本小题17分)
设A是有序实数对构成的非空集，B是实数集，如果对于集合A中的任意一个有序实数对(x,y)，按照某种确定的关系f，在B中都有唯一确定的数z和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个二元函数，记作z=f(x,y)，(x,y)∈A，其中A称为二元函数f的定义域.因为平面向量与有序实数对有一一对应的关系，设a=(x,y)，则二元函数也可以记为f(a)．
(1)已知f(x,y)= x2+y2,a=(x1,y1),b=(x2,y2)，若f(a)=1,f(b)=2,x1x2+y1y2=1，求f(a+b)；
(2)非零向量u=(x0,y0)，若对任意的(x,y)∈D，D⊆A，h>0，记a=(x,y)，都有f(a)
①∀(x,y)∈D，都有f(x,y)≥M，
②∃(x0,y0)∈D，使得f(x0,y0)=M．
那么，我们称M是二元函数f的最小值.求f(x,y)=y+sin2x+(1y−y)cs2x,(x,y)∈{(x,y)|,x∈R,12≤y≤2}的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.由于向量不能比较大小，因此不正确；
B.若|a|=|b|，则a与b不一定相等，单位圆上的不共线的单位向量不相等；
C.若a=b，则a与b一定共线，正确；
D.若a≠b，则a与b可以共线，例如a=−b时，此两个向量可以共线．
故选：C．
A.由于向量不能比较大小，即可判断出；
B.若|a|=|b|，则a与b不一定相等，单位圆上的不共线的单位向量不相等；
C.若a=b，则a与b一定共线；
D.例如a≠b，a=−b时，此时a与b两个向量可以共线．
本题考查了向量的相等与模的相等的关系、向量共线与向量相等的关系等基础知识，考查了推理能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：m(3−i)+(2+i)=(3m+2)+(1−m)i，
又∵−23
∴所对应的点在第一象限．
故选：A．
变形后，结合−23
3.【答案】A
【解析】解：x2+5x−6<0等价于−6
对比选项可知，选项A符合题意．
故选：A．
先解一元二次不等式x2+5x−6<0，再根据充分必要条件与集合的联系，即可得解．
本题考查充分必要条件的应用，一元二次不等式的解法，理解充分必要条件与集合的联系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题意知，点F为线段BD上的一个三等分点，所以DF=23DB，
所以AF=AD+DF=AD+23DB=AD+23(DA+AB)
=13AD+23AB=13(AE+ED)+23DC=13AE−16DC+23DC
=13AE+12DC=xAE+yDC，
因为AE,DC不共线，所以x=13,y=12，所以x+y=56．
故选：D．
由题意知DF=23DB，DE=12DC，根据平面向量基本定理，将AF用AE,DC线性表示，根据两个向量相等即可求出x，y的值，求和即可．
本题考查了平面向量基本定理应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由指数幂的运算性质，可得0<0.33<0.30=1，即0
所以c>b>a．
故选：C．
根据指数幂与对数函数的图象与性质，求得a，b，c的取值范围，即可求解．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：∵函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，∴φ=π2，f(x)=cs(ωx+π2)=−sinωx．
在[−π6,3π4]上，ωx∈[−ωπ6,3ωπ4]，函数f(x)单调递减，
∴−ωπ6≥−π2，3ωπ4≤π2，求得ω≤23，
故选：C．
由题意，利用三角函数的奇偶性，和单调性，求得ω的取值范围．
本题主要考查三角函数的奇偶性，和单调性，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：在△ADC中，cs∠ADC=102+62−1422×10×6=−12，
因为0<∠ADC<π，所以∠ADC=2π3，
∴∠ADB=π3，
在△ADB中，ABsin∠ADB=ADsinB⇒AB=5 6．
故选：B．
利用余弦定理正弦定理可得答案．
本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：①若a>2，x≤12时，指数函数f(x)=(a−1)x在(−∞,12]上单调递增，
此时f(x)⊆(0, a−1]，则(0, a−1]⊆D，结合(0, a−1]⊆[25,+∞)不成立，
可知此时D⊆[25,+∞)不成立，排除选项D．
②若a=2,f(x)=1,x≤12,x+2x−2,x>12,
当x≤12时，f(x)=1；当x>12时，f(x)=x+2x−2≥2 2−2，当且仅当x= 2时，等号成立，
此时函数f(x)的值域D=[2 2−2,+∞)，满足D⊆[25,+∞)；排除选项A；
③若1
结合函数f(x)的值域D满足D⊆[25,+∞)，可知 a−1≥25,2 a−2≥25,1
故选：C．
首先考虑a>2时，根据指数函数的单调性得到f(x)的值域，此时(0, a−1]⊆[25,+∞)不成立；再考虑a=2时，根据基本不等式求出函数值域D⊆[25,+∞)，然后考虑1
本题主要考查基本初等函数的值域求法、分段函数的性质、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：复数2−2i的虚部为−2，故A错误；
i4×505+3=i3=−i，故B正确；
∵x2+x+1=(x+12)2+34=(x+12+ 32i)(x+12− 32i)，
因此在复数集C中，方程x2+x+1=0有两个解，依次为−12+ 32i,−12− 32i，故C正确；
复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z对应的点Z的集合是以点(0,−1)为圆心，2为半径的圆面，故D错误．
故选：BC．
根据复数的定义可判断A；根据i的性质可判断B；根据复数方程的根可判断C；根据复数的几何意义可判断D．
本题考查复数的运算，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的坐标运算，属于一般题．
做出辅助线，建立坐标系，写出各点的坐标，求得AE·BD=23x−12，由−12⩽x⩽12求出AE·BD的取值范围，即可得到答案．
【解答】
解：设BC的中点为O，以点O为坐标原点，BC、OA所在直线分别为x、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，
由于△ABC是边长为1的等边三角形，且AC=3AD，
所以B(−12,0)，A(0, 32)，D(16, 33)，
设E(x,0)，则−12⩽x⩽12，
所以AE=(x,− 32)，BD=(23, 33)，
所以AE·BD=23x−12(−12≤x≤12)，
所以−56⩽23x−12⩽−16，
即AE·BD∈[−56,−16]，
故选AB．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查平面向量的基本定理，涉及向量的线性运算和基本不等式的性质以及应用．
根据题意，由平面向量基本定理依次分析选项，综合即可得答案．
【解答】
解：根据题意，如图：依次分析选项：
对于A，P是斜边BC上一点，且满足BP=2PC，则AP=13AB+23AC，
若AM=mAB，AN=nAC，
则AP=13mAM+23nAN，
又由M、P、N三点共线，则13m+23n=1，变形可得1m+2n=3；
故1m+2n为常数，A正确；
对于B，m+2n=13(1m+2n)(m+2n)
=13(5+2mn+2nm)≥13(5+2× 2mn×2nm)=3，
当且仅当2mn=2nm，即m=n=1时等号成立，
则m+2n的最小值为3，B正确；
对于C，m+n=13(1m+2n)(m+n)
=13(3+2mn+nm)≥13(3+2× 2mn×nm)=1+2 23，
当且仅当n= 2m时等号成立，故C错误；
对于D，当m=12，n=2，满足1m+2n=3，
此时M为AB的中点，C为AN的中点，符合题意；D正确；
故选：ABD．
12.【答案】12
【解析】解：由复数a+i1−2i(i是虚数单位)的共轭复数是2−5i，可得a+i1−2i=2+5i，
又由a+i1−2i=(a+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=a−25+1+2a5i，可得a−25+1+2a5i=2+5i，
则a−25=2且1+2a5=5，解得a=12．
故答案为：12．
根据复数的运算法则，求得a+i1−2i=a−25+1+2a5i，结合题意，列出方程组，即可求解．
本题主要考查复数的概念，属于基础题．
13.【答案】 3
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．
首先算出AO=12AD，然后用AB、AC表示出AO、EC，结合AB⋅AC=6AO⋅EC得12AB2=32AC2，进一步可得结果．
【解答】
解：设AO=λAD=λ2(AB+AC)，
AO=AE+EO=AE+μEC=AE+μ(AC−AE)
=(1−μ)AE+μAC=1−μ3AB+μAC，
∴λ2=1−μ3λ2=μ，∴λ=12μ=14，
∴AO=12AD=14(AB+AC)，
EC=AC−AE=−13AB+AC，
6AO⋅EC=6×14(AB+AC)·(−13AB+AC)
=32(−13AB2+23AB⋅AC+AC2)
=−12AB2+AB⋅AC+32AC2，
∵AB⋅AC=−12AB2+AB⋅AC+32AC2，
∴12AB2=32AC2，∴AB2AC2=3，
∴ABAC= 3．
故答案为： 3
14.【答案】48
【解析】【分析】
本题考查正弦、余弦定理的应用问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是综合题．属于中档题．
由题意，利用正弦定理、两角和的正弦公式求得角C，再根据△ABC的面积公式和余弦定理，以及基本不等式求得ab的最小值．
【解答】
解：△ABC中，2ccsB=2a+b，
由正弦定理得2sinCcsB=2sinA+sinB=2sin(B+C)+sinB，
即2sinCcsB=2sinBcsC+2sinCcsB+sinB，
∴2sinBcsC+sinB=0，
∴csC=−12，可得C=2π3；
又△ABC的面积为S=12ab⋅sinC= 34ab= 3c，
∴c=14ab；
再由余弦定理可得：c2=a2+b2−2ab⋅csC，
整理可得：116a2b2=a2+b2+ab≥3ab，
当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥48，
即ab的最小值为48．
故答案为：48．
15.【答案】解：(1)解：因为OA⋅OB=0,|OA|=2,|OB|=4，
以O为原点，以OA，OB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，
又因为AE=12AB，
即E为AB的中点，
可得A(2,0)，B(0,4)，D(0,2)，E(1,2)，
则AD=(−2,2),OE=(1,2)，
设AD与OE的夹角为θ，
则csθ=|AD⋅OE||AD||OE|=|−2×1+2×2|2 2⋅ 5= 1010，
所以直线AD与OE相交所成的较小的角的余弦值是 1010．
(2)因为AE=tAB(t∈R)表示E是直线AB上任意一点，
可得|AE−AO|=|OE|，其最小值就是原点O到直线AB的距离d，
则|AB|d=|OA||OB|，
可得d=2×4 22+42=4 55，
此时|AE|= |OA|2−d2=2 55，
则t=|AE||AB|=15，
即t=15时，|AE−AO|取得最小值4 55．
【解析】(1)根据题意，以O为原点，建立平面直角坐标系，求得AD=(−2,2),OE=(1,2)，结合向量的夹角公式，即可求解；
(2)由AE=tAB(t∈R)，得到|AE−AO|=|OE|，结合|AB|d=|OA||OB|，求得d的值，得到|AE|= |OA|2−d2，结合t=|AE||AB|，即可求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题．
16.【答案】解：(1)f(x)=(sinx+csx)2+2acs2x−a=1+sin2x+acs2x= a2+1sin(2x+φ)+1，
∵f(x)的图像关于直线x=π8对称，则f(π8)为函数的最值，
∴sin(2×π8)+acs(2×π8)=± a2+1⇒a=1．
(2)①当a=1时，有f(x)=sin2x+cs2x+1= 2sin(2x+π4)+1，
由−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ,k∈Z，得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ],k∈Z；
②f(x0)=2⇒sin(2x0+π4)= 22，
则2x0+π4=2kπ+π4或2x0+π4=2kπ+3π4,k∈Z⇒x0=kπ或x0=kπ+π4,k∈Z，
∴tanx0=0或tanx0=1．
【解析】(1)化简函数解析式，再由f(π8)为最值列出方程得解；
(2)①由函数解析式及正弦型函数的单调性求解即可；②由正弦函数性质解方程即可得解．
本题主要考查三角函数中恒等变换的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)锐角△ABC的三个内角A，B，C满足sinBsinC=(sin2B+sin2C−sin2A)tanA．
由正弦定理可得：bc=(b2+c2−a2)tanA，
即b2+c2−a22bctanA=12，由余弦定理有csAtanA=12，
则sinA=12，由A为锐角，故A=π6，∵△ABC是锐角三角形，∴B<π2,B+A>π2,⇒π3
则r=|OA|=|OB|=|OC|=1，
OA⋅(AB+AC)=OA⋅(OB+OC−2OA)=OA⋅OB+OA⋅OC−2OA2
=cs∠AOB+cs∠AOC−2=cs2C+cs2B−2=cs(5π3−2B)+cs2B−2
=32cs2B− 32sin2B−2= 3cs(2B+π6)−2，
由(1)π3
故OA⋅(AB+AC)的取值范围是[−2− 3,−72)．
【解析】(1)利用正弦定理，结合余弦定理求解A，然后求解B的范围．
(2)设外接圆的半径为r，通过OB⋅OC=12求解半径，化简OA⋅(AB+AC)的表达式，结合B的范围，求解即可．
本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，向量的数量积的应用，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．
18.【答案】解：(1)在直角三角形AEC中，AE=36，CE=27，则AC=45，
在直角三角形AEB中，BE=15，AE=36，则AB=39，
在三角形ABC中，BC=12，由余弦定理得cs∠CAB=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=6365；
(2)因为点P在线段AB上，设PBAB=λ(0<λ≤1)，过点P作CE垂线，垂足为H，以E为原点，AE为x轴正方向，EB为y轴正方向，建立平面直角坐标系，
则有A(−36,0)，B(0,15)，C(0,27)，D(0,33)，
AB=(36,15),PB=(36λ,15λ),EP=EB+BP=(−36λ,15−15λ)，
tan∠CPH=27−(15−15λ)36λ=12+15λ36λ，
tan∠DPH=18+15λ36λ，
tan∠DPC=tan(∠DPH−∠CPH)=tan∠DPH−tan∠CPH1+tan∠DPHtan∠CPH
=636λ1+18+15λ36λ×12+15λ36λ=6×36λ(36λ)2+(18+15λ)(12+15λ)
=24λ144λ2+(6+5λ)(4+5λ)=24λ169λ2+50λ+24
=24169λ+24λ+50，
由基本不等式知当且仅当λ=2 613时，上式取等号，即为最大值，
又因为0°<∠DPC<90°，故此时也是∠DPC的最大值，
此时PH=PBAB⋅AE=72 613m，
故球员在距离底线72 613m处射门对球门的张角最大，此时PBAB=2 613．
【解析】(1)在直角三角形AEC中和直角三角形AEB中，求出AC，AB，在三角形ABC中，利用余弦定理求出cs∠CAB；
(2)设PBAB=λ(0<λ≤1)，过点P作CE垂线，垂足为H，以E为原点，AE为x轴正方向，EB为y轴正方向，建立平面直角坐标系，表达出坐标，计算出tan∠CPH和tan∠DPH，求出tan∠DPC=tan(∠DPH−∠CPH)，利用基本等式求出最大值．
本题考查正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形的解法，是中档题．
19.【答案】解：(1)由已知有f(a)=|a|=1,f(b)=|b|=2,a⋅b=1，
则f(a+b)=|a+b|= a2+2a⋅b+b2= 7；
(2)x,y∈R,h>0,a=(x,y),u=(1,1)，
∴a+hu=(x+h,y+h),x+y+2h>x+y，
又∵f(x,y)=ex+y+ex−y，
∴f(a+hu)−f(a)=ex+h+y+h+ex+h−y−h−ex+y−ex−y=ex+y+2h−ex+y>0，
故f在{(x,y)|x，y∈R}上沿向量(1,1)方向单调递增；
(3)由题意可类似的知道f(x,y)的最大值的含义，
f(x,y)=y+sin2x+(1y−y)cs2x
=1y(y2sin2x+2ysinxcsx+cs2x)=1y(ysinx+csx)2
=y2+1ysin2(x+φ)，其中tanφ=1y，
(或者直接使用柯西不等式，
(ysinx+csx)2≤(y2+1)(sin2x+cs2x)，当且仅当y1=sinxcsx时取等号．)
故f(x,y)≤y+1y，当x+φ=kπ+π2,k∈Z时取等号，(或当tanx=y时取等号)，
又12≤y≤2，
根据对勾函数单调性易知当y=12或2时，函数f(x,y)取最大值为52．
【解析】(1)由向量数量积的坐标运算结合二元函数的定义求解即可；
(2)根据二元函数在定义域上沿u方向单调递增的定义求解即可；
(3)根据f(x,y)的最大值的含义求解即可．
本题属于新概念题，考查了向量的线性运算、指数的基本运算及三角函数性质，理解定义是关键，属于中档题．
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