2024商洛高三下学期第三次尖子生学情诊断考试数学（文）含解析

这是一份2024商洛高三下学期第三次尖子生学情诊断考试数学（文）含解析，共15页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，已知，则“”是“”的等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答黑题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A．3B．1C．D．
3．已知等比数列满足，则数列前8项的和为（ ）
A．254B．256C．510D．512
4．若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，若上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．在不等式组表示的平面区域内任取一点，则满足的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数在上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村产业、人才、文化、生态、组织振兴”的目标，某银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例关于还款人的年收人（单位：万元）的Lgistic模型：．已知当贷款人的年收人为9万元时，其实际还款比例为，若贷款人的年收入约为5万元，则实际还款比例约为（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
11．已知是自然对数的底数，，则（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在三棱锥中，两两垂直，且，以为球心，为半径作球，则球面与底面的交线长度的和为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设，向量，若，则______．
14．已知直线与，若直线与相交于两点，且，则______．
15．如图，已知圆锥的轴截面为等边分别为，的中点，为底面圆周上一点，若所成角的余弦值为，则______．
16．已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，点满足，其中为坐标原点，直线交于另一点，直线交于另一点，记的面积分别为，则______．（结果用表示）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
近日埃隆·马斯克旗下的脑机接口公司官宣，已经获得批准启动首次人体临床试验，我国脑机接口技术起步晚，发展迅猛，2014年，浙江大学团队在人脑内植入皮层脑电微电极，实现“意念”控制机械手完成高难度的"石头、剪刀、布”手指运动，创造了当时的国内第一，达到国际同等水平，目前，较为主流的分类方式将脑机接口分为侵入式和非侵入式，侵入式由于需要道德伦理审查，目前无法大面积实验，大多数研究公司采用非侵入式，即通过外部头罩和脑电波影响大脑，主要应用于医疗行业，如戒烟未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值．为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中
（1）根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由）
（2）根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1）
附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
18．（本小题满分12分）
在中，内角的对边分别为，且．
（1）证明：；
（2）点是线段的中点，且，求的周长．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，平面平面．
（1）证明：；
（2）若为的中点，，求到平面的距离．
20．（本小题满分12分）
设函数．
（1）若函数在点处的切线方程为，求；
（2）若方程有两个不同的实数根，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆的左顶点为，离心率为是直线上的两点，且，其中为坐标原点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点．
（1）记直线的斜率分别为，求的值；
（2）求点到直线的距离的最大值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线过点且倾斜角为，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求直线的参数方程及曲线的极坐标方程；
（2）设交于两点，求的最小值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知均为正数，函数的最小值为3．
（1）求的最小值；
（2）求证：．
商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试（第三次）·数学试卷（文科）
参考答案、提示及评分细则
1．A 由题意知，所以．故选A．
2．B 的实部与虚部相等，则，所以．故选B．
3．C 设等比数列的公比为，因为，可得解得，所以数列前8项的和．故选C．
4．A 由题知，所以，所以．故选A．
5．A若 ，则，所以，充分性成立；若，则，但不一定成立，不满足必要性，所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．
6．B 因为为偶函数，所以函数的图象关于对称，又在上单调递增，，所以，解得．故选B．
7．D 因为，所以，又，所以，所以离心率，又双曲线的离心率大于1，所以．故选D．
8．C 如图，不等式组表示的平面区域为及其内部，其中，所以，设直线与直线分别交于点，所以满足的平面区域为四边形及其内部，，所以满足的概率为．故选C．
9．C 令，则，可得，故的零点有…，，…，要使在上有且仅有4个零点，则解得．故选C．
10．B 由题意得当时，，则，得，所以，得，所以．当时，．故选B．
11．D 令，则，所以时，单调递增，又，所以．再令，则，所以在上是增函数，时，，即时，，故，即，所以．故选D．
12．C 由题意知三棱锥为正三棱锥，故顶点在底面的射影为的中心，连接，由，得，所以，因为球的半径为，所以截面圆的半径，所以球面与底面的交线是以为圆心，为半径的圆在内部部分，如图所示．易求，所以，易得，所以，所以交线长度和为．故选C．
13． 由题意得，解得．
14．或 若直线与相交于两点，且，则圆心到直线的距离，所以，解得或．
15．或 连接，则，所以为异面直线与所成的角或其补角，所以，或．当时，，当时，，所以或．
16． 由题意知，又，所以．显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由得，所以．显然直线的斜率不为0，设，直线的方程为，由得，所以，又，所以，设，同理可得，．
17．解：（1）选择模型②．
（2）根据模型②，令与可用线性回归来拟合，有．
则，
所以，
则关于的经验回归方程为．
所以关于的经验回归方程为．
由题意，，解得，又为整数，所以．
所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人．
18．（1）证明：因为，
所以，所以，
即，由正弦定理得．
所以．
（2）解：因为点是线段的中点，
所以，所以，
则．
由余弦定理得．
由（1）知，则，
所以
解得，则，
所以的周长为．
故的周长为10．
19．（1）证明：设，连接，过作，垂足为，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为平面平面，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以．
（2）解：取的中点，连接，则，
又平面平面，所以平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离．
过作，垂足为，由面面垂直的性质易得平面，
由（1）得，
因为，所以，
因为，所以．
所以，所以，
即点到平面的距离为．
20．解：（1），则切线的斜率为，
又，所以函数在点处的切线方程为，即，
所以解得
（2）方程即为，即，
设，则“方程有两个不同的实数根”等价于“函数有两个零点”．
，
当时，恒成立，所以在上是增函数，至多有一个零点，不合题意；
当时，由得，此时：
若，则单调递减；若，则单调递增，
所以．
由函数有两个零点得，解得，
当时，有，
因为，
所以在内有一个零点．
令，则，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，故．
所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以在内也有一个零点，
即当时，函数有两个零点，所以实数的取值范围为．
21．解：（1）设，所以，
又，所以，
又，所以．
（2）由题意知解得，所以的方程为．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，所以，
由（1）知，所以，
整理得，
所以，整理得，即
，所以，或．
当时，直线的方程为，过定点，不符合题意，舍去；
当时，直线的方程为，过定点．
当直线的斜率不存在时，易得，所以直线的方程是，由得，解得或，所以，同理得，此时直线的方程是，过定点．
综上，直线过定点．
又，所以点到直线的距离的最大值为．
22．解：（1）由已知得直线的参数方程为（为参数），
由，得，
又，所以，即，
所以曲线的极坐标方程为．
（2）将代入，得，
即，
设是上述议程的两实根，则
又直线过，则两点对应的参数分别为，
所以
，当且仅当时，取等号．
所以的最小值为．
23．（1）解：，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9．
（2）证明：因为，
同理，，
所以
．7.5
2.25
82.50
4.50
12.14
2.88